Visualizza wikitesto di Teoria dei numeri

[[File:Spirale Ulam 150.jpg|thumb|alt=Spirale di Ulam|La distribuzione dei [[numero primo|numeri primi]] è un argomento di studio centrale nella teoria dei numeri. Questa spirale di Ulam la rappresenta, evidenziando in particolare l'indipendenza condizionata tra essere primo ed essere un valore di certi polinomi quadratici]]
Tradizionalmente, la '''teoria dei numeri''' è quel ramo della [[matematica]] pura che si occupa delle proprietà dei [[numeri interi]] e contiene molti problemi aperti la cui formulazione può essere compresa anche da chi non è un matematico. Più in generale, la materia è giunta ad occuparsi di una più ampia classe di problemi che sono sorti naturalmente dallo studio degli interi. 

La teoria dei numeri può essere divisa in diversi campi a seconda dei metodi utilizzati e dei problemi studiati. 

Il termine "[[aritmetica]]" viene anche utilizzato per riferirsi alla teoria dei numeri. Questo termine è piuttosto vecchio e non è più popolare come una volta. Tuttavia il termine rimane prevalente, ad esempio, nel nome dei "campi" matematici (geometria algebrica aritmetica e l'aritmetica delle curve ellittiche e delle superfici). Questo significato della parola aritmetica non dovrebbe essere confuso con la branca della [[logica]] che studia l'aritmetica intesa come sistema formale. 

== Branche e caratteristiche della teoria dei numeri ==
Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di [[divisibilità]], l'[[algoritmo di Euclide]] per calcolare il [[massimo comune divisore]], la [[fattorizzazione]] di interi in [[numeri primi]], lo studio dei [[numero perfetto|numeri perfetti]] e le [[aritmetica modulare|congruenze]]. Tipiche asserzioni sono il [[piccolo teorema di Fermat]] e il [[Teorema di Eulero (aritmetica modulare)|teorema di Eulero]] (che è una sua generalizzazione), il [[teorema cinese del resto]] e la [[legge di reciprocità quadratica]]. Vengono indagate le proprietà delle [[funzione moltiplicativa|funzioni moltiplicative]] come la [[funzione di Möbius]] e la [[funzione phi di Eulero|funzione φ di Eulero]]; come pure le [[successione di interi|successioni di interi]] come i [[fattoriale|fattoriali]] e i [[Successione di Fibonacci|numeri di Fibonacci]].

Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e allo stato attuale richiedono nuove idee. Esempi sono:
* la [[congettura di Goldbach]] (debole e forte), che riguarda l'espressione dei [[numeri pari e dispari|numeri pari]] come somma di numeri primi,
* la [[congettura di Polignac]],
* la [[congettura di Chen]],
* la [[congettura dei numeri primi gemelli]] riguardo all'esistenza di infiniti [[primo gemello|primi gemelli]],
* la congettura dei [[numeri di Sophie Germain]],
* la [[nuova congettura di Mersenne]],
* la [[congettura dei numeri perfetti]],
* la [[congettura di Collatz]] che riguarda le condizioni di terminazione di un algoritmo iterativo.
* Il [[teorema di Matiyasevich]], che ha dimostrato che la teoria delle [[equazione diofantea|equazioni diofantee]] è ''indecidibile'' (vedi il [[problemi di Hilbert|decimo problema di Hilbert]]).

La [[teoria analitica dei numeri]] sfrutta i meccanismi del [[calcolo infinitesimale]] e dell'[[analisi complessa]] per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il [[teorema dei numeri primi]] e la collegata [[ipotesi di Riemann]]. Anche problemi della teoria dei numeri elementare come il [[problema di Waring]] (rappresentare un numero dato come somma di quadrati, cubi, ecc.), la [[congettura dei numeri primi gemelli]] e la [[congettura di Goldbach]] vengono attaccati con metodi analitici. Anche le dimostrazioni di trascendenza delle costanti matematiche, come [[Pi greco|π]] o ''[[e (costante matematica)|e]]'', vengono classificate nella teoria dei numeri analitica. Mentre le affermazioni sui numeri trascendenti sembrerebbero non riguardare i numeri interi, esse studiano in realtà la possibilità di certi numeri di essere rappresentati come radici di un [[polinomio]] a coefficienti interi; i [[numero trascendente|numeri trascendenti]] sono inoltre strettamente collegati all'[[approssimazione Diofantea]], che studia la precisione con cui un dato [[numeri reali|numero reale]] può essere approssimato da un [[numeri razionali|numero razionale]].

Nella [[Teoria algebrica dei numeri|teoria dei numeri algebrica]], il concetto di numero viene generalizzato a quello di [[numero algebrico]] che è radice di un polinomio a coefficienti interi. Questi domini contengono elementi analoghi agli interi, chiamati [[intero algebrico|interi algebrici]].
In questo ambiente, è possibile che le proprietà familiari dei numeri interi (come l'unicità della fattorizzazione) non siano più verificate. La forza degli strumenti utilizzati — [[teoria di Galois]], [[coomologia dei campi]], [[teoria dei campi delle classi]], [[rappresentazione di un gruppo|rappresentazioni dei gruppi]] e [[funzioni L]] — è quella di consentire (almeno in parte) di recuperare l'ordine per questa nuova classe di numeri.

Molti problemi di teoria dei numeri vengono attaccati più facilmente studiandole ''modulo p'' per tutti i numeri primi ''p'' (vedi [[campo finito|campi finiti]]). Questo metodo è chiamato ''localizzazione'' e porta alla costruzione dei [[numero p-adico|numeri p-adici]]; questo settore di studi è chiamato [[analisi locale]] e nasce dalla teoria dei numeri algebrica.

La [[Teoria dei numeri geometrica|teoria geometrica dei numeri]] incorpora tutte le forme di geometria. Comincia con il [[teorema di Minkowski]] sui punti reticolari negli [[Insieme convesso|insiemi convessi]] e lo studio dell'[[impacchettamento delle sfere]]. Viene spesso impiegata anche la [[geometria algebrica]], specialmente la teoria delle [[curva ellittica|curve ellittiche]]. Il famoso [[ultimo teorema di Fermat]] fu dimostrato utilizzando queste tecniche.

Infine, la [[Teoria computazionale dei numeri|teoria dei numeri computazionale]] studia algoritmi importanti nella teoria dei numeri. Algoritmi efficienti per la [[verifica della primalità]] e la [[fattorizzazione]] di interi hanno importanti applicazioni nella [[crittografia]].

== Storia della teoria dei numeri ==

La ''teoria dei numeri'', uno degli argomenti preferiti presso gli antichi greci, vide la sua rinascita nel [[XVI secolo|sedicesimo]] e nel [[XVII secolo]] nelle opere di [[François Viète|Viète]], [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet de Méziriac]], e soprattutto [[Pierre de Fermat]]. Nel [[XVIII secolo]] [[Leonhard Euler|Euler]] e [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] diedero importanti contributi alla teoria, e al suo termine la disciplina iniziò ad avere una forma scientifica grazie ai grandi lavori di [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1798), e [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1801). Con le ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1801) di Gauss può dirsi iniziata la moderna teoria dei numeri.

[[Pafnuty Chebyshev|Chebyshev]] (1850) fornì utili margini per il numero di primi compresi tra due limiti. [[Bernhard Riemann|Riemann]] (1859) congetturò una formula asintotica migliorata per il [[teorema dei numeri primi]], introdusse l'[[analisi complessa]] nella teoria della [[funzione zeta di Riemann]], e, dai suoi zeri, derivò le [[formule esplicite della teoria dei numeri primi]].

La teoria delle [[aritmetica modulare|congruenze]] si può far risalire alle ''Disquisitiones'' di Gauss. Egli introdusse la notazione:

:<math>a \equiv b \pmod c,</math>

ed esplorò la maggior parte della materia. Nel [[1847]] Chebyshev pubblicò un lavoro in Russo sull'argomento, che fu reso popolare in [[Francia]] da [[Joseph Alfred Serret|Serret]].

Oltre a riassumere il lavoro precedente, [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] enunciò la [[legge di reciprocità quadratica]]. Questa legge, scoperta per [[induzione matematica]] ed enunciata da Eulero, fu provata per la prima volta da Legendre nel suo ''Théorie des Nombres ''([[1798]]), sebbene soltanto per casi particolari. Indipendentemente da Eulero e Legendre, Gauss scoprì la legge intorno al [[1795]], e fu il primo a dare una dimostrazione generale. Altri personaggi eminenti che contribuirono alla materia sono: [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]; [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]], di cui ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' (''Lezioni di teoria dei numeri'') è un classico; [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]], che introdusse il [[simbolo di Jacobi]]; [[Joseph Liouville|Liouville]], [[Ferdinand Gotthold Max Eisenstein|Eisenstein]], [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]], e [[Leopold Kronecker|Kronecker]]. La teoria viene generalizzata per includere la [[legge di reciprocità cubica]] e [[legge di reciprocità biquadratica|biquadratica]], (Gauss, Jacobi, Kummer).

È dovuta a Gauss anche la rappresentazione di interi in [[forma quadratica|forme quadratiche]]. Cauchy, [[Louis Poinsot|Poinsot]] ([[1845]]), [[Henri Leon Lebesgue|Lebesgue]](?) ([[1859]], [[1868]]), e specialmente [[Charles Hermite|Hermite]] contribuirono all'argomento. La teoria delle [[forma ternaria|forme ternarie]] fu studiata da Eisenstein, e a lui ed a [[H. J. S. Smith]] sono dovuti notevoli progressi nella teoria delle forme in generale. Smith diede una classificazione completa delle forme ternarie quadratiche, e estese le ricerche di Gauss sulle forme quadratiche reali alle forme complesse. Gli studi riguardanti la rappresentazione dei numeri come somma di 4, 5, 6, 7, 8 quadrati furono portati avanti da Eisenstein e la teoria fu completata da Smith.

Dirichlet fu il primo a tenere delle lezioni sulla materia in una università tedesca. Tra i suoi contributi vi è l'estensione dell'[[ultimo teorema di Fermat]], che Eulero e Legendre avevano risolto per <math>n = 3, 4</math>; Dirichlet provò che <math>x^5+y^5 \neq az^5</math>. Tra gli ultimi scrittori francesi vi sono [[Félix Édouard Justin Émile Borel|Borel]]; [[Henri Poincaré|Poincaré]], le cui memorie sono numerose e importanti; [[Jules Tannery|Tannery]], e [[Thomas Jan Stieltjes|Stieltjes]]. Tra i personaggi più eminenti in [[Germania]] vi sono Kronecker, Kummer, [[Ernst Schering|Schering]], [[Paul Bachmann|Bachmann]], e [[Richard Dedekind]]. In [[Austria]] l'opera ''Vorlesungen über allgemeine Arithmetik'' di [[Otto Stolz|Stolz]] ([[1885]]-[[1886|86]]), e in [[Inghilterra]] la ''Theory of Numbers'' (Part I, [[1892]]) di Mathews sono tra i lavori più completi. [[Angelo Genocchi|Genocchi]], [[James Joseph Sylvester|Sylvester]], e [[J. W. L. Glaisher|Glaisher]] diedero altri contributi alla teoria.

Il matematico inglese [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]] fu uno dei fautori più appassionati della teoria dei numeri, e dedicò ad essa gran parte della sua vita.

== Bibliografia ==
* Tom M. Apostol: (2008): ''[https://web.archive.org/web/20100531090646/http://dlmf.nist.gov/27 Functions of Number Theory]'', Chapter 27 della [[National Institute of Standards and Technology|NIST]] [[Digital Library of Mathematical Functions]]
* Oystein Ore (1948): ''Number Theory and Its History'', Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65620-9
* [[Richard Dedekind]] (1963), ''Essays on the Theory of Numbers'', Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-21010-3
* Richard K. Guy (1981): ''Unsolved Problems in Number Theory'', Springer, ISBN 0-387-90593-6
* Harold Davenport, ''Aritmetica superiore''. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6
* Melvyn B. Nathanson (2000): ''Elementary methods in number theory'', Springer, ISBN 0-387-98912-9
* Kenneth Ireland, Michael Rosen (2010): ''A Classical Introduction to Modern Number Theory'', 2nd ed., Springer, ISBN 978-1-4419-3094-1

== Voci correlate ==
* [[11-XX]]: {{MSCid|alla teoria dei numeri}}

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{Cita libro|autore=David Eugene Smith|titolo=History of Modern Mathematics|url=http://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/|annooriginale=1906|editore=Chapman & Hall|lingua=en|p=}} (adapted public domain text)

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