Visualizza wikitesto di Teoria degli insiemi

{{S|matematica|logica}}
La '''teoria degli insiemi''' è una [[teoria]] [[matematica]] posta ai [[fondamenti della matematica]] stessa, collocandosi nell'ambito della [[logica matematica]]. 

Prima della prima metà del [[XIX secolo]] la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del [[XIX secolo]] dal matematico tedesco [[Georg Cantor]], è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal [[1890]] al [[1930]] ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di [[Ernst Zermelo]], [[Adolf Fraenkel]], [[Paul Bernays]], [[Kurt Gödel]], [[John von Neumann]] e [[Thoralf Skolem]], [[Gottlob Frege]] (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e [[Giuseppe Peano]] (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di [[assioma|assiomi]] chiamati [[Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel|sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel]] e [[Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel|sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel]].

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. [[teorema di incompletezza di Gödel]]), i rapporti con la [[teoria della calcolabilità]] (vedasi anche [[macchina di Turing]]) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'[[assioma della scelta]] e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate [[teorie formali degli insiemi]] (vedi anche [[teoria assiomatica degli insiemi]]) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta [[teoria naïve degli insiemi|teoria ingenua degli insiemi]]. 

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.

== Nozioni di base ==
*[[elemento (insiemistica)|elemento]]
*[[insieme]], chiamato anche ''assieme'', ''aggregato'', ''collezione'', ''set''
*[[sottoinsieme]]
*[[filtro (insiemi)|filtro]]
*[[ultrafiltro]]

== Operatori e costruzioni ==
*[[unione (insiemistica)|unione]]: <math>\cup</math> ([[Algebra di Boole#OR|OR]] nell'[[Algebra di Boole]])
*[[intersezione (insiemistica)|intersezione]]: <math>\cap</math> ([[Algebra di Boole#AND|AND]] nell'Algebra Booleana)
*[[insieme complemento|complemento]]: <math>^C</math> ([[Algebra di Boole#NOT|NOT]] nell'Algebra Booleana)
*[[insieme complemento#Complemento relativo|differenza]]: <math>\setminus</math>
*[[differenza simmetrica]]: <math>\Delta</math> ([[Algebra di Boole#XOR|XOR]] nell'Algebra Booleana)
*[[prodotto cartesiano]]: <math>\times</math>
* [[somma disgiunta]]: <math>+</math>
*[[insieme potenza]] o insieme delle parti: <math>\mathcal{P}</math>

== Relazioni ==
* [[appartenenza]]: <math>\in</math> 
* [[Uguaglianza (matematica)|uguaglianza]]: <math>=</math>
* [[Inclusione (matematica)|inclusione]]: <math>\subseteq</math>
* [[disgiunzione]]
* [[relazioni su un insieme]]
* [[Controllabilità|non confrontabilità]]

== Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità ==
{{vedi anche|controllabilità}}
* [[Insieme vuoto]]: <math>\emptyset</math>

* [[Insieme finito]]

* [[Insieme numerabile]]

* [[Insieme ricorsivo]]

* [[Insieme ricorsivamente enumerabile]]

* [[Cardinalità del continuo|Insieme con la potenza del continuo]]

* [[Cardinalità]]

* [[Numero transfinito]]

== Insiemi numerici ==
{{vedi anche|Cardinalità numerabile}}
* [[numeri naturali]]
* [[Numeri relativi|numeri interi o numeri relativi]]
* [[numeri razionali]]
* [[numeri reali]]
* [[numeri irrazionali]]
* [[numeri algebrici]]
* [[numeri trascendenti]]
* [[numeri costruibili]]
* [[numeri complessi]]

== Bibliografia ==
* Alexander Abian, ''La teoria degli insiemi e l'aritmetica transfinita'', Feltrinelli, 1972
*{{en}} [[Paul Bernays]], ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1991
*{{fr}} [[Nicolas Bourbaki]], ''Théorie des ensembles'', Hermann, 1970
* Paul J. Cohen, ''La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo'', Feltrinelli, 1973
* {{Cita libro|autore=Frank R. Drake|autore2=Dasharath Singh|titolo=Intermediate set theory|data=1996|editore=Wiley|ISBN=978-0-471-96494-0}}
*{{en}} Robert E. Edwards, ''A formal Background to Mathematics Ia Ib. Logic, sets and Numbers'', Springer, 1979, ISBN 3-540-90431-X
*{{en}} [[Adolf Abraham Halevi Fraenkel|Abraham H. Fraenkel]], ''Abstract set theory'', North-Holland, 1961
* [[Paul Halmos]], ''Teoria elementare degli insiemi'', Feltrinelli, 1976
* [[Gabriele Lolli]], ''Teoria assiomatica degli insiemi'', Boringhieri, 1974
* J. Donald Monk, ''Introduzione alla teoria degli insiemi'', Boringhieri, 1972
* {{Cita libro|autore=Patrick Suppes|titolo=Axiomatic set theory|anno=1972|url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0|edizione=1. Dover ed|collana=Dover books on advanced mathematics|data=1972|editore=Dover Publ|ISBN=978-0-486-61630-8}}

== Voci correlate ==
*[[Teoria ingenua degli insiemi]]
*[[Teoria assiomatica degli insiemi]]
*[[Insieme sfocato]] o ''fuzzy set''
*[[Luogo geometrico]]
*[[Teoria delle categorie]]
*[[Teoria dei tipi]]
*[[Analisi non standard]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|set theory|set theory}}

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