Visualizza wikitesto di Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

Il '''teorema di [[Fermat]] sulle somme di due quadrati''' afferma che ogni [[numero primo]] si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è [[aritmetica modulare|congruo]] a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

:<math>5=1^2+2^2, \quad 13=2^2+3^2, \quad 17=1^2+4^2, \quad 29=2^2+5^2.</math>

Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto come somma di due quadrati: <math>2=1^2+1^2</math>. Siccome i quadrati sono congrui a 0 oppure a 1 modulo 4 si ha che se un primo dispari <math>p</math> è somma di quadrati, allora <math>p\equiv 1\bmod 4</math>. Basta quindi mostrare che se <math>p\equiv 1\bmod 4,</math> allora <math>p = a^2 +b^2</math>.

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a [[Eulero]].

Fermat propose questo teorema in una lettera a [[Marin Mersenne]] datata 25 dicembre [[1640]], per questo motivo è noto anche come ''Teorema di Natale di Fermat''.

==Dimostrazione==
Consideriamo un primo <math>p\equiv 1\bmod 4</math> ossia <math>p=4k+1</math> per qualche <math>k.</math> Mostriamo che l'equazione

:<math>x^2+y^2=np</math>

ha soluzioni in cui <math>x,y,n</math> sono [[Numero naturale|numeri naturali]] tali che <math>x</math> e <math>y</math> non sono divisibili per <math>p</math>. Questo è equivalente a chiedere che l'equazione [[aritmetica modulare|modulare]]

:<math>x^2+y^2\equiv 0\bmod p</math>

abbia soluzione per <math>x,y\not\equiv 0\bmod p</math>. Per il [[criterio di Eulero]],

:<math>\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+1-1}{2}}=(-1)^{2k}=1.</math>

Di conseguenza, se <math>a</math> è un [[residuo quadratico]] modulo <math>p</math>, lo sarà anche <math>-a</math>, in quanto prodotto di due residui quadratici; quindi, preso comunque un <math>x</math>, è sempre possibile trovare un <math>y</math> tale che <math>x^2+y^2\equiv 0\bmod p</math>. In particolare, è possibile scegliere <math>x</math> e <math>y</math> compresi tra 0 e <math>p/2</math> (estremi esclusi); da questo si ottiene che

:<math>x^2+y^2<\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{2}</math>

e quindi <math>x^2+y^2=np</math> ha una soluzione in cui <math>n<p</math>.

Consideriamo il più piccolo <math>n</math> positivo tale che <math>x^2+y^2=np</math> è risolubile (in numeri interi). Se <math>n=1</math> il teorema è dimostrato; altrimenti, utilizzando l'[[algoritmo di Euclide]] possiamo scrivere

:<math>x=an+s</math>
:<math>y=bn+t</math>

con <math>a,b,s,t</math> interi e <math>s,t\in \lbrack-n/2,n/2\rbrack</math>. Se <math>s</math> e <math>t</math> fossero entrambi nulli allora si avrebbe

:<math>np=\left(an\right)^2+\left(bn\right)^2=n^2(a^2+b^2)</math>

e quindi

:<math>p=n(a^2+b^2)</math>

il che è impossibile perché <math>p</math> è un numero primo. Dalle relazioni di <math>x</math> e <math>y</math> con <math>n</math> si ottiene che esiste un intero <math>k</math> tale che

:<math>nk=s^2+t^2</math>

e la condizione sui valori assoluti di <math>s</math> e <math>t</math> implica che <math>k<n</math>. Moltiplicando <math>np</math> per <math>nk</math> si ottiene

:<math>n^2pk=\left(x^2+y^2\right)\left(s^2+t^2\right)=\left(xs+yt\right)^2+\left(xt-ys\right)^2.</math>

Le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per <math>n</math>, perché

:<math>xs+yt=\left(an+s\right)s+\left(bn+t\right)t=n\left(as+bt+k\right)=nq</math>
:<math>xt-ys=\left(an+s\right)t-\left(bn+t\right)s=n\left(at-bs\right)=nr</math>

Quindi

:<math>pk=q^2+r^2</math>

contro l'ipotesi che <math>n</math> sia il minimo intero che verifica la condizione. Di conseguenza <math>n=1</math> e il teorema è dimostrato.

== Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani ==
È possibile dimostrare questo teorema anche con l'uso di <math>\mathbb{Z}[i]</math> il [[Dominio euclideo]] degli [[interi di Gauss]]. Inoltre, un primo dispari <math>p = a^2 +b^2</math> se e solo se <math>p\equiv 1\bmod 4</math> se e solo se <math>p</math> non è primo in <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Se <math>p</math> non è primo in <math>\mathbb{Z}[i]</math> si vede facilmente che <math>p</math> è somma di quadrati e viceversa <math>p = (a + ib)(a -ib)</math>. Basta quindi mostrare che se <math>p\equiv 1\bmod 4,</math> allora <math>p</math> non è primo in <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Questo segue facilmente dal [[teorema di Wilson]]. Infatti, se <math>p=4k+1,</math> allora <math>x= (2k)!</math>  è una soluzione di <math>x^2+1\equiv 0\mod p</math> in quanto

:<math>-1 \equiv (p-1)! \equiv (-1)(-2)\cdots (-2k)(2k)(2k-1)\cdots 2 \cdot 1.</math>

Alternativamente, per il [[criterio di Eulero]], si sa che -1 è un residuo quadratico. Quindi, per <math>x= (2k)!</math>  si ha che <math>p|(x^2+1)</math>. Possiamo scrivere <math>1+x^2=(1-ix)(1+ix)</math>.  Se <math>p</math> fosse primo anche nell'anello <math>\mathbb{Z}[i]</math> degli [[interi di Gauss]] <math>p|(1-ix)(1+ix)</math> dovrebbe implicare <math>p|(1-ix)</math> oppure <math>p|(1+ix)</math>, ossia dovrebbero esistere <math>c,d\in\mathbb{Z}</math> tali che <math>p(c+id)=1\pm ix</math> da cui <math>pc = 1</math>: assurdo. Quindi si ha che <math>p</math> non è primo in <math>\mathbb{Z}[i]</math> da cui segue che <math>p</math> è somma di quadrati. Infatti, si deve avere una fattorizzazione

:<math>p=(A+iB)(C+iD),</math>

per qualche <math>A,B,C,D\in\mathbb{Z}</math> dove <math>A+iB</math> e <math>C+iD</math> non sono unità dell'anello <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Passando alle [[norma (matematica)|norme]], e ricordando che il prodotto delle norme è uguale alla norma del prodotto, si ha

:<math>p^2=(A^2+B^2)(C^2+D^2).</math>

Queste quantità sono tutte intere (anzi, naturali), per cui abbiamo soltanto due possibilità:
* <math>A^2+B^2=C^2+D^2=p</math>;
* <math>A^2+B^2=1</math> e <math>C^2+D^2=p^2</math> (o viceversa).

Nel primo caso il teorema è dimostrato. Nel secondo caso <math>A+iB</math> risulta essere un'unità di <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Questo dà luogo ad una decomposizione triviale di <math>p</math>, che è da escludere. Il teorema è dimostrato.

== Dimostrazione usando il lemma di Thue ==
Attraverso il [[lemma di Thue]] è possibile dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema di Fermat. Come sopra, sappiamo che se <math>p\equiv 1\bmod 4,</math> allora -1 è un residuo quadratico modulo  <math>p</math>  Sia <math>a</math> tale che

:<math>a^2\equiv -1 \mod p</math>

e consideriamo la congruenza

:<math>ax\equiv y\mod p.</math>

Se <math>X</math> e <math>Y</math> verificano la congruenza, allora

:<math>a^2X^2\equiv Y^2\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2\equiv 0\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2=hp.</math>

Per il lemma di Thue, almeno una coppia <math>(X,Y)</math> di questo tipo verifica <math>|X|<\sqrt{p},~|Y|<\sqrt{p}</math> e quindi

:<math>X^2+Y^2<2(\sqrt{p})^2=2p</math>

e quindi in questo caso <math>h<2,</math> e, poiché <math>h</math> è intero, <math>h=1,</math> ossia <math>X^2+Y^2=p</math>.

==Generalizzazioni==
Si può innanzitutto dimostrare che un [[numero primo]] congruo a 1 modulo 4 si scrive in modo unico come somma di 2 quadrati.

1) In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma:

:<math>p=x^2+3y^2.</math>

Per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un [[residuo quadratico]] per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il [[Lemma di Gauss (teoria dei numeri)|lemma di Gauss]].

2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" [[Fermat]] spiega il metodo per trovare un numero intero esprimibile in esattamente <math>n</math> modi diversi come somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo <math>n</math> e scomponiamo <math>2n</math> come prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori, attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1 modulo 4.

Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e 3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: <math>13^1\cdot 5^2=325</math> che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati:

:<math>325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2.</math>

Consideriamo ora di avere un <math>n</math> e di voler sapere in quanti modi esso sia rappresentabile come somma di due quadrati in modi non equivalenti, ossia che due rappresentazioni non siano la medesima rappresentazione con segni cambiati o elementi permutati. Per quanto affermato affinché <math>n</math> sia rappresentabile come somma di due quadrati <math>n</math> deve poter essere scritto nella seguente forma <math>n=2^{r}D^{2}m</math> con <math>m={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}\ldots{p_k}^{a_k}</math> dove i <math>p_i</math> sono primi congrui a 1 modulo 4 e dove i fattori di <math>D</math> sono i primi congrui a 3 modulo 4. Allora il numero di rappresentazioni di <math>n</math> (come somma di due quadrati e indicato con <math>r_2(n)</math>) è il numero di rappresentazioni di <math>m,</math> vale la formula:

:<math>r_2(n)=\frac{(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)+ \varphi}{2},</math>

dove <math>\varphi</math> assume valore 1 se <math>m</math> è un [[quadrato perfetto]] e assume valore 0 altrimenti.

== Bibliografia ==
* {{Cita libro | autore = H. Davenport | titolo = Aritmetica superiore | editore = Zanichelli | città = Bologna | anno = 1994 | ISBN = 88-08-09154-6 | capitolo = Capitolo V.2}}
* {{Cita libro | autore = G. M. Piacentini Cattaneo | titolo = Algebra, un approccio algoritmico | editore = Decibel | città = Padova | anno = 1996 | ISBN = 978-88-08-16270-0}}
* {{Cita libro | autore = Pierre de Fermat | titolo = Osservazioni su Diofanto | editore = Boringhieri | anno = 2006 | ISBN = 88-339-0998-0}}
* {{Cita libro | autore = David M. Burton | titolo = Elementary Numbert Theory | editore = McGraw-Hill | anno = 2007 | ISBN = 978-0-07-305188-8}}
* Luca Barbieri Viale, Teorema 5.45,  ''Che cos'è un numero ?'' Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3

== Voci correlate ==
*[[Teorema dei quattro quadrati]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria dei numeri}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Aritmetica modulare]]