Visualizza wikitesto di Tempo medio di uscita di una stringa

{{F|matematica|luglio 2017}}
== Definizione ==
Nella [[Teoria della probabilità|teoria delle probabilità]] il '''tempo medio di uscita di una stringa''' è il calcolo della [[Speranza matematica|previsione]] di uscita di una stringa prefissata di <math>k</math> caratteri estraendo casualmente le lettere da un [[insieme]] finito di caratteri, dato dalla formula <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math>, dove:
* <math>m</math> è il numero totale di caratteri dell'alfabeto di riferimento
* <math>H</math> è un [[insieme]] di indici che contiene i valori
** la posizione del primo carattere, pari a <math>\text{1}</math>
** la posizione dell'ultimo carattere, pari alla lunghezza <math>k</math> della stringa
** le posizioni di ogni sotto-stringa ripetuta all'interno della stringa
* <math>U</math> è una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] che definisce il tempo di uscita della stringa

Per calcolare la [[Valore atteso|previsione]] è necessario anche conoscere la [[probabilità]] di uscita di un carattere dall'insieme totale dei caratteri, dato da <math>P\{X_n = i\}</math>, dove <math>X_n</math> è una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] che può assumere i valori di un carattere dell'alfabeto, mentre l'evento <math>\{X_n = i\}</math> definisce l'uscita del carattere <math>i</math> alla <math>n</math>-esima estrazione.

=== Esempio ===
Si calcola la [[Valore atteso|previsione]] del tempo medio di uscita della parola ''ABRACADABRA'' utilizzando l'alfabeto inglese composto da ventisei lettere.

Utilizzando la definizione si ha che <math>\begin{cases} m = 26 \\ k = 11 \\ H = \{1, 4, 11\} \\ P\{X_n = i\} = \frac{1}{26} \end{cases}</math>

Si osserva che <math>H</math> contiene le posizioni del primo e dell'ultimo carattere, oltre alla posizione dell'ultimo carattere della sotto-stringa ''ABRA'' ripetuta.

Da ciò ne deriva che <math>\mathbf{E}[U] = 26^1+26^4+26^{11} \simeq 3.67 \times 10^{15}</math>, ossia il tempo medio di uscita della parola ''ABRACADABRA'' è dopo aver effettuato circa <math>3670</math> miliardi di digitazioni casuali su una tastiera di <math>26</math> caratteri.

=== Passaggio al limite ===
Si può facilmente vedere che la previsione del tempo medio di uscita di una stringa è una funzione divergente all'aumentare del numero di caratteri da estrarre. Pertanto, il limite della previsione per un numero di caratteri che tende all'infinito è pari a infinito, ossia <math>\lim_{k \rightarrow \infty}(\sum_{h \in H}m^h) = \infty, \forall{m > 1}</math>.

Intuitivamente si può calcolare il limite, considerando l'ipotesi che non esistano sotto-stringhe ripetute. Se questo limite tende a [[Infinito (matematica)|infinito]] a maggior ragione il [[Limite di una funzione|limite]] nel caso di ripetizioni tende ad infinito. Si può non tenere conto dell'indice iniziale, pari sempre a uno, in quanto nel calcolo del [[Limite di una funzione|limite]] sarebbe una [[Costante matematica|costante]]. In base a queste considerazioni si osserva che <math>m^k \leqslant \sum_{h \in H} m^h, \forall{m > 1}</math> e se il limite di <math>m^k</math> per <math>k</math> che tende a [[Infinito (matematica)|infinito]] è pari a [[Infinito (matematica)|infinito]], allora anche il [[Limite di una funzione|limite]] <math>\sum_{h \in H} m^h</math> sarà pari a [[Infinito (matematica)|infinito]]. Per ogni <math>m > 1 \in \mathbb{N}</math> la [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>m^k</math> è divergente, quindi <math>\lim_{k \rightarrow \infty}m^k = \infty</math>.

== Enunciato ==
Sia <math>C = \{1,2,\ldots,m\}</math> un [[insieme]] di <math>m</math> caratteri, con <math>m \in \mathbb{N} \smallsetminus \{0\}</math>. Si può definire una stringa prefissata <math>(a_j)_{1 \leqslant j \leqslant k}</math> di lunghezza <math>k</math> caratteri tale che <math>a_j \in C, \forall{j = 1, \ldots, k}</math>.

Sia <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> uno [[Spazio di misura|spazio di probabilità]], tale che <math>\Omega = \{1,\ldots,m\}</math>, <math>\mathcal{A}</math> è una <math>\sigma</math>-[[Sigma-algebra|algebra]] di <math>\Omega</math> e <math>P</math> una [[misura di probabilità]] sullo spazio <math>(\Omega, \mathcal{A})</math>. Su questo spazio si può costruire una [[Successione (matematica)|successione]] di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>(X_n)_{n>0}</math> tali che <math>P\{X_n = i\} = \frac{1}{m} = p, \forall{n>0,i \in C}</math>.

Sia <math>T = \inf\{n : X_{n+j} = a_j, \forall{j = 1, \ldots, k}\}</math> il tempo più piccolo entro il quale al tempo <math>n+j+k</math> la [[Successione (matematica)|successione]] <math>(X_n)_n</math> realizza la stringa <math>(a_j)_j</math>. Si definisce <math>U = T+k</math> il tempo di uscita della stringa.

Si prova che <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math>, con <math>H = \{h : 1 \leqslant h \leqslant k, a_{k-h+j} = a_j, \forall{j=1, \ldots, k}\}</math>.

=== Dimostrazione ===
Sia <math>F = (F_n)_n</math> una [[Filtrazione (matematica)|filtrazione]] tale che <math>F_0 = \{\varnothing, \Omega\}</math> e <math>F_n = \sigma(X_1, X_2, \ldots, X_n)</math>, ossia la <math>\sigma</math>-algebra generata dalla successione di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] al tempo <math>n</math>. 

==== Osservazione 1 ====
<math>T</math> e <math>U</math> sono dei tempi di arresto rispetto a <math>F</math>

Per il [[paradosso di Borel]] <math>P\{X_{n+1} = a_1, X_{n+2} = a_2, \ldots, X_{n+k} = a_k\} = 1</math>, ossia la probabilità di ottenere la sequenza <math>(a_j)_j</math> digitando casualmente le lettere di una tastiera è [[Quasi certamente|quasi certa]]. Da ciò deriva che <math>P\{T < \infty\} = 1</math>. Anche <math>U</math> è un [[tempo di arresto]] rispetto a <math>F</math> in quanto, essendo <math>k</math> una [[costante]],<math>P\{T+k < \infty\} = P\{U < \infty\} = 1</math>

==== Osservazione 2 ====
<math>P\{T+k>n\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\prod_{j=1}^h\frac{1}{p}\Bigr)P\{T+k=n+h\}</math>

Si definisce una [[Successione (matematica)|successione]] di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] [[Indipendenza stocastica|indipendenti]], per ogni <math>n</math> fissato, <math>(Y_j^{(n)})_{j>0}</math> tale che <math>Y_j^{(n)} = \frac{1}{p}\Iota_{\{X_{n+j}=a_j\}}, \forall{j=1, \ldots, k}</math>. La [[Successione (matematica)|successione]] è [[Indipendenza stocastica|indipendente]] in quanto è funzione della successione <math>(X_n)_n</math>, anch'essa [[Indipendenza stocastica|indipendente]].

Per ogni <math>j</math> si osserva che la [[Valore atteso|previsione]] di <math>Y_j^{(n)}</math> è pari a uno. Infatti <math>\mathbf{E}[Y_j^{(n)}] = \frac{1}{p}p=1</math>

Si pone <math>M_j^{(n)} = \begin{cases} 1 \text{ se } 0 \leqslant j \leqslant n  \\ \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)} \text{ se } j=n+h, \text{ con } 1 \leqslant h \leqslant k \\ M_{n+k}^{(n)} \text{ se } j>n+h \end{cases}</math>

La [[Successione (matematica)|successione]] <math>(M_j^{(n)})_j</math> è una <math>F</math>-[[Martingala (matematica)|martingala]].

===== Osservazione 2.1 =====
<math>T = \inf\{n : M_{n+k}^{(n)} \neq 0\}</math>

===== Osservazione 2.2 =====
<math>\Iota_{\{T>n\}} M_{n+k}^{(n)} = 0</math>

Si pone <math>L^{(n)} = M^{(n)|U} = (M_{U \land j})_{j}</math>, che per la [[Trasformato secondo Burkholder|trasformazione secondo Burkholder]] è anch'essa una <math>F</math>-[[Martingala (matematica)|martingala]].

Si trova il valore di <math>L_{n+k}^{(n)}</math>quando <math>T>n</math>.

<math>\Iota_{\{T>n\}} L_{n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{U \land n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{T+k \land n+k}^{(n)}</math>

Dato che stiamo considerando il caso che <math>T > n</math>, il valore più piccolo tra <math>T+k</math> e <math>n+k</math> è proprio <math>n+k</math>

<math>\Iota_{\{T>n\}} M_{T+k \land n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k Y_j = \Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k \frac{1}{p} \Iota_{\{X_j = a_j\}}</math>

Per definizione di <math>T</math>, ossia il più piccolo <math>n</math> tale che la stringa si realizzi, si ha <math>M_{n+k}^{(n)} = 0</math> in quanto esiste almeno un carattere <math>j</math> compreso tra <math> 1</math> e <math>k</math> dove <math>X_j \neq a_j</math>. Come conseguenza si ha che <math>\Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}} = 0</math> e quindi <math>\Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k \frac{1}{p} \Iota_{\{X_j = a_j\}} = 0</math>

===== Osservazione 2.3 =====
<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \begin{cases} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h, \text{ se } h \in H \\ 0 \text{ se } h \not\in H \end{cases}</math>

Si trova il valore di <math>M_{n+h}^{(n)}</math> quando <math>T+k = n+h</math>.

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)}</math>

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}}</math>

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{T+k-h+j} = a_j\}}</math>

Ne segue che 

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \begin{cases} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h, \text{ se } h \in H \\ 0 \text{ se } h \not\in H \end{cases}</math>

In base all'<nowiki/>''osservazione 2.3'' si ha che <math>\Iota_{\{T+k > n\}} M_{n}^{(n)} = \sum_{h \in H} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h</math>

Considerando che <math>M_n^{(n)} = 1</math> per definizione si ha che <math>P\{\Iota_{\{T+k > n\}} 1\} = P\{\begin{matrix}\sum_{h \in H} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h\end{matrix}\}</math>

Dato che la [[probabilità]] di una [[funzione indicatrice]] corrisponde all'[[Evento (teoria della probabilità)|evento]] stesso si ha che <math>P\{T+k > n\} = \sum_{h \in H} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h P\{T+k = n+h\}</math>

==== Conclusione ====
<math>\mathbf{E}[U] = \sum_n P\{U > n\} = \sum_n P\{T+k > n\}</math>

Per l'''osservazione 2'' si ha che <math>\sum_n P\{T+k > n\} = \sum_n \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h P\{T+k = n+h\}</math>

Fissando <math>h</math>  e facendo variare <math>n</math> si ottiene che<math>\sum_n \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h P\{T+k = n+h\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h  \sum_n P\{T+k = n+h\}</math>

La somma per ogni <math>n</math> della [[probabilità]] che il [[tempo di arresto]] <math>T</math> sia uguale a <math>n+h-k</math> equivale a calcolare la [[probabilità]] che <math>T</math> sia finito, pari a <math> 1</math> per l'''osservazione 1''.

Pertanto si dimostra la tesi ottenendo che  <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h  \sum_n P\{T+k = n+h\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h</math>

== Verifiche sperimentali ==
Si può dimostrare sperimentalmente il tempo medio di uscita di una stringa implementando un algoritmo che simula l'estrazione casuale dei caratteri e campionando il numero di estrazioni necessarie a comporre una determinata parola. L'[[algoritmo]] può essere implementato attraverso un [[Simulazione|simulatore]], oppure utilizzando un [[linguaggio di programmazione]] fornito di una libreria che implementi un [[Numeri pseudo-casuali|generatore di numeri pseudo casuale]]. Di seguito si descrive un semplice [[algoritmo]] di esempio, scritto con il [[C (linguaggio)|linguaggio ANSI C]], che permette di [[Campionamento statistico|campionare]] i tempi di uscita di una stringa. Successivamente si descrive come avviene il [[Campionamento statistico|campionamento]] dei dati e si fa vedere che i dati tendono alla [[Valore atteso|previsione matematica]].

=== Algoritmo di campionamento ===
Per effettuare un [[Campionamento statistico|campionamento]] del tempo di uscita di una stringa è necessario implementare un [[algoritmo]] che effettui la stessa estrazione un certo numero di volte, solitamente maggiore di trenta. L'alfabeto di riferimento è quello inglese composto da ventisei lettere.<syntaxhighlight lang="c">
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <string.h>
#include <time.h>

#define MIN_CAR 97
#define MAX_CAR 122
#define DELTA_CAR 26

#define MARKER_STR "-s"
#define MARKER_GIRI "-n"
#define MARKER_SID "-r"
#define MARKER_SAVE "-f"
#define MARKER_VERBOSE "-v"
#define VERBOSE_OFF "off"

int verbose;

unsigned long long estrai_stringa(int l, char * s){
	
	unsigned long long n;
	int k, maxk;
	char c;
	
	n = 0;
	k = 0;
	maxk = 0;
	
	while (k < l){
		
		if (n == ULLONG_MAX){
			
			if (verbose == 1){
				printf("raggiunto limite massimo di estrazioni: %llu\n", n);
				printf("numero massimo di caratteri estratti: %d su %d\n", maxk, l);
				fflush(stdout);
			}
			
			return 0;
		}
		
		c = (char) (MIN_CAR + (rand() % DELTA_CAR));
		
		if (c == s[k]){
			k++;
			
			if (maxk < k){
				maxk = k;
			}
			
		}else{
			k = 0;
		}
		
		n++;
		
	}
	
	if (verbose == 1){
		printf("stringa estratta dopo %llu step\n", n);
		fflush(stdout);
	}
	
	return n;
	
}

int main(int argc, char * argv[]){
	
	int i, l = -1, n = -1;
	time_t t;
	unsigned int sid = 0;
	unsigned long long ret;
	char * s;
	FILE * f = NULL;
	
	verbose = 1;
	
	for (i = 0; i < argc; i++){
		
		if (strcmp(argv[i], MARKER_STR) == 0){
			s = argv[i + 1];
			l = strlen(s);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_GIRI) == 0){
			n = atoi(argv[i + 1]);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_SID) == 0){
			sid = atoi(argv[i + 1]);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_VERBOSE) == 0){
			if (strcmp(argv[i + 1], VERBOSE_OFF) == 0){
				verbose = 0;
			}
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_SAVE) == 0){
			
			f = fopen(argv[i + 1], "a");
			
			if (f == NULL){
				
				printf("errore nella creazione del file\n");
				fflush(stdout);
				
				return -1;
				
			}
			
		}
		
	}
	
	if (l == -1){
		if (verbose == 1){
			printf("specificare la stringa da estrarre: -s [stringa]\n");
			fflush(stdout);
		}
		return -1;
	}
	
	if (n == -1){
		if (verbose == 1){
			printf("specificare il numero di iterazioni: -n [numero iterazioni]\n");
			fflush(stdout);
		}
		return -1;
	}
	
	if (sid == 0){
		if (verbose == 1){
			printf("nessun sid specificato (opzione -r [sid]), uso sid generato automaticamente\n");
			fflush(stdout);
		}
		sid = (unsigned int) time(&t);
	}
	
	if (verbose == 1){
		printf("**** start estrazione ****\n");
		printf("sid = %du\n", sid);
		printf("stringa = %s\n", s);
		printf("lunghezza = %d\n", l);
		printf("iterazioni = %d\n\n", n);
		fflush(stdout);
	}
	
	srand(sid);
	
	for (i = 0; i < n; i++){
		
		ret = estrai_stringa(l, s);
		
		if (ret == 0){
			printf("errore nell'estrazione della stringa\n");
			fflush(stdout);
			return -1;
		}
		
		if (f != NULL){
			fprintf(f, "%llu\n", ret);
		}
		
	}
	
	if (f != NULL){
		fclose(f);
	}
	
	return 0;
	
}

</syntaxhighlight>Per [[Compilatore|compilare]] il codice è necessario salvarlo in un file (es. gen.c) e creare l'[[File eseguibile|eseguibile]] attraverso un [[GNU Compiler Collection|compilatore C]]. Di seguito si riporta il comando per compilare il sorgente con il compilatore [[GNU Compiler Collection|gcc]] per il sistema operativo [[linux]].<syntaxhighlight lang="bash">
gcc gen.c -o gen
</syntaxhighlight>
=== Verifica ipotesi mediante test di Student ===
Il test di verifica ipotesi di Student permette di stabilire se la media campionaria <math>\bar{x}</math> si discosti in modo significativo alla media matematica <math>\mathbf{E}[U]</math>. Per effettuare il test si formulano le ipotesi <math>H_0 : \bar{x} = E[U]</math> e <math>H_1 : \bar{x} \neq E[U]</math>. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi <math>H_0</math> si stabilisce che le due previsioni sono attinenti con una certa probabilità di errore. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi <math>H_1</math> si stabilisce che le due previsioni non sono attinenti con una certa probabilità di errore. Per effettuare il test di verifica è necessario ottenere i seguenti dati:
* <math>n \in \mathbb{N_+}</math> è la numerosità del campione, ossia il numero di volte in cui si è registrato il tempo di uscita della parola "ciao"
* <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}^n</math> è il campione da verificare, dove <math>\forall{i = 1, \ldots, n}, x_i</math> rappresenta il numero di estrazioni occorse prima di comporre la parola "ciao"
* <math>\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n{x_i}</math> è la media campionaria
* <math>\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2</math> è la varianza campionaria
* <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math> è la media matematica
* <math>Z = \frac{(\bar{x} - \mathbf{E[U]})}{\sqrt{\sigma^2}} \sqrt{n}</math>  è la statistica che ha legge di Student con  <math>(n-1)</math> gradi di libertà
* <math>\alpha \in \mathbb{R}, \text{ t.c. } 0 < \alpha < 1</math> è l'errore tollerabile nella conferma dell'ipotesi
* <math>q_{(n-1, \alpha)} \in \mathbb{R_+}</math> è il quantile della legge di Student con <math>(n-1)</math> gradi di libertà associato alla tolleranza <math>\alpha</math>
Il test si esegue comparando il valore della statistica con il relativo quantile. Nel caso in cui <math>Z < q_{(n-1, \alpha)}</math> si verifica l'ipotesi <math>H_0</math> con una probabilità pari a <math>1-\alpha</math>. Nel caso in cui, invece, <math>Z \geq q_{(n-1, \alpha)}</math> si respinge l'ipotesi <math>H_0</math> e si conferma l'ipotesi <math>H_1</math> con una probabilità di errore pari ad <math>\alpha</math>.

=== Esempio ===
Si procede ad un esempio concreto per verificare mediante il test di Student le ipotesi <math>H_0</math> e <math>H_1</math>.

Per prima cosa si procede al campionamento dei dati utilizzando l'algoritmo descritto nella sezione precedente con il comando<syntaxhighlight lang="bash">
./gen -s ciao -n 100 -f campionamento -r 1492875030
</syntaxhighlight>dove:
* ''ciao'' è la stringa da estrarre
* ''100'' è la numerosità del campionamento
* ''campionamento'' è il nome del file dove verranno salvati i risultati delle estrazioni
* ''1492875030'' è il seme per inizializzare il [[Numeri pseudo-casuali|generatore pseudo casuale]]
Non appena il programma termina l'esecuzione è possibile procedere con il test di Student per stabilire se il numero di estrazioni necessarie per ottenere la stringa "ciao" è attinente alla [[Valore atteso|previsione matematica]]. Si calcolano i parametri necessari a fare il test:
* <math>n = 100</math> è la numerosità del campione
* <math>\bar{x} = 493329,65</math> è la media campionaria
* <math>\bar{\sigma}^2 = 253288754254,291</math> è la varianza campionaria
* <math>\mathbf{E[U]} = 456976</math> è la media matematica
* <math>Z = 0,7224</math> è la statistica con legge di Student
* si pone <math>\alpha = 0,05</math> come errore tollerabile nel caso di verifica di <math>H_1</math>
* il quantile associato è <math>q_{(n-1, \alpha)} = 1,660 </math>
Essendo <math>Z < q_{(n-1, \alpha)}</math> si conferma l'ipotesi <math>H_0</math> e pertanto la media campionaria conferma la media matematica. Analizzando il grafico sottostante con l'andamento delle previsioni parziali al variare della numerosità si vede chiaramente come <math>\bar{x} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{ } \mathbf{E[U]}</math>.
[[File:Media campionaria uscita stringa.png|bordo|centro|senza_cornice|640x640px]]

== Bibliografia ==

{{cita libro| autore=Paolo Baldi | titolo=Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione | città=Milano | editore=McGraw-Hill | anno=1998 | ISBN=88-386-0737-0}}

{{cita libro| autore=Paolo Baldi | titolo=Calcolo delle Probabilità | città=Milano | editore=McGraw-Hill | anno=2007 | ISBN=978-88-386-6365-9}}

{{cita libro| autore=Francesca Biagini, Massimo Campanino | titolo=Elementi di Probabilità e Statistica | città=Milano | editore=Springer | anno=2006 | ISBN=88-470-0330-X}}

{{portale|matematica|statistica}}

[[Categoria:Teoria della probabilità]]