Visualizza wikitesto di Storia della matematica

[[File:Woman teaching geometry.jpg|thumb|Illustrazione degli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]]. Una figura magistrale femminile, probabilmente [[allegoria|allegorica]], munita di [[squadra e compasso]], insegna la geometria a dei discepoli (1309-1316 circa).]]

La '''storia della [[matematica]]''' ha origine con il concetto di [[numero]] e con le prime scoperte matematiche, proseguendo attraverso l'evoluzione nel corso dei secoli dei propri metodi e delle [[notazioni matematiche]] il cui uso si sussegue nel tempo.
[[File:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|thumb|Questo [[Papiri di Ossirinco|papiro da Ossirinco]] contiene uno dei più antichi e completi diagrammi degli "Elementi di geometria" di Euclide. Vi è disegnato il diagramma che riguarda la quinta preposizione del secondo libro degli Elementi]]

Un aspetto importante della [[matematica]] consiste nel fatto che essa si è sviluppata indipendentemente in [[cultura|culture]] completamente differenti arrivando in molti casi agli stessi risultati: spesso un contatto o una reciproca influenza tra [[popolo|popoli]] differenti ha portato all'introduzione di nuove idee e a un avanzamento delle conoscenze matematiche, a volte si è visto invece un regredire improvviso della cultura matematica presso alcuni popoli; la [[matematica]] moderna ha invece potuto avvalersi dei contributi di persone di tutti i paesi.

L'attività svolta dai matematici moderni è molto diversa da quella dei primi matematici delle civiltà antiche; inizialmente la matematica si basò sul concetto di numero, concetto sviluppatosi nella [[preistoria]]. La matematica è stata infatti una tra le prime discipline a svilupparsi: prove archeologiche mostrano la conoscenza rudimentale di alcune nozioni matematiche molto prima dell'invenzione della [[scrittura]].

== Matematica primitiva ==
{{vedi anche|Sistema di numerazione#Evoluzione dei sistemi numerici}}
Prima dei documenti scritti su papiro sono registrati disegni che testimoniano conoscenze della matematica e, sulla base dell'osservazione delle stelle, della misurazione del tempo . Altri artefatti [[Preistoria|preistorici]] scoperti in [[Africa]] e [[Francia]], datati tra il 35.000 a.C. e il 20.000 a.C., indicano i primi tentativi di quantificazione del [[tempo]].<ref>{{Cita web |url=http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf |titolo=Mathematics in (central) Africa before colonization |accesso=3 luglio 2007 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120207040200/http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf |dataarchivio=7 febbraio 2012 |urlmorto=sì }}</ref> Si suppone che i primi conteggi coinvolgessero donne che registravano i cicli mestruali o le [[fasi lunari]].

Parallelamente si andò sviluppando il concetto di numero: è probabile che le prime considerazioni riguardassero i branchi di animali e la distinzione tra i concetti di "[[uno]]" "[[due]]" e "molto", come ancor oggi fanno gli [[zulu]], i [[pigmei]] africani, i nativi delle Isole Murray, i kamilarai australiani, e i [[Popoli indigeni del Brasile|botocudos brasiliani]].<ref>Geoges Ifrah, ''Storia universale dei numeri'', Arnoldo Mondadori (1989).</ref> Altre popolazioni sono in grado di aumentare la capacità di conteggio visivo ricorrendo all'uso, secondo un preciso ordine, di parti del proprio corpo, arrivando in tal modo a contare fino a 17, 33, 41 in funzione dei riferimenti corporali utilizzati.

Sul piano fisiologico sembrerebbe che la capacità di percepire visivamente, senza dover contare, il numero di elementi si fermi a quattro. È significativo al riguardo che in taluni linguaggi vi sia la declinazione delle forme al singolare, duale, triale, quattriale e plurale; anche in [[lingua latina|latino]] solo i primi quattro numeri (''unus, duo, tres, quatuor'') sono declinabili. Alcuni esperimenti effettuati sulle [[Corvus corone|cornacchie]] indicano la capacità di distinguere fino a quattro elementi di un [[insieme]].<ref name="numeri">Boyer 1990, pp. 1-2</ref>

Successivamente tali concetti si palesarono con tacche e incisioni. Si andavano sviluppando anche le prime, semplici nozioni geometriche. I [[Paleontologia|paleontologi]] hanno scoperto rocce di ocra in una caverna del [[Sudafrica]] adornate di configurazioni [[Geometria|geometriche]] che risalgono al 70.000 a.C.<ref>{{Cita web | cognome = Henahan | nome = Sean | anno = 2002 | url = http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html | titolo = Art Prehistory |sito= Science Updates | editore = The National Health Museum | accesso=6 maggio 2006}}</ref>

L'[[osso d'Ishango]], ritrovato nell'area delle sorgenti del [[Nilo]] (nord est del [[Repubblica Democratica del Congo|Congo]]), presenta delle [[incisione|incisioni]] che potrebbero indicare una primitiva conoscenza della sequenza dei [[numero primo|numeri primi]].<ref>{{Cita web | cognome = Williams | nome = Scott W. | anno = 2005 | url = http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html | titolo = An Old Mathematical Object |sito= Mathematicians of the African diaspora | editore = SUNY Buffalo mathematics department | accesso=6 maggio 2006}}</ref> Monumenti [[Megalito|megalitici]] che in [[Egitto]] risalgono fino al [[V millennio a.C.]] e in [[Inghilterra]] e [[Scozia]] a partire dal [[III millennio a.C.]], con il loro disegno concretizzano idee geometriche come quelle di [[cerchio]], [[ellisse]] e [[terna pitagorica]] e una possibile comprensione della misurazione del tempo basata sui movimenti delle stelle.<ref>Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., ''Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom'', (Cambridge: Cambridge University Press, 1988) ISBN 0-521-33381-4</ref> Intorno al [[2600 a.C.]] le tecniche per le grandi costruzioni mostrano la padronanza della [[geodesia]] di precisione.

Le prime nozioni matematiche che ci sono giunte dall'antica [[India]] risalgono al periodo [[3000 a.C.]] - [[2600 a.C.]], prevalentemente nell'India settentrionale e nel [[Pakistan]]. Furono sviluppati un sistema di pesi e misure uniformi il quale si serviva di [[frazione (matematica)|frazioni]] [[decimale|decimali]], una tecnologia dei [[mattone|mattoni]] sorprendentemente avanzata che utilizzava i [[Rapporto (matematica)|rapporti]] di strade disposte secondo perfetti angoli retti e di un'enorme varietà di forme e figure geometriche ([[parallelepipedo|parallelepipedo rettangolo]], [[botte]], [[cono (solido)|cono]], [[Cilindro (geometria)|cilindro]] e figure di cerchi e triangoli concentrici ed intersecati). Tra gli strumenti matematici scoperti vi sono un'accurata riga con suddivisioni decimali precise e ravvicinate, uno strumento a conchiglia che serviva da [[compasso (strumento)|compasso]] per misurare angoli sulle superfici piane secondo multipli di 40 – 360 gradi e uno strumento per la misura delle posizioni delle stelle per la navigazione.

La scrittura dell'Indo non è ancora stata decifrata; quindi si conosce ben poco delle forme scritte della Matematica indiana. L'evidenza archeologica ha condotto alcuni storici a credere che questa civiltà usasse un [[sistema di numerazione]] in [[base 8]] e possedesse la nozione del rapporto fra lunghezza della [[circonferenza]] di un cerchio e del suo [[diametro]], cioè un valore di [[π]].<ref>{{Cita web | cognome = Pearce | nome = Ian G. | anno = 2002 | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html | titolo = Early Indian culture - Indus civilisation | sito = Indian Mathematics: Redressing the balance | editore = School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews | accesso = 6 maggio 2006 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20081228060907/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html | dataarchivio = 28 dicembre 2008 | urlmorto = sì }}</ref>

== Civiltà antiche ==
I testi matematici più antichi provengono dall'[[antico Egitto]], nel periodo del Regno di mezzo, (2000-1800 a.C. ca., [[papiro di Mosca]]), dalla [[Mesopotamia]], (1900-1700 a.C. ca, [[tavoletta Plimpton 322]]) e dall'[[India]], (intorno all'[[800 a.C.]]-[[200]] D.C., [[Sulba Sutras]]).

Tutti questi testi toccano il cosiddetto [[teorema di Pitagora]], che sembra essere il più antico e diffuso risultato matematico che va oltre l'aritmetica e la geometria elementari.

=== Matematica dell'Antico Egitto (2000 a.C. - 600 a.C.) ===
{{Vedi anche|Matematica egizia}}
[[File:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|thumb|Una parte del [[papiro di Rhind]].]]
Il più antico testo egizio finora scoperto è il [[papiro di Mosca]], datato fra il 2000 a.C. e il 1800 a.C. Come molti testi matematici antichi si presenta come un problema basato su una storia, apparentemente scritto a scopi ricreativi. La parte ritenuta più interessante è quella nella quale si espone un metodo corretto per trovare il volume di un [[tronco di piramide]]: il solido viene scomposto in [[parallelepipedo|parallelepipedi]] e [[prisma|prismi]]; sommando poi i volumi si ottiene il volume cercato.<ref name="Tronco di piremaide">Boyer 1990, pp. 24-25</ref>

Un altro testo importante è il [[papiro di Rhind]]<ref>[https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/RhindPapyrus.shtml Rhind Papyrus]</ref> (datato intorno al 1650 a.C.), un manuale di istruzione di aritmetica e geometria. Oltre a fornire formule per aree e procedimenti di moltiplicazione, divisione e operazioni con frazioni a numeratore unitario, contiene l'evidenza di altre nozioni matematiche come [[numero primo]], [[media aritmetica]], [[media geometrica]], [[media armonica]] e [[numero perfetto|numeri perfetti]]. Vi si trova anche una spiegazione primitiva del [[crivello di Eratostene]] e il metodo per la soluzione di un'[[equazione lineare]] del primo ordine.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html Papiro di Rhind]</ref>

Inoltre gli [[Antico Egitto|Egizi]] preferivano esprimere i [[numeri razionali]] come somma di frazioni con numeratore unitario oppure della [[frazione (matematica)|frazione]] 2/3: per esempio 2/15 viene espressa come 1/10 + 1/30. Ancora oggi ci si riferisce a questa tecnica come [[frazione egiziana]].<ref>[http://www.mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm Egyptian Unit Fractions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100206111136/http://mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm |data=6 febbraio 2010 }} at MathPages</ref>

Il papiro di Rhind contiene anche nozioni di geometria non banali come un metodo per ottenere un'approssimazione di <math>\pi</math> con un'imprecisione inferiore all'1%, un primo tentativo di effettuare la [[quadratura del cerchio]] e il primo uso conosciuto di un tipo di [[cotangente]].

Nel [[periodo ellenistico]] gli studiosi dell'Egitto per i loro scritti abbandonarono l'antica lingua e adottarono la greca. Da quel momento la matematica degli egizi si fuse con quella greca dando vita alla grande matematica ellenistica.

=== Matematica dell'antica Mesopotamia (1900 a.C. - 300 a.C.) ===
{{vedi anche|Matematica babilonese}}
[[File:Plimpton 322.jpg|thumb|left|La tavoletta [[Plimpton 322]].]]Diversamente dalla scarsità di fonti che ci sono rimaste riguardo alla matematica egizia, la nostra conoscenza della matematica babilonese deriva dal ritrovamento, risalente alla metà del [[XIX secolo]], di più di 400 tavolette di [[argilla]] scritte in carattere cuneiforme. La maggior parte è datata dal 1800 al 1600 a.C. e tratta argomenti che includono frazioni, [[algebra]], [[equazione quadratica|equazioni di secondo grado]] ed il calcolo di [[terna pitagorica|terne pitagoriche]].<ref>{{Cita libro | cognome = Aaboe | nome = Asger | titolo = Episodes from the Early History of Mathematics | anno = 1998 | editore = Random House | città = New York | pagine = 30-31}}</ref> Le tavolette includono inoltre tavole di moltiplicazione, tavole trigonometriche e metodi risolutivi per [[equazioni lineari]] e quadratiche. La tavoletta "YBC 7289" fornisce un'approssimazione di [[radice di 2]] accurata alla quinta [[sistema decimale|cifra decimale]]. Una delle più importanti è certamente [[Plimpton 322]] dove vengono elencate su tre colonne molte [[terna pitagorica|terne pitagoriche]] dimostrando così una probabile conoscenza del [[Teorema di Pitagora]].<ref>[http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html "Plimpton 322" ]</ref>

L'[[algebra]] babilonese fu probabilmente la più avanzata dell'intero bacino mediterraneo per secoli. I babilonesi sapevano infatti risolvere le [[equazione di secondo grado|equazioni di secondo grado]] con formule analoghe a quelle usato oggi (si veda approfondimento). Inoltre, anche se i problemi erano basati sulla geometria, si trattava di manipolazioni molto astratte che dimostrano un elevato grado di versatilità.
{{Approfondimento
|larghezza=450px|
|titolo=Problemi dal Papiro di Rhind
|contenuto=
[[File:Oudjat.svg|thumb|Le sei parti che compongono l'occhio di Horus, evidenziate con colori diversi.]]
Il [[papiro di Rhind]] (o papiro di Ahmes) è una delle più importanti testimonianze della [[matematica egizia]]. Vi vengono esposti alcuni problemi e la loro risoluzione:

Il problema 26 recita: «Una quantità, il suo quarto (aggiunto) su di essa fa 15»,

che nella notazione moderna può essere scritto come:

<math>x + \frac{1}{4} x = 15</math>.

L'equazione di primo grado vien risolta tramite il [[metodo di falsa posizione]]: viene assegnato il valore provvisorio ''x = 4''. L'uguaglianza diviene 4 + 1 = 5. Notando che il rapporto tra 15 e 5 è 3 se ne conclude che anche il rapporto tra l'incognita e 4 è 3. Viene dunque trovato il valore corretto di ''x = 12''.

Nel problema 30 un problema analogo viene risolto col metodo comune

In un altro problema si chiede di trovare l'[[area]] del [[cerchio]] di diametro 9, eguagliandola a quella di un quadrato di lato 8. Ciò pone un valore di [[pi greco]] che corrisponde a 3,16.

Vengono anche affrontate le [[progressione geometrica|progressioni geometriche]]: secondo un mito egizio infatti l'occhio del dio [[Horus]] era stato diviso in sei parti. Nel papiro si dice che le sei parti sono le potenze negative del due da 1/2 a un 1/64. Si chiede poi di trovare l'area che è 63/64.

}}
La matematica babilonese faceva uso di un [[Numerazione posizionale|sistema di numerazione posizionale]] sessagesimale (cioè a base 60). Lo sviluppo della matematica babilonese probabilmente fu favorito da questo particolare sistema di numerazione, possedendo il numero 60 numerosi [[divisore|divisori]]. L'uso di un sistema posizionale per rappresentare i numeri (come quello arabico in uso in tutto il mondo oggi) differenzia i Babilonesi da [[Antico Egitto|Egizi]], Greci e [[Civiltà romana|Romani]]: nella rappresentazione babilonese le cifre scritte nella colonna sinistra rappresentano valori più grandi. Tuttavia in un primo tempo i Babilonesi non usavano la cifra [[zero]]. Questo faceva sì che spesso il valore posizionale di una cifra dovesse essere dedotto dal contesto. Successivamente fu introdotta una [[cifra]] che faceva da zero ma sembra che i Babilonesi non la usassero nella posizione delle [[Unità (matematica)|unità]] (i numeri 22 e 220 erano, per esempio, indistinguibili).<ref name="Leibniz">Boyer 1990, pp. 31-32</ref>

=== Matematica dell'antica India (900 a.C. - 200) ===
Dopo il collasso della [[Civiltà della valle dell'Indo]] nel 1500 a.C., la scrittura scomparve dall'[[Asia meridionale]] per lungo tempo. Sono assai controverse le date nelle quali la pratica dello scrivere riemerse nell'India e in cui la scrittura [[Brahmi]] fu sviluppata. Recenti scoperte archeologiche la datano intorno al [[600 a.C.]], mentre alcuni studiosi propongono anche il [[1000 a.C.]] Se le date più lontane sono corrette, forse [[Pitagora]] visitò l'India come sostenuto da alcuni storici ([[Florian Cajori]]) altrimenti la matematica indiana può aver beneficiato del contatto con il mondo greco in seguito all'invasione di [[Alessandro Magno]]. È anche possibile (come sostenuto dalla maggioranza degli studiosi) che le due tradizioni matematiche si siano sviluppate indipendentemente.

Nell'era vedica la matematica non era studiata solo per scopi scientifici, ma si incontrano esposizioni matematiche avanzate diffuse in tutto il grande corpo dei testi indiani di questo periodo. La Yajur-Veda composta dal [[900 a.C.]], per prima affronta il concetto di [[infinito (matematica)|infinità]] numerica. Yajnavalkya ([[900 a.C.|900]]-[[800 a.C.]] circa) calcolò il valore di [[π]] con 2 cifre decimali<ref>{{Cita web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html |titolo=4: Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas<!-- Titolo generato automaticamente --> |accesso=8 settembre 2009 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20090426035326/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html |dataarchivio=26 aprile 2009 |urlmorto=sì }}</ref>. Le Sulba Sutras (risalenti intorno all'[[800 a.C.]]-[[200]] D.C.) sono testi di [[geometria]] che usano [[numeri irrazionali]], [[numeri primi]], la [[regola del tre (matematica)|regola del tre]] e [[radice quadrata|radici cubiche]], danno un metodo approssimato per la [[quadratura del cerchio]]<ref name=cooke199-200>Harv Cooke 2005 pp. 199-200</ref>, risolvono [[equazioni lineari]] ed [[equazioni quadratiche]], determinano algebricamente [[terne pitagoriche]] e danno un enunciato e una dimostrazione numerica del [[teorema di Pitagora]]. Inoltre viene espresso un algoritmo infinito per il calcolo di [[radice di 2]]<ref name=cooke200>Harv Cooke 2005 p. 200</ref> con cui vengono calcolate le prime 5 cifre decimali.

[[Pingala]] ([[IV secolo a.C.]]-[[III secolo a.C.]]) inventò un [[Sistema numerico binario|sistema binario]], studiò quelli che in seguito verranno definiti la [[Successione di Fibonacci|sequenza di Fibonacci]] e il [[triangolo di Pascal]]; inoltre formulò la definizione di [[matrice]]. Tra il [[IV secolo a.C.]] ed il [[III secolo d.C.]] i matematici indiani cominciarono ad impostare i loro studi in una prospettiva unicamente speculativa. Furono i primi a sviluppare ricerche su [[teoria degli insiemi]], [[logaritmo|logaritmi]], [[equazione di terzo grado|equazioni di terzo grado]], [[equazione di quarto grado|equazioni di quarto grado]], [[serie (matematica)|serie]] e [[successione (matematica)|successioni]], permutazioni e combinazioni, estrazione di [[radice quadrata|radici quadrate]], [[Potenza (matematica)|potenze]] finite e infinite. Il ''Manoscritto Bakshali'', composto tra il [[III secolo a.C.]] ed il [[III secolo d.C.]], include soluzioni di [[equazioni lineari]] con più di cinque incognite, la soluzione di equazioni quadratiche, [[successione geometrica|geometriche]], [[sistemi di equazioni]], l'uso del numero zero e i [[numeri negativi]]. Vi si trovano anche accurati [[algoritmi]] per il calcolo di [[numeri irrazionali]].

== Matematica greco-ellenistica (circa 550 a.C. — 400 d.C.) ==
{{Vedi anche |matematica greco-ellenistica}}

Per quella che spesso viene chiamata ''matematica greca'' è opportuno distinguere due periodi. Nel primo periodo, quello della massima importanza economica e politica delle città greche e delle loro colonie, si colloca la matematica sviluppata dai matematici di queste città. Nel successivo [[periodo ellenistico]] (che si può far iniziare nel [[323 a.C.]] e concludere intorno al V secolo d.C.) si colloca la produzione di tutti gli autori che operarono nel mondo ellenistico accomunati dell'uso della [[lingua greca]]. Molte delle più grandi menti di questo periodo come [[Archimede]] e [[Apollonio di Perga|Apollonio]] non vissero nell'area geografica corrispondente all'attuale [[Grecia]], pur essendo protagonisti della cultura ellenistica di lingua greca diffusasi in molte aree mediterranee.

Per quanto i più antichi testi di matematica trovati in [[lingua greca|greco]] siano stati scritti posteriormente al periodo ellenistico, parecchi di essi vengono ritenuti copie di opere scritte durante e anche prima di questo periodo. Nondimeno, la datazione della matematica greca è più attendibile rispetto a quella degli scritti matematici più antichi, poiché esistono numerose cronologie che, sovrapponendosi, riportano gli avvenimenti anno per anno fino ad oggi.

=== Matematica greca arcaica (600 - 300 a.C.) ===

La matematica greca è molto più moderna di quella sviluppata dalle precedenti culture quali quella egiziana e babilonese, in quanto tali precedenti culture utilizzavano il [[empirismo|ragionamento empirico]] che sfrutta le osservazioni ripetute per fondare le regole della matematica. La matematica greca antica, all'opposto, si basa sul ragionamento deduttivo, che partendo da [[assioma|assiomi]] più o meno scontati usa rigorosi ragionamenti per dimostrare teoremi.<ref>Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72–83 in Michael H. Shank, ed., ''The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages'', (Chicago: University of Chicago Press) 2000, p. 75.</ref> Su questa idea ancor oggi si basa tutta la matematica moderna. I Greci si occuparono quasi esclusivamente di [[Geometria]] e, secondo i loro canoni si potevano usare solo due strumenti per la costruzione e lo studio di figure geometriche: la [[riga (strumento)|riga]] (non taccata) e il [[compasso (strumento)|compasso]] (che si chiudeva non appena sollevato dal foglio, e quindi non poteva servire per riportare una misura). Ragionamenti che coinvolgevano altri strumenti erano a volte utilizzati, ma venivano considerati non rigorosi.

Si ritiene che la matematica greca abbia avuto inizio con [[Talete|Talete di Mileto]] (624-546 a.C. ca.) e [[Pitagora di Samo]] (582 — 507 a.C. ca.). Questi furono probabilmente influenzati dalle idee della matematica egiziana, della [[matematica babilonese]] anche se riuscirono certamente a rielaborare in modo originale le conoscenze di questi popoli.<ref>Boyer 1991 p. 53</ref>

[[Talete]] si occupò di geometria, scoprendo per esempio il teorema secondo il quale un [[triangolo]] inscritto in una [[semicirconferenza]] è sempre [[rettangolo]] e molte proposizioni riguardanti i triangoli simili. Grazie a tali teoremi, secondo la leggenda, riuscì a determinare l'altezza della [[piramide di Cheope]] misurando la sua ombra.

[[File:Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315.jpg|thumb|Euclide]]
[[Pitagora]] invece fu il fondatore della [[Scuola pitagorica]], una setta i cui membri si dedicavano alla ricerca matematica. La scuola pitagorica presentava anche connotazioni filosofiche e mistiche: i membri per esempio seguivano ideali di perfezione nel numero cinque (e quindi al [[pentagono]] e al [[dodecaedro]]) e nella [[sfera]]. Tutta la filosofia della setta era fondata sui [[numero naturale|numeri naturali]] e sui loro quozienti, i numeri razionali. Inoltre i pitagorici credevano nella [[metempsicosi]] ed erano [[vegetariani]].<ref>Boyer 1991 pp. 62-64</ref> Questa comunità diede importanti contributi alla geometria, primo fra tutti la dimostrazione del [[Teorema di Pitagora]] (sembra già trovato empiricamente da egiziani e babilonesi) e alla [[teoria dei numeri]], come la classificazione e lo studio dei numeri figurati e dei [[numero perfetto|numeri perfetti]], la scoperta delle [[terne pitagoriche]] e del [[crivello di Eratostene]].

Paradossalmente la scoperta più importante della comunità fu forse la dimostrazione che il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato (ossia [[radice di 2]]) non è esprimibile come rapporto di due interi. Questa scoperta, che prova l'esistenza dei [[numero irrazionale|numeri irrazionali]], si scontrava con tutta la filosofia della setta. Secondo la tradizione riportata da alcuni autori posteriori, il pitagorico [[Ippaso di Metaponto]] fece tale scoperta durante un viaggio in nave, ed ebbe l'infelice idea di comunicarla senza indugio agli altri adepti della setta, i quali comprendendone immediatamente le conseguenze gettarono lo stesso Ippaso in mare. Altri autori menzionano semplicemente il fatto che Ippaso morì in un naufragio. Di fatto, se pure ci fu un tentativo dei pitagorici di tenere nascosta la scoperta, questo non riuscì. Oggi si ritiene più probabile che la dimostrazione dell'irrazionalità di <math>\sqrt{2}</math> sia più tarda e che i pitagorici abbiano osservato l'irrazionalità della diagonale del [[Pentagono (geometria)|pentagono]] di lato unitario (ossia [[sezione aurea]])<ref name="irrazionali">Boyer 1990, pp. 86-87</ref>.

Più tardi la matematica greca si diffuse e nacquero per esempio i tre problemi classici: la [[quadratura del cerchio]], la [[duplicazione del cubo]] e la [[trisezione dell'angolo]], da risolvere usando solo riga e compasso. L'impossibilità di risolvere questi problemi è stata provata solo nell'epoca moderna; già nell'antichità furono trovate soluzioni che però coinvolgevano altri strumenti oltre ai due "canonici". Nello studiare questi problemi si distinsero matematici come [[Archita di Taranto]], [[Ippia di Elide]] e [[Ippocrate di Chio]]. Quest'ultimo riuscì nella difficile impresa della quadratura delle [[lunula di Ippocrate|lunule]] circolari ossia parti di piano racchiuse da due [[circonferenza|circonferenze]] passanti per due punti dati.<ref>[http://www.galgani.it/matematica/storia_matematica/quadratura.htm qui] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090529075850/http://www.galgani.it/matematica/storia_matematica/quadratura.htm |data=29 maggio 2009 }}</ref> [[Eudosso di Cnido]] fu invece il primo a cercare di approssimare un cerchio tramite poligoni regolari ([[metodo di esaustione]]). Importante in quel periodo fu anche l'opera logica di [[Aristotele]] che, nell'''[[Organon]]'', sviluppò il concetto di [[sillogismo]].

=== Matematica greca ellenistica (300 a.C. - 400 d.C.) ===

Successivamente, con la fondazione ad [[Alessandria d'Egitto|Alessandria]] della [[Biblioteca di Alessandria|Biblioteca]] e del [[Museo di Alessandria|Museo]], che raccoglievano le più grandi menti dell'epoca, la città egizia divenne il centro culturale più importante dell'[[età ellenistica]]. In questo periodo si situa l'opera di [[Apollonio di Perga]] (262-190 a.C. ca.), di [[Euclide]] (367-283 a.C. ca.) e di [[Archimede|Archimede di Siracusa]] (284-218 a.C. ca.). Il primo è noto soprattutto per l'imponente opera ''Le Coniche'' nella quale definiva e studiava le [[sezioni coniche]]: [[ellisse]], [[parabola (geometria)|parabola]] e [[iperbole (geometria)|iperbole]] e che ebbe grande importanza nel mondo europeo.

[[File:Archimedes (Idealportrait).jpg|thumb|left|Archimede di Siracusa]]
L'opera più importante di [[Euclide]] sono invece gli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' in cui egli raccoglie tutti i teoremi elementari di Aritmetica ma soprattutto di Geometria, per esempio i principali teoremi di [[geometria piana]] e solida come il [[Teorema di Pitagora]] e la costruzione dei [[poliedri regolari|solidi regolari]] o una dimostrazione dell'infinità dei [[numero primo|numeri primi]]. Gli ''Elementi'' sono stati considerati il più attendibile manuale di matematica per secoli e secoli. L'importanza di questo capolavoro sta anche nel fatto che Euclide basa su pochi [[assiomi]] fondamentali (in particolare su cinque che riguardano la [[geometria]]) tutta la matematica elementare e dà prova di un uso esemplare della logica matematica. La fama del trattato era tale che questo era conosciuto da tutte le persone colte dell'[[Civiltà occidentale|Occidente]] fino al [[XX secolo]].<ref>Howard Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "No work, except [[The Bible]], has been more widely used...."</ref> Si dice inoltre che [[Isaac Newton]] abbia riso una sola volta: quando gli chiesero se valeva la pena studiare gli Elementi.<ref name="laught">{{Cita pubblicazione| cognome = Fisher| nome = Ernest Peter | anno = 1997| titolo = Aristotele, Einstein e gli altri| p = 139}}</ref>

[[Archimede]] è da molti considerato il più grande matematico del periodo greco ellenistico<ref>Boyer 1991 p. 143</ref> ed è inoltre considerato il padre della [[fisica]] [[matematica]].<ref>Boyer 1991 p. 145</ref> Lasciò innumerevoli opere nelle quali dà prova di una grande inventiva. Riuscì ad approssimare <math>\pi</math> circoscrivendolo tra due numeri limite, a scoprire la formula per calcolare il volume e la superficie della [[sfera]] e l'area del [[cerchio]]. Descrisse la costruzione dei [[solidi semiregolari]] o archimedei. Anticipò in molti testi il [[calcolo infinitesimale]] come per esempio nell'opera ''Sulle spirali'' dove trova la tangente e la [[lunghezza di un arco]] di [[spirale archimedea]] o nella ''Quadratura della parabola'' dove in appendice calcola addirittura il risultato di una [[serie geometrica]]<ref>Boyer 1991 p. 153</ref>. Fu anche un ingegnere valente e molte sono le opere meccaniche che secondo la leggenda avrebbe costruito. Tramite queste macchine, in particolare gli [[specchi ustori]], avrebbe difeso la città di [[Siracusa]] dall'assedio [[roma antica|romano]]. Una volta conquistata la [[città]], nonostante il console [[Marco Claudio Marcello|Marcello]] avesse ordinato di non ucciderlo, sarebbe stato ucciso da un soldato penetrato in casa sua mentre il [[matematico]] era intento nei suoi calcoli. In realtà lo stesso [[Plutarco]] tramanda ben tre versioni della morte di [[Archimede]] nell'[[assedio di Siracusa (212 a.C.)|assedio di Siracusa]].<ref>[[Plutarco]], Vita di Marcello, 19, 9</ref>

[[Ipparco di Nicea]] stilò la prima [[tavola trigonometrica]] con l'ausilio della quale poteva risolvere qualsiasi [[triangolo]].<ref name="oconnor1996">O'Connor (1996)</ref><ref name="seno">Boyer, pp. 158–168.</ref> Il suo lavoro fu ripreso da [[Claudio Tolomeo]] che ricavò inoltre le [[formule di addizione e sottrazione]] del [[Seno (matematica)|seno]] e del [[coseno]]. Entrambi furono anche valenti [[astronomi]].

Dopo questi sviluppi la [[matematica greco-ellenistica|matematica ellenistica]] entrò in crisi: i [[Civiltà romana|romani]], fatte salve le nozioni che servivano loro per l'ingegneria, non ebbero alcun interesse verso la [[matematica]] che fu sempre più emarginata e assimilata all'[[astrologia occidentale|astrologia]]. Secondo alcuni anche l'inadeguatezza dell'algebra geometrica greca può aver contribuito al tramonto della matematica greco-ellenistica.<ref name="autogenerato2">Boyer 1991 p. 205</ref><ref>B.L. van der Waerden, ciece awening 1961 pp. 265-266</ref>

Gli ultimi matematici degni di nota furono [[Diofanto di Alessandria]] che nella sua ''Aritmetica'' gettò le basi per la teoria delle [[equazione diofantea|equazioni diofantee]] e lo studioso di Geometria [[Pappo di Alessandria]] che dimostrò importanti teoremi come il [[teorema dell'esagono di Pappo|Teorema dell'esagono]] e il [[teorema di Pappo Guldino]].

Anche i cristiani e le popolazioni barbariche dimostrarono poco interesse per la matematica: anche se formalmente aritmetica e geometria facevano parte del [[Quadrivio]], le nozioni studiate erano davvero minimali. La scuola alessandrina, che si occupava di matematica e filosofia, subì un duro colpo quando [[Ipazia]], sua massima esponente, venne trucidata dai "parabolani", fanatici cristiani sostenuti dal vescovo [[Cirillo]].

== Matematica medioevale ==
=== Matematica delle civiltà precolombiane (200 - 1530 d.C.) ===
[[File:Quipu.png|thumb|Rappresentazione di un quipu]]

Il periodo classico della civiltà [[Maya]] si situa tra il 200 e l'800 d.C. Gli sviluppi della matematica Maya furono dovuti principalmente ai loro studi astronomici. Essi usarono un [[Sistema di numerazione maya|sistema posizionale a base venti]] nel quale appariva anche lo [[zero|0]]. Tuttavia i Maya non considerarono mai lo 0 come un numero ma solo come una [[cifra]].

La civiltà [[Inca]] (1400-1530) invece sviluppò un sistema di numerazione a base 10. Per indicare i numeri essi usavano i cosiddetti [[quipu]], un insieme di lunghi fili paralleli. Ogni filo rappresentava una potenza di [[10 (numero)|dieci]] e il numero di nodi la cifra in quella posizione.

=== Matematica cinese (200 a.C. - 1200) ===
[[File:Yanghui triangle.PNG|thumb|left|upright=0.7|[[Triangolo di Tartaglia]] disegnato dal matematico cinese Zhu Shijie nel 1303. ]]
In [[Cina]], nel [[212 a.C.]] (alla fine del lungo periodo della guerra civile degli [[Periodo dei regni combattenti|Stati combattenti]]) l'imperatore [[Qin Shi Huang]] (Shi Huang-ti) ordinò il rogo di tutti i testi scritti. Benché alcuni testi si siano salvati, molto poco è conosciuto della matematica cinese precedente a questa data. Un altro fattore che non ha favorito la nostra conoscenza è il fatto che gran parte delle opere erano scritte sul [[Bambuseae|bambù]], molto deperibile.

Del precedente periodo Shang (1500 a.C. - 1027 a.C.) il più antico reperto di interesse per la storia della matematica consiste in un guscio di [[tartaruga]] su cui sono incisi dei numeri che usano una specie di notazione decimale.<ref>{{Cita web |url=http://www.saxakali.com/COLOR_ASP/chinamh1.htm |titolo=Development of Mathematics in Ancient China |accesso=3 luglio 2007 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20070704053539/http://www.saxakali.com/COLOR_ASP/chinamh1.htm |dataarchivio=4 luglio 2007 |urlmorto=sì }}</ref><ref>[http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm The use of the decimal system] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081203181420/http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm |data=3 dicembre 2008 }}</ref> Il numero 123 ad esempio è scritto con il simbolo di 1 seguito da quello di centinaia, il simbolo di due seguito da quello di decine e il simbolo di 3. Non sappiamo con precisione [[Numerazione posizionale|quando questo sistema]], che era il più avanzato al mondo in quel periodo, fu inventato.

Delle conoscenze precedenti al rogo dei libri ci rimangono pochissime testimonianze. La più importante di queste è ''I nove capitoli dell'Arte matematica'' che consiste in una raccolta di 246 problemi riguardanti l'agricoltura, il commercio e l'[[ingegneria]]. Molti dei problemi esposti nel libro riguardano canne di bambù spezzate<ref name=autogenerato1>Boyer 1991 p. 231</ref> che formano dei [[triangolo rettangolo|triangoli rettangoli]]. la soluzione si ottiene tramite applicazione del [[Teorema di Pitagora]].

I matematici cinesi svilupparono una particolare predilezione per i [[quadrato magico|quadrati magici]]. Secondo la leggenda il primo di questi venne comunicato all'imperatore da una [[tartaruga]] uscita dal fiume.<ref name=autogenerato1 /> Questo interesse portò i cinesi a studiare i [[sistema di equazioni|sistemi di equazioni lineari]] e a scoprire la cosiddetta [[Regola di Horner]].<ref>Boyer 1991 p. 239</ref>

Zu Chongzhi (quinto secolo) calcolò il valore di [[Pi greco|π]] con sette cifre decimali esatte. Questa fu la miglior stima della costante per i successivi mille anni.<ref name = "pi greco cina">{{Cita libro | autore = Yoshio Mikami | titolo = Development of Mathematics in China and Japan | editore = B. G. Teubner | pagine = 50 | anno = 1913|url=http://books.google.com/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1}}</ref>

Nello studio dei sistemi furono anche i primi a sviluppare concetti analoghi a quelli di [[matrice (matematica)|matrice]].<ref name="matrice">Boyer 1990, pp. 231-32</ref> Fu invece il matematico giapponese [[Kōwa Seki]] a introdurre nel [[1683]], dieci anni prima di [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]], il concetto di [[Determinante (algebra)|determinante]].

I [[Cina|cinesi]] vedevano analogie tra numeri e sessi: i [[numero pari|numeri pari]] erano femminili quelli [[numero dispari|dispari]] maschili. I dispari non primi erano considerati effeminati.<ref name="sessi">Du Sautoy, L'enigma dei numeri primi 2004 p. 46</ref> Inoltre indicavano il [[numeratore]] di una [[frazione (matematica)|frazione]] come figlio e il [[denominatore]] come madre.<ref>Boyer 1991 p. 234</ref>

Già nel [[secolo IV]], in [[Cina]] si studiavano le equivalenti dell nostre [[congruenza lineare|congruenze lineari]]. per la risoluzione di queste fu fondamentale la scoperta del [[Teorema cinese del resto]].

Nei successivi secoli la matematica cinese si sviluppò includendo i [[numero negativo|numeri negativi]], il [[Teorema binomiale]] e il [[Teorema cinese del resto]]. I cinesi svilupparono anche il [[Triangolo di Pascal]] (o di Tartaglia) che si trova nel [[frontespizio]] del trattato ''Ssu Yuan Yu'' scritto dal matematico Zhu Shijie.<ref>Boyer 1991 p. 241-242</ref>

=== Matematica indiana classica (400 - 1500 d.C.) ===
[[File:2064 aryabhata-crp.jpg|thumb|Aryabhata]]

Non si trova continuità negli sviluppi della [[matematica]] indiana: infatti i contributi importanti sono separati da lunghi intervalli di stagnazione in cui non si raggiunse nessun risultato.<ref>Boyer 1991 p. 243</ref>

Il ''Surya Siddhanta'' scritto circa nel [[400]] introduceva le [[funzioni trigonometriche]] del [[seno (matematica)|seno]], [[coseno]] e le loro inverse. Gli indiani si occuparono anche di astronomia riuscendo a compilare precise tavole astronomiche che descrivevano il movimento apparente degli astri in cielo. Calcolarono l'[[anno siderale]] in 365.2563627 giorni, un valore inferiore di 1,4 secondi a quello accettato al giorno d'oggi. Questi lavori, durante il medioevo, furono tradotti in [[lingua araba|Arabo]] e in [[Lingua latina|Latino]].

Nel 499 [[Aryabhata]] introdusse il [[senoverso]] e compilò le prime tavole [[Trigonometria|trigonometriche]]. Nell{{'}}''Aryabhata'' illustrò i metodi di calcolo di aree e volumi dei principali enti geometrici (non tutti corretti) e inoltre in questa opera appare la notazione posizionale decimale. Calcolò il valore di [[π]] con quattro cifre decimali.<ref>Boyer 1991 pp. 246-248</ref>

Nel [[VII secolo]] invece [[Brahmagupta]] ([[598]]– [[668]]) per primo nel ''Brahma-sphuta-siddhanta'' usò senza riserve lo [[zero|0]] e il [[sistema decimale]]. Scoprì inoltre l'[[identità di Brahmagupta|identità]] e la [[formula di Brahmagupta|formula]] che portano il suo nome, non capendo tuttavia che quest'ultima era valida solo per i [[quadrilatero|quadrilateri]] ciclici, cioè inscrivibili in una [[circonferenza]]. Esplicitò le regole di moltiplicazione tra numeri positivi e [[numero negativo|negativi]].<ref>Boyer 1991 pp. 257-258</ref> È da una traduzione del testo che i matematici arabi accettarono il sistema decimale.

Nel [[XII secolo]], [[Bhāskara II|Bhāskara]] ([[1114]] – [[1185]]) scoprì le [[formule di addizione e sottrazione]] delle funzioni trigonometriche e concepì dei metodi molto vicini al [[calcolo differenziale]].<ref>{{Cita pubblicazione | cognome = '''Shukla''' | nome = Kripa Shankar | titolo = Use of Calculus in Hindu Mathematics | rivista = Indian Journal of History of Science | volume = 19 | pp = 95-104 |data=1984}}</ref> introducendo concetti simili alla [[derivata]]: per calcolare l'angolo di posizione dell'[[eclittica]] ad esempio calcolò correttamente l'equivalente delle derivate delle [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]].<ref>{{Cita libro|nome=Roger|cognome=Cooke|wkautore=Roger Cooke|titolo=The History of Mathematics: A Brief Course|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook|editore=Wiley-Interscience|anno=1997|capitolo=The Mathematics of the Hindus|pagine=213–214|isbn=0-471-18082-3}}</ref>
Provò anche un equivalente del [[Teorema di Rolle]] e studiò l'[[equazione di Pell]]. Afferma che qualsiasi quantità divisa per [[zero|0]] dà infinito.<ref>Boyer 1991 p. 259</ref> Si dice che avesse predetto la data in cui sua figlia Lilavati si sarebbe dovuta sposare per avere un matrimonio felice; tuttavia una [[perla]] cadde nel complesso meccanismo che doveva contare il [[tempo]] e così Lilavati rimase [[vedova]]. Per consolarla il padre diede il suo nome al suo più importante trattato di matematica.<ref>Boyer 1991 p. 260</ref>

Dal [[XIV secolo]] [[Madhava di Sangamagrama]] scoprì l'attuale espansione in [[serie di Taylor]] della funzione [[arcotangente]] ottenendo poi varie serie infinite che danno come risultato [[pi greco|π]] (tra cui la [[formula di Leibniz per pi]]) grazie alle quali riuscì a calcolare le prime 11 cifre decimali del numero.<ref>[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html Biografia di Madhava in Mac Tutor] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html |data=14 maggio 2006 }}</ref> Creò la [[scuola del Kerala]] i cui membri nei successivi secoli svilupparono il concetto di [[virgola mobile]] e utilizzarono metodi iterativi per la soluzione delle equazioni non lineari. Trovarono inoltre le espansioni in [[serie di Taylor]] delle altre [[funzioni trigonometriche]].<ref name="roy">Roy Ranjan 1990 "Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America) 63(5):291-306</ref> Nonostante si fossero avvicinati a concetti quale quello di [[derivata]] i matematici della scuola del Kerala non riuscirono mai a sviluppare una teoria globale del [[calcolo infinitesimale]].<ref name=katz>Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.</ref>

Nel [[XVI secolo]] per la matematica indiana, anche per via di un periodo di forte instabilità politica, iniziò il declino.

=== Matematica persiana e araba (750 - 1400) ===
[[File:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|left|Una pagina di un manoscritto di [[al-Khwarizmi]].]]
L'[[Impero]] [[islam]]ico arrivò a dominare, nell'[[VIII secolo]] d.C. il [[Nord Africa]], la [[Al-Andalus|Penisola iberica]] e parte dell'[[India]]. Entrarono così in contatto con la [[matematica greco-ellenistica|matematica ellenistica]] e con quella indiana. Nella seconda metà dell'VIII secolo [[Baghdad]] divenne un nuovo centro del sapere a livello mondiale. Sovrani come [[al-Mansur]], [[Hārūn al-Rashīd]] e [[al-Maʾmūn]] si dimostrarono attenti nei confronti della matematica e preservarono dalla distruzione molte opere matematiche greche che altrimenti sarebbero probabilmente andate perse<ref>Boyer 1991 pp. 266</ref>. [[Thābit ibn Qurra]] fondò una scuola di traduttori che tradusse in [[Lingua araba|arabo]] le opere di [[Archimede]], [[Euclide]] e [[Apollonio di Perga|Apollonio]]. Gli [[Arabi]] tradussero, inoltre, molti testi indiani. Questi fatti contribuirono non poco alla nascita della matematica islamica. Molti tra i più grandi matematici islamici erano [[persia]]ni.

[[Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] (780-850 Ca), un [[matematico]] persiano, scrisse importanti volumi sul sistema di numerazione indiano e sui metodi per risolvere [[equazioni]]. La parola "[[algoritmo]]" deriva dal suo nome e "[[Algebra]]" dal titolo della sua opera più importante, l{{'}}''al-Jabr wa al-muqābala''. In questa opera Al-Khwarizmi oltre a introdurre il [[sistema decimale]] nel mondo arabo trova metodi grafici e analitici per la risoluzione delle [[equazione di secondo grado|equazioni di secondo grado]] con soluzioni positive (vedi approfondimento)<ref>Boyer 1991 pp. 268-9</ref>. Il nome ''al-jabr'' si riferisce al nome che il matematico dà all'operazione di riduzione di termini uguali da parti opposte dell'uguale tramite [[sottrazione]].<ref name=Boyer-229>Boyer 1991 p.268</ref> Per questi motivi egli è considerato da molti il fondatore dell'[[algebra]] moderna.

Ibn Qurra studiò i [[numero amicabile|numeri amicabili]]. Altri sviluppi alla materia furono apportati da Abu Bakr al-Karaji (953-1029) nel suo trattato ''al-Fakhri''. Nel [[X secolo]], [[Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani|Abu l-Wafa]] tradusse le opere di [[Diofanto di Alessandria]] in [[Lingua araba|arabo]] e studiò la trigonometria ottenendo le [[formule di addizione e sottrazione]] per il seno. [[Alhazen]] studiò invece l'[[ottica]].

[[ʿUmar Khayyām|Omar Khayyam]] (1048-1131) fu [[poeta]] e [[matematico]]. Scrisse le ''Discussioni sulle difficoltà in Euclide'' nel quale tentava di dimostrare il quinto postulato di [[Euclide]] riguardante le rette parallele (data una retta e un punto fuori di essa esiste solo una parallela alla retta data passante per quel punto) partendo dagli altri quattro; impresa che sarebbe poi diventata un "chiodo fisso" per i matematici. Diede una soluzione geometrica all'[[equazione di terzo grado]] ma non riuscì a risolverla per radicali. Il matematico [[Nasir al-Din Tusi]] sviluppò invece nel [[XIII secolo]] la [[trigonometria sferica]] e scoprì la [[legge dei seni]] per il [[triangolo sferico]].<ref name=Berggren-518>{{Cita libro | nome=J. Lennart | cognome=Berggren | titolo=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse | capitolo=Mathematics in Medieval Islam | editore=Princeton University Press | anno=2007 | pagine=518| isbn=978-0-691-11485-9 }}</ref>

Nel [[XIV secolo]], [[Al-Kashi|Ghiyath al-Kashi]] calcolò il valore di [[pi greco|π]] con 16 decimali. Al-Kashi trovò anche la [[regola di Ruffini]] per scoprire la radice ennesima di un'[[equazione]]. Inoltre nella sua opera si trova il primo esempio conosciuto di [[dimostrazione]] per [[induzione]] tramite la quale viene dimostrato il [[teorema binomiale]]. Il matematico era anche a conoscenza del [[triangolo di Tartaglia]].<ref>Victor J. Katz (1998). ''History of Mathematics: An Introduction'', pp. 255–59. ISBN 0-321-01618-1.</ref>

Nel [[XIII secolo]] e nel [[XIV secolo]] la matematica araba entrò in crisi a causa di un periodo di forte instabilità politica e religiosa, nonché per il diffondersi di [[setta|sette]] ostili al sapere matematico.<ref name="declino">Boyer 1990, p. 284</ref> I molti popoli che si susseguirono nel mondo arabo dal XII secolo contribuirono al definitivo declino della scienza e della matematica arabe.

=== Matematica medievale europea (1000 - 1400) ===
[[File:Pacioli.jpg|thumb|Frate [[Luca Pacioli]] autore di una ''Summa'' dove era raccolto tutto il sapere matematico del [[XV secolo]]. ]]
Subito dopo la [[caduta dell'Impero romano d'Occidente]] gran parte della matematica greca andò persa. Molte [[biblioteca|biblioteche]], come quella di [[Alessandria d'Egitto|Alessandria]], andarono distrutte. Solitamente gli studiosi cristiani non diedero importanza alla matematica nei loro lavori.

Nei primi secoli dopo la fine dell'[[Impero romano]] non ci fu quasi nessun progresso nel sapere matematico.<ref name="autogenerato2" /> Anche se la matematica, divisa in Aritmetica, Geometria, Astronomia e Musica ([[Quadrivio]]), faceva parte delle [[Arti liberali|Arti Liberali]], le nozioni matematiche studiate riguardavano soprattutto l'[[agrimensura]].

Verso l'[[XI secolo]] la [[cultura]] occidentale entrò in contatto con quella araba e grazie anche alla [[scuola di traduttori di Toledo]] e a persone come [[Adelardo di Bath]], iniziarono a circolare in Europa le traduzioni dall'[[Lingua araba|arabo]] di classici matematici antichi come gli ''Elementi'' ma anche di lavori arabi quali l{{'}}''Algebra'' di [[al-Khwarizmi]] e greci come l{{'}}''[[Almagesto]]'' di [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]].<ref>Boyer 1991 pp. 293-294</ref> Verso quel periodo si situa anche la rinascita economica dell'Occidente che portò i commercianti a fare sempre più uso della matematica.

[[Leonardo Fibonacci]] (1170-1250 ca), detto anche Leonardo Pisano, fu probabilmente il più grande matematico del periodo.<ref>Boyer 1991 p. 298</ref> Nel suo ''Liber Abaci'' fece conoscere in Europa il sistema di numerazione decimale e lo [[zero]]. Nel trattato si trovano molti problemi di natura pratica o commerciale, alcuni di essi comunque svelano le grandi doti di matematico di Fibonacci come quello della moltiplicazione dei conigli che genera la [[sequenza di Fibonacci]].

Inoltre espone le regole per trasformare una qualunque [[frazione (matematica)|frazione]] in una [[frazione egizia]]. Nella sua opera vengono esposte anche l'[[Identità di Brahmagupta|identità di Fibonacci]] e il [[metodo di falsa posizione in Fibonacci|metodo di falsa posizione]] e [[metodo di doppia falsa posizione in Fibonacci|quello della doppia falsa posizione]].

Nei secoli successivi lo sviluppo della matematica accelerò. [[Nicola d'Oresme|Nicola Oresme]] (1323 – 1382) anticipò anche i concetti di potenza irrazionale e [[grafico di una funzione]]: fu infatti il primo ad avere l'idea di rappresentare il movimento con un grafico alla maniera moderna.<ref>Boyer 1991 p. 308-309</ref> Fu uno dei primi ad occuparsi di [[serie (matematica)|serie infinite]], scoprendo i risultati di molte di esse e dimostrando la divergenza della [[serie armonica]].<ref>Boyer 1991 p. 312</ref> Lo studio delle serie infinite fu forse l'argomento più innovativo della matematica medioevale. Oresme rimane una delle menti più innovative di tutta la [[matematica]] medioevale europea ma molte delle sue idee furono dimenticate e dovettero aspettare secoli per essere riscoperte e rielaborate.

Nel [[XV secolo]] si può situare la nascita della matematica europea moderna. Le opere del tedesco [[Regiomontano]] apportarono un enorme sviluppo alla [[trigonometria]]. [[Luca Pacioli]] (1445-1514) riassunse tutta le conoscenze matematiche del tempo nella sua ''Summa''. Gli artisti [[Leon Battista Alberti]], [[Piero della Francesca]] e [[Albrecht Dürer]] si interessarono invece di prospettiva e di geometria descrittiva.<ref>Pablo Martín Prieto, ''Las matemáticas en la Edad Media: una historia de las matemáticas en la Edad Media occidental'', Madrid, La Ergástula, 2015</ref>

== XVI secolo ==
[[File:Niccolò Tartaglia.jpg|thumb|left|Niccolò Tartaglia.]]

Nell'[[Europa]] del cinquecento, e in particolare in [[Italia]], si diffuse un forte interesse per l'[[algebra]]. In questo secolo si cominciarono ad accettare i [[numero negativo|numeri negativi]] chiamati spesso "falsi". I matematici iniziarono a sfidarsi pubblicamente a risolvere alcuni problemi. Su queste competizioni si basava gran parte della fama dei matematici; è dunque comprensibile come molte scoperte rimanessero per molto tempo segrete, in modo da poter servire come "arma" nei confronti pubblici.

Fu questo il caso della soluzione per radicali dell'[[equazione di terzo grado]], scoperta nel [[1510]] da [[Scipione del Ferro]], ma tenuta segreta e riscoperta successivamente da [[Niccolò Tartaglia]] (circa 1499-1557), uno dei più importanti matematici del periodo e autore fra l'altro di una traduzione degli ''Elementi'' in [[lingua italiana|italiano]]. Tartaglia riuscì così a diventare uno dei matematici più in vista dell'epoca e confidò, sembra sotto giuramento, il metodo risolutivo a un altro protagonista della matematica rinascimentale, [[Girolamo Cardano]] (1501-1576). Egli non esitò però a pubblicarlo risolutivo nella sua opera ''Ars magna'' del [[1545]]. Ciò fece nascere una disputa tra i due che si concluse con la sconfitta di Tartaglia (Si veda l'approfondimento per maggiori informazioni).

Nell{{'}}''Ars magna'' veniva anche esposto il metodo risolutivo dell'[[equazione di quarto grado]], scoperto non da Cardano, bensì dal suo allievo [[Lodovico Ferrari]]. Molti considerano la pubblicazione dell{{'}}''Ars magna'' come il vero atto d'inizio della matematica moderna.<ref>Umberto Bottazzini ''La "grande arte": l'algebra nel Rinascimento'' in ''Storia della Scienza'' Vol. 1 (a cura di) [[Paolo Rossi Monti|Paolo Rossi]] p. 69</ref>

Cardano fu il primo ad accorgersi che in certi casi la formula risolutiva dell'[[equazione di terzo grado]] richiedeva di calcolare la radice quadrata di un [[numero negativo]], nel caso in cui c'erano tre soluzioni (reali). [[Rafael Bombelli]] (1526-1573), nella sua ''Algebra'', propose di trattare le radici quadrate dei numeri negativi (chiamati da Bombelli, più di meno) come se fossero dei numeri a tutti gli effetti, fintantoché venissero eliminati alla fine delle operazioni di risoluzione. Bombelli dimostrò un'apertura notevole, visto che alcuni fra i suoi contemporanei faticavano persino ad accettare la nozione di numero negativo.<ref>Uno dei più grandi matematici del periodo [[François Viète]] riuscendo a risolvere un'equazione di grado 45 con l'utilizzo della trigonometria considerò tuttavia solo le soluzioni positive cit. Boyer 1991 p. 358</ref>

[[François Viète]] (1540-1603) dette importanti contributi alla [[trigonometria]] scoprendo le [[formule di prostaferesi]]. Scoprì inoltre la famosa [[formula di Viète]] per il calcolo di [[pi greco]]. A lui e a [[Albert Girard]] si devono anche le [[Formule di Viète|formule che collegano i coefficienti e le radici di un'equazione]]. Risolse anche una particolare equazione di quarantacinquesimo grado utilizzando metodi [[trigonometria|trigonometrici]] e trovò anche un altro modo per risolvere l'[[equazione di terzo grado]] (vedi approfondimento).

Forse la scoperta più innovativa del periodo furono i [[logaritmo|logaritmi]] descritti da [[Nepero|John Napier]] nel ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio''. Questa scoperta facilitò enormemente i calcoli soprattutto astronomici, riducendo le moltiplicazioni a somme e l'elevazione a potenza a moltiplicazioni.

Nel [[XVI secolo]] vi fu anche un'ampia rivoluzione della notazione matematica: nel 1489 Johann Widman usò per primo i segni + e -, nel 1557 Robert Recorde inventò il segno =, successivamente William Oughtred utilizzò il segno ''x'' per indicare la moltiplicazione e [[Thomas Harriot]] i segni > e <. [[François Viète|Viète]] fu invece il primo ad usare lettere per indicare i coefficienti delle equazioni, pratica che si sarebbe evoluta fino alla forma attuale assunta con [[Cartesio]].

== XVII secolo ==
[[File:Pierre de Fermat.jpg|thumb|Pierre de Fermat]]

Nel [[XVII secolo]] la matematica europea ricevette un forte impulso. Gli uomini di scienza iniziarono a riunirsi in [[accademia|accademie]] o società come la [[Royal Society]] e la [[Académie française]] e furono istituite le prime cattedre di [[matematica]] nelle [[università]]. Ciò indubbiamente favorì lo sviluppo delle tecniche matematiche.

Gli italiani [[Bonaventura Cavalieri]] (1598-1647) e [[Evangelista Torricelli]] (1608-1647) inventarono il cosiddetto "[[metodo degli indivisibili]]" che lavorava sulle figure solide come composte da infiniti piani di spessore infinitesimo. Nonostante questo tipo di geometria fosse fondato su basi poco rigorose e soggetto perciò a molte critiche, usandolo si giunse ad importanti risultati come il [[Teoremi di Pappo-Guldino|teorema di Pappo Guldino]] e il [[principio di Cavalieri]]. Il metodo era in realtà una prima formulazione della geometria integrale ma ancora i concetti che stavano alla base dell'[[analisi matematica|analisi]] non erano molto chiari.

Un ulteriore sviluppo della geometria si ebbe nel [[1637]] quando [[Cartesio|Descartes]] (Cartesio) (1596-1650) pubblicò ''La Gèometrie'' nel quale illustrava i concetti fondamentali della [[geometria analitica]], già scoperti in realtà da [[Pierre de Fermat|Fermat]]. Il principio della geometria analitica consisteva nel tracciare nel piano due assi perpendicolari detti appunto [[assi cartesiani|cartesiani]] (ascissa e ordinata) e di descrivere una curva come l'insieme di soluzioni di un'[[equazione]] a due incognite. La geometria si riduceva così allo studio di equazioni algebriche. Questa scoperta portò una rivoluzione concettuale enorme poiché da quel punto in poi [[linea|linee]], [[Piano cartesiano|piani]] e curve furono visti in maniera algebrica, e non il contrario come si era fatto fino ad allora.

Successivamente [[Gilles Personne de Roberval|Gilles Roberval]], [[Christiaan Huygens]], [[John Wallis]], [[Christopher Wren]] e [[Blaise Pascal]] (1623-1662) applicarono la geometria analitica per risolvere vari problemi riguardanti quadrature di archi e di aree sottese da varie curve. Pierre Fermat (1601-1665) e [[Cartesio]] si occuparono invece del problema delle tangenti (la determinazione della tangente in un dato punto di una curva) dando due interpretazioni diverse. Il [[metodo delle tangenti di Fermat]] è il più moderno dei due e anticipa il concetto di [[derivata]] anche se Fermat non riuscì a giustificare del tutto alcuni passaggi. Questo problema avrebbe portato alla nascita del [[calcolo differenziale]].

[[Blaise Pascal|Pascal]] oltre che di geometria si occupò di [[combinatoria]] riuscendo a capire la correlazione di questa disciplina con il [[coefficiente binomiale]]. Utilizzò poi il [[Triangolo di Pascal]] anche se esso era già noto ad altri matematici come Tartaglia. Sviluppò queste idee in una corrispondenza con Fermat nella quale si ponevano anche le fondamenta del moderno [[calcolo delle probabilità]].

Fermat fu uno dei matematici più produttivi del secolo nonostante fosse un magistrato e si occupasse della materia da dilettante. Oltre ai già citati contributi alla geometria, Fermat diede un enorme contributo alla [[Teoria dei numeri]]: studiò l'[[equazione di Pell]] (chiamata anche equazione di Pell-Fermat); introdusse i [[numero primo di Fermat|numeri primi di Fermat]]; congetturò infine una quantità impressionante di teoremi come il [[piccolo teorema di Fermat]] e il [[teorema di Fermat sulle somme di due quadrati]]. La maggior parte di questi teoremi fu dimostrata da [[Euler]] ma per la congettura più famosa del matematico francese, ossia l'[[ultimo teorema di Fermat]], si dovette attendere addirittura fino al [[1994]].

[[File:Arcsin(x).png|thumb|left|Un esempio di curva nella [[geometria analitica]].]]
In questo secolo lo studio degli algoritmi infiniti quali serie e [[prodotto infinito|prodotti infiniti]] divenne una branca centrale della matematica. [[John Wallis]] (1616-1703) fu uno dei matematici più produttivi in questo campo. Tra i suoi contributi più importanti si ricordano il [[prodotto di Wallis]] pubblicato nella ''Arithmetica Infinitorum'' ([[1655]]) che costituisce il suo capolavoro. In questo volume Wallis si avvicina molto al [[calcolo infinitesimale]] compiendo delle vere e proprie integrazioni. [[Pietro Mengoli]] e [[Nicolaus Mercator]] scoprirono le serie che oggi portano il loro nome. Un altro contributo importante venne da [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646-1716) a cui si deve, tra l'altro, la [[formula di Leibniz per pi]]. [[Isaac Barrow]] e [[James Gregory (astronomo)|James Gregory]] portarono ulteriormente avanti queste idee e riuscirono ad arrivare a tecniche estremamente simili al calcolo infinitesimale.

Il calcolo infinitesimale nacque compiutamente pochi anni dopo, grazie all'opera di [[Isaac Newton]] (1642-1727) e Leibniz che svilupparono contemporaneamente le idee fondamentali come quelle di [[derivata|derivazione]] e [[integrale|integrazione]] e dimostrarono il [[teorema fondamentale del calcolo infinitesimale]]. Newton tenne per sé le sue scoperte e quando le pubblicò molti anni dopo scoppiò una violenta disputa che lo vide contrapposto al tedesco. Il calcolo si diffuse rapidamente, nonostante alcune riserve dovute soprattutto ai concetti usati, definiti allora in modo poco rigoroso.

Tra i sostenitori del calcolo ci furono i fratelli [[Jakob Bernoulli|Jakob]] (1654-1705) e [[Johann Bernoulli]] (1667-1748), due membri di una prodigiosa famiglia che avrebbe dato al mondo più di un talento matematico. I due svilupparono il calcolo affrontando problemi come quello della [[brachistocrona]] e della rettificazione della [[lemniscata di Bernoulli|lemniscata]]. Jakob studiò poi la [[spirale logaritmica]] trovandone molte proprietà e il calcolo delle probabilità enunciando la [[legge dei grandi numeri]] e il [[paradosso di San Pietroburgo]]. Insieme a Leibniz iniziarono per primi a studiare le [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] aprendo così la strada per gli sviluppi futuri.

Anche il marchese [[Guillaume François Antoine marchese de l'Hôpital|de l'Hôpital]] studiò il calcolo scoprendo la cosiddetta [[Regola di De l'Hôpital]] (scoperta in realtà da Bernoulli). [[Brook Taylor]] invece scoprì le [[serie di Taylor]] (già note in realtà ad altri matematici) che avrebbero avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'[[analisi complessa]].

In questo secolo apparvero anche le prime macchine [[calcolatrice meccanica|calcolatrici meccaniche]]. Pascal ne inventò una capace di fare [[Addizione|somme]] e sottrazioni, mentre una macchina di Leibniz eseguiva anche moltiplicazioni e divisioni. Anche [[Wilhelm Schickard]] ne sviluppò una, anche se si trattava di un oggetto non commerciabile. Infatti, le prime calcolatrici che ebbero diffusione furono prodotte nel [[XIX secolo]], quando la tecnologia meccanica indotta dalla rivoluzione industriale consentì di produrre a costi contenuti apparecchiature pratiche ed affidabili.

== XVIII secolo ==
[[File:Leonhard Euler.jpg|thumb|Leonhard Euler]]

Il campo di studio fondamentale del [[XVIII secolo]] fu l'[[analisi matematica]]. Proseguendo l'opera dei Bernoulli, Leonhard Euler (1707-1783) (chiamato anche [[Eulero]]) trovò la soluzione al [[problema di Basilea]], introdusse la [[costante di Eulero-Mascheroni]] e le funzioni [[funzione gamma|gamma]] e [[Funzione beta di Eulero|beta]]. Trovò poi molti metodi per la soluzione delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] usati anche oggi e insieme all'amico [[Jean Baptiste Le Rond d'Alembert|Jean d'Alembert]] (1717-1783) affrontò molti problemi di [[meccanica razionale]] come la determinazione esatta del moto della [[Luna]]. Insieme a d'Alembert e a [[Daniel Bernoulli]] (figlio di Jakob) studiò poi il moto dei fluidi.

D'Alembert riuscì invece a risolvere l'equazione differenziale nota come [[equazione di Lagrange|equazione di d'Alembert-Lagrange]]. Studiò poi vari problemi di [[teoria dei giochi]] e il [[calcolo delle probabilità]]. Si occupò anche di [[algebra]] cercando a più riprese di dimostrare il [[teorema fondamentale dell'algebra]]. Nonostante queste dimostrazioni fossero in parte lacunose e il teorema sarebbe stato dimostrato rigorosamente solo da [[Gauss]], il teorema è spesso chiamato teorema di d'Alembert.

Eulero fu uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.<ref>William Dunham, ''Euler, the master of us all'', The Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0</ref> Produsse più di 886 pubblicazioni su ogni branca della matematica nonostante nell'ultima parte della sua vita fosse divenuto cieco. Diede importanti contributi alla notazione matematica introducendo i simboli oggi accettati per le [[funzioni trigonometriche]], la [[sommatoria]], la [[funzione (matematica)|funzione]] generica e per i numeri ''[[e (matematica)|e]]'' ed ''[[unità immaginaria|i]]''. Diffuse anche l'uso del simbolo <math>\pi</math>

Fu anche un importante teorico dei numeri, materia che ebbe un notevole sviluppo in questo secolo. Scoprì il [[prodotto di Eulero]], grazie al quale fornì una dimostrazione dell'infinità dei [[numero primo|numeri primi]], dando così di fatto inizio alla [[teoria analitica dei numeri]] che usa procedimenti analitici per raggiungere risultati aritmetici. Dimostrò poi molti dei teoremi lasciati indimostrati da Fermat e introdusse la [[funzione phi di Eulero]].

[[Christian Goldbach]] enunciò la sua famosa congettura tutt'oggi irrisolta che afferma che ogni numero pari eccetto 2 è esprimibile come somma di due numeri primi.

In questo periodo i numeri immaginari e quelli complessi furono accettati completamente. L'[[analisi complessa]] divenne una branca importante della matematica: [[Eulero]] studiò le [[serie di Taylor]] trovando le espansioni in serie di molte funzioni. Grazie a ciò riuscì a scoprire le estensioni di moltissime funzioni reali in campo complesso, come per esempio le [[funzioni trigonometriche]], la [[funzione logaritmica]] e la [[funzione esponenziale]]. Grazie a quest'ultima estensione trovò l'[[identità di Eulero]]:

<div align="center"><math>e^{i \pi} +1 = 0 </math></div>

considerata da molti la più bella formula della matematica. Altri contributi alla materia giunsero da [[Abraham de Moivre]].

In questo secolo si assistette anche alla nascita della [[topologia]] e della [[teoria dei grafi]] soprattutto per via delle scoperte di Eulero. Egli infatti risolse il [[problema dei ponti di Königsberg]] che chiedeva se fosse possibile attraversare tutti i ponti della città di Königsberg ([[Kaliningrad]]) una sola volta e tornare al punto di partenza. Eulero scoprì che ciò non era possibile e il ragionamento che usò sta alla base della moderna [[teoria dei grafi]]. Il matematico svizzero scoprì poi anche la formula che mette in relazione il numero dei vertici delle facce e degli spigoli di un [[poliedro convesso]]. Queste scoperte possono essere considerate come l'inizio della moderna topologia.

[[File:Konigsberg bridges.png|thumb|left|La città di Königsberg ai tempi di Eulero con i ponti messi in evidenza]]
[[Lorenzo Mascheroni]] dimostrò che se una [[retta]] si considera nota quando sono stati individuati due suoi punti allora tutte le figure costruibili con [[riga]] e [[compasso (strumento)|compasso]] sono costruibili col solo compasso. Vi furono anche diversi tentativi di dimostrare il [[quinto postulato di Euclide]] partendo dagli altri quattro. Tra questi si ricordano quello di [[Giovanni Girolamo Saccheri|Girolamo Saccheri]], [[Vitale Giordano]], e [[Johann Heinrich Lambert]]. Quest'ultimo si avvicinò molto alla [[geometria non euclidea]]. Lambert è ricordato anche per aver dimostrato che <math>\pi</math> è [[numero irrazionale|irrazionale]] (vedi [[dimostrazione della irrazionalità di π]]).

Ci furono sviluppi anche nel campo del calcolo delle probabilità: [[Thomas Bayes]] dimostrò il [[teorema di Bayes|teorema che porta il suo nome]] e [[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon]] diede inizio al [[metodo Monte Carlo]] con il famoso problema dell'[[ago di Buffon]].

Nella seconda metà del secolo [[Parigi]] divenne il più importante centro matematico e scientifico del tempo. Questo avvenne grazie alla presenza di [[matematici]] come [[Pierre Simon Laplace]] (1749-1827) e [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736-1837) e all'istituzione di scuole di carattere scientifico come l'[[École polytechnique]] e l'[[École normale supérieure]] che fornirono validi matematici alla [[Francia]].

Laplace e Lagrange si occuparono di [[meccanica celeste]]. Dopo il lavoro di Newton essa divenne uno degli argomenti più trattati del secolo.

Laplace nella sua ''Mécanique Céleste '' dimostrò che il [[sistema solare]] sarebbe rimasto stabile per un lungo intervallo di tempo. Introdusse le [[armoniche sferiche]] la [[trasformata di Laplace]] e il [[Laplaciano]]. Fu uno dei primi a utilizzare il concetto di [[teoria del potenziale|potenziale]] dimostrando che esso soddisfa sempre l'[[equazione di Laplace]]. Si occupò anche di [[teoria della probabilità]] e [[statistica]] riscoprendo il [[teorema di Bayes]] e fornendo una dimostrazione rigorosa del [[metodo dei minimi quadrati]].

Lagrange invece nella sua ''Mécanique analytique'' introdusse il concetto di [[funzione lagrangiana]]. Insieme ad Eulero fu tra i creatori del [[calcolo delle variazioni]] ricavando le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]. Studiò inoltre il [[problema dei tre corpi]] trovando i [[punti di Lagrange]]. Scoprì il [[metodo dei moltiplicatori di Lagrange]] per la risoluzione delle equazioni differenziali. Introdusse la notazione usata ancora oggi per il [[calcolo differenziale]] e trovò un metodo per la soluzione delle equazioni di qualunque grado che però si rivela utile solo fino al quarto. Dimostrò poi il [[teorema di Lagrange]] e contribuì molto anche alla [[teoria dei numeri]] dimostrando ad esempio il [[teorema dei quattro quadrati]]. Studiò anche la [[geometria analitica]] solida ottenendo discreti risultati.

Un altro importante matematico del periodo fu [[Adrien-Marie Legendre]] (1752-1833) che studiò gli [[integrale ellittico|integrali ellittici]] introducendo quelli della prima e della seconda specie. Congetturò il metodo dei minimi quadrati indipendentemente da Gauss. Fu anche un brillante teorico dei numeri: dimostrò l'ultimo teorema di Fermat per il caso n=5, dimostrò l'irrazionalità di <math>\pi^2</math> e scoprì la legge di [[reciprocità quadratica]] esponendola nella sua forma attuale. Sempre indipendentemente da Gauss congetturò il [[Teorema dei numeri primi]].

[[Gaspard Monge]] dette invece contributi fondamentali alla [[geometria descrittiva]].

Nel 1742 [[Johann Christoph Heilbronner]] pubblica la ''Historia matheseos'', la prima opera a trattare esplicitamente di storia della matematica.

== XIX secolo ==
[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|Carl Friedrich Gauss]]

Questo secolo è spesso chiamato ''L'età dell'oro della matematica''. Durante il [[XIX secolo]] nacquero i primi periodici matematici come il [[Journal di Crelle]] e il [[Journal di Liouville]]. I [[matematici]] iniziarono a riunirsi nelle [[università|facoltà universitarie]]. Nacquero le prime società matematiche, come la [[London Mathematical Society]]. Fu confermato il primato di [[Parigi]] grazie a una geniale generazione di matematici, ma nella seconda parte del secolo il centro più importante per gli studi matematici divenne [[Gottinga]] dove risiedevano matematici come Gauss, Riemann e Dirichlet.

=== Algebra ===
L'algebra ricevette nei primi anni del XIX secolo un grande impulso: [[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) fu il primo a dimostrare il [[teorema fondamentale dell'algebra]] nel [[1799]]. Nella sua dimostrazione introdusse il [[piano complesso]] che avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'analisi complessa. [[Augustin-Louis Cauchy]] (1789-1857) e [[Carl Jacobi]] (1804-1851) chiarirono il concetto di [[Determinante (algebra)|determinante]] di una [[matrice]] e dimostrarono importanti teoremi di [[algebra lineare]]. Jacobi introdusse poi il concetto di [[matrice jacobiana]].

[[Évariste Galois]] (1811-1832) e [[Niels Abel]] (1802-1829), entrambi morti giovanissimi, studiarono la risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto. Abel dimostrò il [[teorema di Abel-Ruffini]] che stabilisce l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto grado. Galois invece stabilì la non risolubilità per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto e il suo lavoro è all'origine della [[teoria di Galois]], importante branca dell'[[algebra astratta]].

=== Analisi ===
L'analisi matematica fu invece posta su basi sempre più ben definite. Cauchy definì rigorosamente il concetto di [[derivata]] come limite del rapporto incrementale tra la funzione e la variabile e quello di [[funzione continua]]. Chiarì anche il concetto di [[limite (matematica)|limite]] anche se [[Karl Weierstrass]] formalizzò meglio la sua definizione. [[Bernhard Riemann]] chiarì invece il concetto di [[integrale]] ([[integrale di Riemann]]). [[Bernard Bolzano]] aveva sviluppato molte di queste definizioni precedentemente, ma la sua opera restò sconosciuta per decenni.

Grazie a questi passi avanti, [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] riuscì a estendere i concetti del [[calcolo infinitesimale]] alle [[funzione di variabile complessa|funzioni a variabile complessa]] scoprendo il [[Teorema integrale di Cauchy|teorema integrale]] e la [[formula integrale di Cauchy]]. Scoprì anche il [[criterio di convergenza di Cauchy]]. Oltre ai già menzionati contributi all'[[algebra lineare]] Cauchy si occupò anche di [[statistica]] ([[variabile casuale di Cauchy]]), [[Meccanica (fisica)|meccanica]] e soprattutto [[teoria dei numeri]]. Arrivò vicino a dimostrare l'[[ultimo teorema di Fermat]].

Partendo da un precedente lavoro di [[Niels Henrik Abel|Abel]], [[Carl Jacobi|Jacobi]] diede importanti contributi alla comprensione degli [[integrali ellittici]] scoprendo la doppia [[periodicità]] di alcuni di essi e introducendo le funzioni ellittiche jacobiane. [[Joseph Fourier]] invece studiò il movimento ondulatorio e il [[calore]]. Introdusse poi le [[serie di Fourier]] e la [[trasformata di Fourier]].

=== Teoria dei Numeri ===

Carl Gauss fu senza dubbio uno dei matematici più importanti del secolo e di tutti i tempi. Visse buona parte della sua vita a [[Gottinga]] che divenne ben presto uno dei centri più importanti della matematica europea. Ricercò in quasi tutte le branche della matematica. Dopo aver dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra, si occupò soprattutto di [[teoria dei numeri]] pubblicando nel [[1801]] le ''Disquisitiones Aritmeticae''. La teoria dei numeri vide in questo secolo l'introduzione di nuovi concetti sempre più legati ai metodi analitici. Nelle ''Disquisitiones'' Gauss introduceva l'[[aritmetica modulare]], che avrebbe facilitato moltissimo la scrittura e la comprensione di teoremi relativi a questo campo d'indagine. Sempre in questo volume introduceva il concetto di [[intero gaussiano]]. Congetturò poi indipendentemente da [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] il [[metodo dei minimi quadrati]] e il [[teorema dei numeri primi]], che mette in relazione la distribuzione di questi con la funzione logaritmica. Il teorema sarà dimostrato solo nel [[1894]] da [[Jacques Hadamard]] e Charles de La Vallée-Poussin. Gauss fu anche un grande statistico; la [[variabile casuale normale]] che descrive la distribuzione degli errori è dovuta a lui.

Alla morte di Gauss, [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Dirichlet]] ([[1805]]-[[1859]]) gli successe nel suo posto di insegnante. Egli dimostrò il teorema secondo il quale in tutte le [[progressione aritmetica|progressioni aritmetiche]] si trovano infiniti [[numero primo|numeri primi]], ([[teorema di Dirichlet]]) usando complessi metodi analitici. Introdusse anche la [[convoluzione di Dirichlet]].

Il lavoro più importante nella [[teoria dei numeri]] fu però quello di [[Bernhard Riemann]] (1826-1866), il successore di Dirichlet a Gottinga che in un articolo del [[1859]] introdusse formalmente la [[funzione zeta di Riemann]]. Egli capì il collegamento di questa con la distribuzione dei numeri primi e studiando i valori complessi della funzione zeta congetturò che tutti i suoi zeri complessi avessero parte reale un mezzo. Questa congettura nota come [[ipotesi di Riemann]] non è ancora stata risolta; se lo fosse, potrebbero essere dimostrati moltissimi teoremi, tra cui una formula che approssima la distribuzione dei [[numero primo|numeri primi]] nella maniera migliore possibile.

[[Joseph Liouville]] dimostrò nel [[1844]] l'esistenza di [[numero trascendente|numeri trascendenti]] costruendo appositamente alcuni esempi come la [[costante di Liouville]]. Successivamente [[Charles Hermite]] dimostrò la trascendenza di [[e (matematica)|e]] e [[Ferdinand von Lindemann]] quella di [[pi greco|π]]. Grazie a queste ed altre scoperte si dimostrò la non risolubilità con riga e compasso dei tre problemi classici dell'[[antica Grecia]].

=== Geometria ===
Nel [[XIX secolo]] la [[geometria]], dopo un secolo in cui non aveva fatto praticamente progressi, ritornò ad essere una materia importante di studio. Gauss trovò le condizioni per cui un poligono regolare poteva essere costruito usando solo [[riga]] e [[compasso (strumento)|compasso]], risolvendo un problema che restava aperto da millenni. Sempre Gauss diede inizio ad una nuova branca della geometria, la [[geometria differenziale]], introducendo il concetto di curvatura di una superficie.

[[File:End of universe.jpg|thumb|left|Schema delle principali geometrie: ellittica, iperbolica ed euclidea]]
[[Jakob Steiner]] (1796-1863) dimostrò che tutte le figure costruibili usando riga e compasso possono essere costruite usando solo la riga e una [[circonferenza]] iniziale. Abbozzò poi la prima dimostrazione del [[isoperimetria|problema isoperimetrico]] che sarebbe stata completata da altri. [[Julius Plücker]] introdusse il metodo delle notazioni geometriche abbreviate e dimostrò il principio di [[dualità (geometria proiettiva)|dualità]]. Studiò la possibilità di una geometria a quattro o più dimensioni spaziali. Insieme ad [[August Ferdinand Möbius]] introdusse le [[coordinate omogenee]]. Möbius introdusse poi la [[funzione di Möbius]] e studiò la topologia ([[nastro di Möbius]]).

Ma l'innovazione più importante del secolo in geometria furono le [[geometria non euclidea|geometrie non euclidee]]. Gauss, cercando di dimostrare il [[V postulato di Euclide]], arrivò alla rivoluzionaria conclusione che potevano esistere geometrie indipendenti dal postulato e iniziò a studiare la [[geometria iperbolica]]. [[János Bolyai|Janos Bolyai]] arrivò alla stessa conclusione. Tuttavia il vero sviluppatore della geometria iperbolica fu il russo [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]] (1792-1856). In questa geometria per un punto passano infinite rette che non incontrano una retta data, e la somma degli angoli di un [[triangolo]] è sempre inferiore a 180º.

Il già menzionato Riemann diede un contributo fondamentale allo studio delle [[geometrie non euclidee]] definendo il concetto di linea retta come di [[geodetica]] di uno spazio. Studiò poi la geometria costruita sulla superficie di una [[sfera]]; la [[geometria ellittica]] o riemanniana. In questa geometria non esistono rette parallele, in quanto una [[retta]] è un [[cerchio massimo]], e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre superiore a 180º. Riemann si occupò anche di [[topologia]] introducendo le [[superficie di Riemann|superfici di Riemann]]. Anticipò il concetto di [[metrica]] e di [[tensore]]. Einstein usò i suoi risultati per descrivere lo spazio della [[relatività generale]].

Il concetto rivoluzionario che stava alla base di queste geometrie faticò molto ad essere accettato. [[Henri Poincaré]] (1854-1912), [[Felix Klein]] (1849-1925) e [[Eugenio Beltrami]] dimostrarono la coerenza e l'indipendenza dal V postulato di queste geometrie, sancendo così la loro accettazione. Inoltre scoprirono il [[disco di Poincaré]] e la [[pseudosfera]], due modelli fisici di [[geometria iperbolica]]. Poincaré fu anche l'inventore di quella importante branca della topologia nota come [[topologia algebrica]]. È perciò spesso considerato come il padre della topologia moderna. Si occupò di quasi tutte le branche della matematica dell'epoca apportando numerosi sviluppi. Scoprì le funzioni fuchsiane. Formulò poi la famosa [[congettura di Poincaré]] e introdusse l'[[attrattore strano]] ponendosi così tra i precursori della [[teoria del caos]]. Si occupò anche di meccanica. Felix Klein invece introdusse il concetto algebrico di [[gruppo (matematica)|gruppo]] in [[geometria]] ottenendo definizioni molto generali. Scoprì anche la famosa superficie topologica nota come [[bottiglia di Klein]].

=== Algebra astratta ===
Verso la meta del [[XIX secolo]] nacque l'[[algebra astratta]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Giusto Bellavitis|data=1870|titolo=Considerazioni sulla matematica pura|rivista=Memorie dell'I. R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti|città=Venezia|volume=15|numero=|url=https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=9296014&search_terms=DTL15}}</ref>. Galois fu precursore in questo campo introducendo i concetti di [[gruppo (matematica)|gruppo]] e di [[permutazione]]. La [[teoria dei gruppi]] è anticipata già da lavori di Lagrange e Cauchy ma soprattutto di Abel ([[gruppo abeliano]]). Galois fu il primo a collegarla con la [[Teoria dei campi (matematica)|teoria dei campi]] nei suoi lavori sulla risolubilità delle equazioni. Questi lavori vennero poi formalizzati e sviluppati da [[Leopold Kronecker]].

Le nuove teorie algebriche ricevettero attenzione in [[Inghilterra]] dove da più di un secolo la matematica era caduta in una fase di torpore. L'irlandese [[William Rowan Hamilton]] (1805-1865), volendo estendere alla terza dimensione il piano di Gauss, introdusse i [[quaternioni]], creando così un'algebra del tutto nuova dove non valevano tutte le regole di quella ordinaria, venendo a mancare la [[proprietà commutativa]] della moltiplicazione. Hamilton arrivò anche a riformulare in maniera astratta la [[meccanica lagrangiana]] ([[meccanica hamiltoniana]]) e dimostrò il [[teorema di Cayley-Hamilton]]. [[Arthur Cayley]] studiò invece l'algebra delle [[matrici]] definendo i concetti di moltiplicazione e somma su questi enti. Studiò l'algebra degli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] chiamata spesso anche [[algebra di Cayley]].

[[George Boole]] (1815-1864), infine, definì le operazioni algebriche per gli [[insieme|insiemi]], dando inizio così alla cosiddetta [[algebra di Boole]]. Questa teoria avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo della [[logica matematica]], di cui Boole può benissimo essere considerato il padre, e della [[teoria dell'informazione]].

=== Logica, Teoria degli insiemi ===
Nella seconda metà del secolo si incominciò a studiare il concetto di numero, cercando di definirlo logicamente. Weiestrass e [[Richard Dedekind]] definirono il concetto di [[numero reale]] partendo da quello di [[numero naturale]] e di [[numero razionale]]. Il logico [[Gottlob Frege]] (1848-1925) cercò di definire il concetto di numero naturale su basi logiche, riconducendo così l'intera matematica alla [[logica]]. Tuttavia la sua definizione che si basava sul concetto di cardinalità di un insieme fu messa in crisi all'inizio del secolo successivo. [[Giuseppe Peano]] (1858-1932) tentò invece di basare la matematica in modo [[assioma]]tico. Introdusse quindi cinque assiomi che descrivevano il concetto di [[numero naturale]] spesso chiamati [[assiomi di Peano]]. Anche questo tentativo era però destinato a fallire.

Dedekind definì per primo l'infinità di un insieme come il fatto che un suo sottoinsieme potesse essere messo in [[corrispondenza biunivoca]] con esso. Partendo da questo lavoro [[Georg Cantor]] (1845-1918) iniziò a studiare gli insiemi infiniti, scoprendo che i [[numero intero|numeri interi]] sono tanti quanti i [[numero razionale|numeri razionali]] (ossia i due insiemi hanno la stessa potenza) ma che l'insieme infinito dei [[numero reale|numeri reali]] è più grande di quello dei razionali. Congetturò poi che non vi fossero altre potenzialità di infinito tra questi due insiemi. La congettura è chiamata [[ipotesi del continuo]]. Queste scoperte paradossali generarono scetticismo nella comunità dei matematici: nonostante ciò, le idee di Cantor sono alla base della moderna [[teoria degli insiemi]].

== XX secolo ==
[[File:Hilbert.jpg|thumb|David Hilbert]]

Prima del [[XX secolo|ventesimo secolo]], {{citazione necessaria|il numero di matematici creativi attivi contemporaneamente nel mondo era inferiore al centinaio}}. I [[matematici]] erano di norma benestanti o supportati da ricchi possidenti. Vi erano pochi impieghi possibili, quali insegnare nelle università o nelle scuole superiori. La professione del matematico divenne realtà solo nel ventesimo secolo. I matematici iniziarono a lavorare in gruppo. Il centro dell'attività matematica nella prima metà del secolo fu [[Gottinga]] per poi divenire negli [[anni 1950|anni cinquanta]] [[Princeton]]. Furono istituiti vari premi matematici, a partire dalla [[medaglia Fields]] ([[1936]]) e il [[premio Wolf]] per la [[matematica]] ([[1978]]), mentre manca il [[premio Nobel]] per la matematica.

In questo secolo si vide una moltiplicazione di teoremi e scoperte matematiche. Per stabilire delle linee guida, [[David Hilbert]] (1862-1947) in un congresso del [[1900]] enunciò [[problemi di Hilbert|23 problemi]] che avrebbero dovuto fare da guida nella matematica novecentesca. Molti di questi problemi sono stati risolti, positivamente o negativamente, ma restano aperti l'[[Ipotesi di Riemann|ottavo]] e il dodicesimo. Hilbert fu un matematico di prim'ordine. Dimostrò il [[teorema di finitezza]] e studiò le [[equazione integrale|equazioni integrali]] introducendo gli [[spazio di Hilbert|spazi di Hilbert]]. La sua opera più importante fu comunque un'assiomatizzazione completa e rigorosa della [[geometria]] ottenuta nel suo [[Grundlagen der Geometrie]].

=== Teoria degli insiemi ===

{{vedi anche|Crisi dei fondamenti della matematica}}

Nel [[1901]] invece [[Bertrand Russell]] (1872-1970) espose, in una lettera a [[Gottlob Frege|Frege]], il cosiddetto [[paradosso di Russell]] che metteva in discussione la sua formulazione della [[teoria degli insiemi]] e dunque della [[matematica]]. Questa scoperta portò [[Ernst Zermelo]] e [[Adolf Fraenkel]] a riformulare la teoria su base assiomatica: il cosiddetto [[sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel]]. Solitamente a questi viene aggiunto anche l'[[assioma della scelta]] senza il quale non si possono dimostrare alcuni importanti teoremi (il sistema risultante è solitamente chiamato [[ZFC]]). L'indipendenza di questo [[assioma]] dal sistema di Zermelo-Fraenkel è stata provata da [[Paul Cohen (matematico)|Paul Cohen]] nel [[1963]]. Anche Russell cercò parallelamente di rifondare la [[matematica]] su degli assiomi. Insieme a [[Alfred North Whitehead]] scrisse il monumentale ''[[Principia Mathematica]]''. Il "fallimento" di queste impostazioni assiomatiche (inclusa quella tentata da [[Giuseppe Peano]]) fu decretato nel [[1931]] da [[Kurt Gödel]] (1906-1978) con il suo famoso [[teoremi d'incompletezza|teorema di incompletezza]], secondo il quale in ogni [[sistema assiomatico]] coerente esistono proposizioni indecidibili (che non possono essere né dimostrate né confutate). Lo sgomento causato dal teorema aumentò quando Gödel e Cohen dimostrarono che l'[[ipotesi del continuo]] è indipendente dal [[sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel]].

=== Analisi ===
In analisi [[Henri Lebesgue]] riformulò nel [[1902]] il concetto di [[integrale]] introducendo la [[misura di Lebesgue]] ([[integrale di Lebesgue]]). Ciò comporta un ampliamento della classe delle funzioni integrabili rispetto alla definizione data da [[Bernhard Riemann|Riemann]]. Furono poi introdotte funzioni improprie come la [[funzione gradino di Heaviside]] e la [[funzione delta di Dirac]]. Tramite il concetto di [[Distribuzione (matematica)|distribuzione]] [[Laurent Schwartz]] estese il concetto di [[derivata]] alle funzioni integrabili secondo Lebesgue. [[Abraham Robinson]] definì i [[numeri iperreali]], estensione di quelli reali con cui diede vita alla cosiddetta [[Analisi non standard]] che recupera, definendoli in modo rigoroso, molti dei concetti intuitivi usati da Leibniz come quello di [[infinitesimo]]. Successivamente furono introdotti i [[numeri surreali]].

=== Algebra ===
[[Ernst Steinitz]] apportò importanti contributi all'[[algebra]] e allo studio dei [[campo (matematica)|campi]]. Ciò portò a una classificazione dei [[campo algebricamente chiuso|campi algebricamente chiusi]]. La [[classificazione dei gruppi semplici finiti]] fu invece più difficoltosa. [[Daniel Gorenstein]] annunciò il programma per la loro classificazione nel [[1972]]. Questa tenne impegnati un centinaio di matematici, tra cui [[John Conway]] (1937-2020), fino al [[1985]], anno in cui fu completata. Durante questa classificazione fu anche trovato il "[[Gruppo mostro|Mostro]]", un gruppo semplice costituito da circa <math>10^{{53}}</math> elementi. Si è scoperto poi che le strutture algebriche hanno molta importanza nella [[fisica delle particelle]].

=== Topologia ===
Uno dei campi di studio principali del secolo fu la [[topologia]]. Nel [[1910]] [[Luitzen Brouwer]] dimostrò l'importante [[Teorema del punto fisso di Brouwer|teorema del punto fisso]]. Si iniziarono a studiare le [[superficie minima|superfici minime]] ottenendo risultati importanti come la risoluzione del [[problema di Plateau]]. In [[topologia differenziale]], [[John Milnor]] scoprì che una [[varietà topologica]] può ammettere più strutture differenti come [[varietà differenziale]]. [[Stephen Smale]] risolse la [[congettura di Poincaré]] per tutte le dimensioni superiori a 5. La dimostrazione fu quindi estesa in dimensione 5, e in dimensione 4 da [[Michael Freedman]] all'inizio degli anni 80. Nello stesso periodo [[William Thurston]] introdusse nuove prospettive geometriche nello studio delle varietà tridimensionali, culminanti nella [[Congettura di geometrizzazione]]. Nel ventesimo secolo ci si interessò anche alla [[Teoria dei nodi]], e si cercò di classificarli introducendo nuovi invarianti.

=== Teoria dei numeri ===
Anche la [[teoria dei numeri]] ricevette un grande impulso. [[Srinivasa Ramanujan]] (1887-1920) dimostrò molti importanti teoremi e formule. Tra queste molte che consentono di calcolare [[pi greco|pi]] e la [[Partizione di un intero#La funzione di partizione|funzione di partizione]]. Introdusse la [[funzione mock theta]]. [[Aleksandr Gel'fond]] dimostrò il [[teorema di Gel'fond]], risolvendo parzialmente la congettura sui [[numero trascendente|numeri trascendenti]] contenuta nel [[settimo problema di Hilbert]]. [[Atle Selberg]] (1917-2007) e [[Paul Erdős]] (1913-1996) dettero nel [[1949]] una dimostrazione elementare del [[teorema dei numeri primi]]. Erdös fu un matematico molto prolifico. Operò soprattutto in [[teoria dei numeri]], [[calcolo combinatorio]] e [[teoria dei grafi]] ottenendo risultati importanti. In suo onore i matematici hanno definito il [[numero di Erdős]]. Nel [[1994]], dopo anni di lavoro, [[Andrew Wiles]] dimostrò l'[[Ultimo teorema di Fermat]]. La sua dimostrazione usa molte tecniche di algebra moderna. Alcuni di questi strumenti erano stati oggetto di lavoro di [[André Weil]], un matematico che si era interessato di [[equazione diofantea|equazioni diofantee]], [[curva ellittica|curve ellittiche]] e [[gruppi di Lie]].

=== Geometria ===
[[File:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|left|Il [[insieme di Mandelbrot|frattale di Mandelbrot]]]]
In [[geometria]], dopo la classificazione dei 230 gruppi di simmetria spaziali e dei 7 lineari, furono classificati i 17 tipi di simmetrie planari e si iniziò a studiare le tassellature. [[Roger Penrose]] scoprì la [[tassellatura di Penrose]] che copre il piano in modo aperiodico. [[Alain Connes]] sviluppò la geometria non commutativa. Due importanti congetture sono state risolte usando in modo massiccio il [[computer]]: la [[congettura di Keplero]] ([[1998]]) riguardante gli impacchettamenti sferici e il [[Teorema dei quattro colori]] ([[1976]]) secondo il quale ogni mappa più essere colorata senza che due regioni confinanti abbiano lo stesso colore usando soltanto 4 colori. L'uso del [[computer]] è stato fondamentale nello studio dei [[frattale|frattali]], curve dotate di [[area]] finita e [[perimetro]] infinito che non hanno [[dimensione]] intera. Questo studio, iniziato all'inizio del secolo da [[Gaston Julia]] ([[insieme di Julia]]) e [[Helge von Koch]] ([[curva di Koch]]) e incagliatosi per le difficoltà di calcolo fu ripreso da [[Benoît Mandelbrot]] (1924-2010) negli [[anni 1980|anni ottanta]]. Si deve a Mandelbrot la definizione degli oggetti frattali, fra questi il famoso [[insieme di Mandelbrot]], oltre alle applicazioni in vari campi, fra cui l'[[economia]].

=== Informatica ===
[[Alan Turing]] (1912-1954), considerato uno dei padri dell'informatica, introdusse idee fondamentali per il successivo nascere di questa materia. Introdusse i concetti di [[macchina di Turing]] e [[Test di Turing]]. I suoi lavori sono alla base dell'[[Intelligenza artificiale]]. Durante la [[Seconda guerra mondiale]] aiutò gli alleati a decifrare i messaggi in codice [[nazismo|nazisti]]. Dopo la guerra, in quanto omosessuale, fu costretto a subire una cura ormonale che lo portò al [[suicidio]]. [[John von Neumann]] (1903-1957), una figura dominante nella matematica novecentesca, invece introdusse l'importante concetto di [[architettura di von Neumann]] e studiò la possibilità di una macchina autoreplicante. Successivamente [[George Dantzig]] introdusse il metodo di [[programmazione lineare]] chiamato [[metodo del simplesso]]. [[Claude Shannon]] sviluppò la [[teoria dell'informazione]]. Grazie alla sua analisi del gioco degli [[scacchi]] oggi i [[computer]] possono vincere giocando a scacchi con dei campioni.

=== Teoria dei giochi ed economia ===
[[File:JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg|thumb|John von Neumann]]
A [[John von Neumann|Von Neumann]], ed in buona parte anche a [[Oskar Morgenstern|Morgenstern]], si deve anche lo sviluppo della [[teoria dei giochi]]. La teoria dei giochi si occupa della modellizzazione di una situazione di interazione strategica ed analizza quali possano essere le strategie migliori da utilizzare. Tra i più importanti lavori di von Neumann in questo campo c'è la dimostrazione del teorema di minimax. Successivamente [[John Nash]] (1928-2015) introdusse il concetto fondamentale di [[equilibrio di Nash]], importante anche in economia. Strettamente connessa alla teoria dei giochi è la trattazione matematica dell'[[economia]] già iniziata negli ultimi anni del secolo precedente. Nel secondo dopoguerra vi è stato uno straordinario sviluppo dei metodi matematico-formali in economia, in particolare utilizzando la teoria dei giochi: fra i risultati più significativi, il teorema di esistenza dell'[[equilibrio economico generale]], dimostrato da [[Kenneth Arrow]] e [[Gérard Debreu]].

[[Andrey Nikolaevich Kolmogorov]] riuscì, facendo ricorso alla [[misura di Lebesgue]], ad assiomatizzare il [[calcolo delle probabilità]]. Von Neumann invece assiomatizzò la [[meccanica quantistica]]. Nel ventesimo secolo si iniziò ad analizzare matematicamente la struttura del linguaggio. Axel Thue definì in termini matematici il concetto di grammatica. [[Noam Chomsky]] classificò invece i vari tipi di linguaggi in base al tipo di produzioni grammaticali permesse.

Edward Norton Lorenz, studiando metodi per la previsione del [[tempo atmosferico]], scoprì il cosiddetto [[attrattore di Lorenz]], dando così inizio alla [[teoria del caos]]. Questa studia i [[sistema caotico|sistemi caotici]], quei sistemi, cioè, in cui piccole variazioni delle condizioni iniziali portano a variazioni consistenti nel tempo. La teoria ha importanti applicazioni nella [[meteorologia]].

=== Filosofia matematica ===

Nel novecento si crearono due scuole di pensiero opposte riguardo al significato della matematica. I [[filosofia della matematica|realisti]] ([[Kurt Gödel]]) credono che le entità matematiche in qualche modo ''esistano'' e che le verità matematiche siano verità assolute. Invece i [[filosofia della matematica|formalisti]] ([[David Hilbert]]) credono che gli enunciati matematici siano in realtà conseguenze di alcuni [[assiomi]] e regole deduttive e che gli enunciati matematici non abbiano una validità assoluta ma limitata al sistema preso in considerazione.

Si crearono poi le scuole di pensiero [[Costruttivismo matematico|costruttivista]] e [[intuizionismo|intuizionista]]. Queste correnti di pensiero rigettano alcuni principi matematici come il [[principio del terzo escluso]] e l'[[infinito (matematica)|infinito]] attuale (e di conseguenza tutti gli algoritmi infiniti). L'intuizionismo, sviluppato da [[Luitzen Brouwer]], in particolare sostiene che i principi fondamentali della [[matematica]] siano nella intuizione individuale e nella [[mente]] del matematico.

== XXI secolo ==
A imitazione dei [[problemi di Hilbert]], nel [[2000]] l'[[Istituto matematico Clay]] ha compilato una lista di sette [[problemi per il millennio]], offrendo un milione di dollari per la risoluzione di ciascuno di essi. L'unico ad essere stato risolto di questi è la [[congettura di Poincaré]]; essa è stata dimostrata nel [[2006]] da [[Grigorij Jakovlevič Perel'man|Grigorij Perelman]], il quale ha però rifiutato il premio e la [[medaglia Fields]]. Tra i problemi del millennio vi sono anche alcuni problemi matematici tutt'oggi ([[2022]]) irrisolti come l'[[Ipotesi di Riemann]] e il problema [[classi di complessità P e NP|P contro NP]]. Restano ancora irrisolte anche la [[congettura di Goldbach]] e la [[congettura dei numeri primi gemelli]].

== Cronologia ==
{{immagine grande|Cronologia matematica.png|1000px|Cronologia della matematica: le linee continue indicano contatti confermati, quelle tratteggiate indicano contatti possibili}}

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* [[E.T. Bell]], ''Men of Mathematics'' Simon and Schuster, 1937.
* Asger Aaboe, ''Episodes from the Early History of Mathematics'' New York, Random House, 1964.
* Karl W. Menninger., ''Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers'' MIT Press, 1969. ISBN 0-262-13040-8
* Richard J. Gillings, ''Mathematics in the time of the pharaohs'' Cambridge, MA, M.I.T. Press, 1972.
* [[Morris Kline]], ''Mathematical Thought From Ancient to Modern Times'', Oxford University Press, 1972 [Traduzione italiana: ''Storia del pensiero matematico'', vol. I ("Dall'antichità al Settecento") e vol. II ("Dal Settecento ad oggi"), Giulio Einaudi editore, Torino, 1991, 1999].
* [[Morris Kline]], ''Mathematics - The loss of Certainty''. Oxford University Press, 1980. (Esposizione di livello medio dei cambiamenti di concezione della matematica che si sono imposti nel [[XX secolo]].)
* Sir Thomas Heath, ''A History of Greek Mathematics'' Dover, 1981. ISBN 0-486-24073-8
* Van der Waerden, B. L., ''Geometry and Algebra in Ancient Civilizations'', Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.
* Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, ''Une histoire des mathématiques'', Editions du Seuil, 1986 ISBN 2-02-009138-0
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0
* E.T. Bell, ''I grandi matematici'' Sansoni editrice, 1990 ISBN 88-383-1180-3.
* {{cita libro|nome= Carl Benjamin |cognome= Boyer|wkautore= Carl B. Boyer |titolo=  
[[Storia della matematica (Boyer)|Storia della matematica]] |traduttore= Adriano Carugo|editore= Mondadori|anno= 1991| cid= Boyer|isbn= 88-04-33431-2}}
* Burton, David M., ''The History of Mathematics: An Introduction''. McGraw Hill: 1997.
* Katz, Victor J., ''A History of Mathematics: An Introduction'' Addison-Wesley: 1998.
* Hoffman, Paul, ''The Man Who Loved Only Numbers: The Story of [[Paul Erdős]] and the Search for Mathematical Truth''. New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5.
* [[Paolo Rossi Monti|Paolo Rossi]] (diretta da), ''Storia della scienza'' vol 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
* [[Piergiorgio Odifreddi]], ''[[La matematica del Novecento]]'' ISBN 88-06-15153-3
* [[Lucio Lombardo Radice]], ''La matematica da Pitagora a Newton'', GEM edizioni 2010.
* O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F., ''[https://web.archive.org/web/20070927231020/http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ The MacTutor History of Mathematics Archive]''.
* Stephen M. Stigler, ''The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900.'' Belknap Press, 1990. ISBN 0-674-40341-X
* Pablo Martín Prieto, ''Las matemáticas en la Edad Media: una historia de las matemáticas en la Edad Media occidental'', Madrid, La Ergástula, 2015

== Voci correlate ==
* [[Aritmogeometria]]
* [[Annals of Mathematics]]
* [[MacTutor]]
* [[Matematica]]
* [[Cronologia della matematica]]
* [[Storia delle funzioni trigonometriche]]
* [[Storia della nozione di funzione matematica]]
* [[Storia dei numeri]]
* [[Storia del determinante]]
* [[Società italiana di storia delle matematiche]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ The MacTutor History of Mathematics archive] sito di [[MacTutor]]
* {{cita web|https://www.storia-matematica.net/|La storia della matematica: dalle origini al sec. XVII, con tavole interattive}}
* [[Silvio Maracchia]], [http://matematica.unibocconi.it/articoli/quel-favoloso-xii-secolo-la-matematica ''Quel favoloso XII secolo per la Matematica''], PRISTEM ([[Università Bocconi]]).
* {{cita web|http://www.arab.it/islam/la_matemtica_del_mondo_islamico.htm|I matematici del mondo islamico}}
* {{cita web|url=http://www.fisicamente.net/index-845.htm&h=293&w=561&sz=177&hl=it&start=5&um=1&tbnid=GY3AYllCTlTN-M:&tbnh=69&tbnw=133&prev=/images%3Fq%3Dmetodo%2Bdi%2Besaustione%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Dit%26lr%3D%26sa%3DN|titolo=La nascita del calcolo infinitesimale|urlmorto=sì}}
* [https://web.archive.org/web/20130329035835/http://www.dm.unito.it/sism/m_italiani/elmatematici.html Indice delle biografie di matematici italiani] nel sito [[Società Italiana di Storia delle Matematiche|SISM]]
* {{cita web | 1 = http://www.dm.unipi.it/~tucci/index.html | 2 = Un'ontologia della storia della matematica | accesso = 4 aprile 2008 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20080615051823/http://www.dm.unipi.it/~tucci/index.html | dataarchivio = 15 giugno 2008 | urlmorto = sì }}
* [https://web.archive.org/web/20081202084829/http://web.math.unifi.it/archimede/matematicaitaliana/schede_opere/saggio.html Un itinerario attraverso la matematica italiana contemporanea] di [[Enrico Giusti]] e [[Luigi Pepe (matematico)|Luigi Pepe]]
*[https://mathigon.org/timeline Timeline of Mathematics]

{{Aree della matematica}}

{{portale|matematica|storia}}

[[Categoria:Storia della matematica| ]]