Visualizza wikitesto di Sistema numerico esadecimale

{{F|matematica|ottobre 2012}}
{{W|informatica|agosto 2024}}Il '''sistema numerico esadecimale''' (spesso abbreviato come '''esa''' o '''hex''') è un [[sistema numerico]] [[numerazione posizionale|posizionale]] in base 16, cioè che utilizza 16 simboli invece dei 10 del [[sistema numerico decimale]] tradizionale. Per l'esadecimale si usano in genere i simboli da <math>0</math> a <math>9</math> per le prime dieci cifre e poi le lettere da <math>A</math> a <math>F</math> per le successive sei cifre, per un totale di 16 simboli.<ref>{{Cita web|url=https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6618-sistema-esadecimale.html|titolo=Sistema esadecimale|accesso=2018-12-17|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20181217202310/https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6618-sistema-esadecimale.html|dataarchivio=17 dicembre 2018|urlmorto=sì}}</ref>

== Rappresentazione ==
Ecco una tabella che confronta le rappresentazioni esadecimali, decimali, ottali e binarie dei numeri fino a 15:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"  style="text-align:center;border:2px"
|- style="background:black; height:2px"
| style="background:black; width:2px" |  ||  || || ||  || || || || || || ||
|-style="background:#F6A07C; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || style="width:45px"|'''0'''<sub>hex</sub> || = || style="width:45px"|0<sub>dec</sub> || = || style="width:45px"|0<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0 ||style="background:black; width:2px" |
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| style="background:black; width:2px" | ||  '''1'''<sub>hex</sub> || = || 1<sub>dec</sub> || = || 1<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
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| style="background:black; width:2px" | ||  '''2'''<sub>hex</sub> || = || 2<sub>dec</sub> ||= || 2<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0||style="background:black; width:2px" |
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| style="background:black; width:2px" | ||  '''3'''<sub>hex</sub> || = || 3<sub>dec</sub> || = || 3<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
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|-style="background:#FEE978; color:black; height:24px"
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|-style="background:#E3EDE9; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | ||'''7'''<sub>hex</sub> || = || 7<sub>dec</sub> || = || 7<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
|- style="background:black; height:2px"
| style="background:black; width:2px" | || || ||  ||  || || || || || || ||
|-style="background:#E3EDE9; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''8'''<sub>hex</sub> || = || 8<sub>dec</sub> || = || 10<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#FEE978; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''9'''<sub>hex</sub> || = || 9<sub>dec</sub> ||= || 11<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#FDC888; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''A'''<sub>hex</sub>|| = || 10<sub>dec</sub> || = || 12<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#E3EDE9; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''B'''<sub>hex</sub>|| = || 11<sub>dec</sub> || = || 13<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
|- style="background:black; height:2px"
| style="background:black; width:2px" | || || || || || || || || || || ||
|-style="background:#FDC888; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''C'''<sub>hex</sub>|| = || 12<sub>dec</sub> || = || 14<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:white;width:24px"|0||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#E3EDE9; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''D'''<sub>hex</sub>|| = || 13<sub>dec</sub> ||= || 15<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#E3EDE9; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''E'''<sub>hex</sub>|| = || 14<sub>dec</sub> ||= || 16<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:white;width:24px"|0||style="background:black; width:2px" |
|-style="background:#F6A07C; color:black; height:24px"
| style="background:black; width:2px" | || '''F'''<sub>hex</sub>|| = || 15<sub>dec</sub> || = || 17<sub>oct</sub> ||style="background:black; width:2px" | || style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1|| style="background:red;width:24px"|1||style="background:black; width:2px" |
|- style="background:black; height:2px"
| style="background:black; width:2px" | || || || ||  || || || || || || ||
|}

Perciò il numero decimale 143, la cui rappresentazione binaria è <math>1000\,1111</math>, può essere scritto come <math>8F</math> in esadecimale.

== Informatica ==
Il sistema esadecimale è molto usato in [[informatica]], in quanto una cifra esadecimale è esattamente equivalente in termini di significato numerico a quattro cifre binarie, ovvero a quello che viene comunemente chiamato [[nibble]]. È spesso usato come intermediario, oppure come sistema numerico a sé stante. Per esempio, è possibile esprimere un [[byte]] con esattamente due cifre esadecimali. 

Ci sono numerosi modi per denotare un numero come esadecimale, usati in differenti [[Linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]] e di descrizione hardware:
* [[Ada (linguaggio)|Ada]] e [[VHDL]] racchiudono i numeri in "virgolette numeriche" che riportano anche la base, per esempio <code>16#5A3#</code> (Nota: Ada accetta questa notazione per tutte le basi dalla 2 alla 16 e per numeri sia interi che non).
* Il [[C (linguaggio)|C]] e i linguaggi con una sintassi simile (come il [[Linguaggio di programmazione Java|Java]]) usano il prefisso <code>0x</code>, per esempio <code>0x5A3</code>. Lo zero iniziale è presente perché i numeri devono tutti necessariamente iniziare con un carattere numerico, mentre la <code>x</code> indica l'uso del sistema esadecimale (se si usa come prefisso solo <code>0</code>, senza <code>x</code>, il linguaggio C interpreta il numero come [[sistema numerico ottale|ottale]], mentre se non si usa nessun prefisso il numero viene interpretato come [[Sistema numerico decimale|decimale]]).
* Il [[Pascal (linguaggio)|Pascal]] e alcuni [[Assembly]] indicano l'esadecimale con il suffisso <code>h</code>; se il numero inizia con una lettera, si usa anche il prefisso <code>0</code>). Esempi: <code>0A3Ch</code>, <code>5A3h</code>.
* Altri assembly ([[AT&T]], [[Motorola]]) e alcune versioni di [[BASIC]] usano il prefisso <code>$</code>, per esempio <code>$5A3</code>.
* Altre versioni del BASIC usano il prefisso <code>&amp;h</code>, per esempio <code>&amp;h5A3</code>.
* Quando usano sistemi di numerazione diversi dalla base dieci, o numerali in basi multiple, i [[matematico|matematici]] scrivono la base come pedice del numero, per esempio <math>5A3_{16}</math> oppure <math>5A3_{SEDICI}</math>.

Non esiste un simbolo standard, perciò tutte le convenzioni elencate sopra vengono utilizzate, e a volte lo stesso articolo può contenere due convenzioni diverse. Ciononostante, non si crea molta confusione perché tutte sono non ambigue.

La parola "esadecimale" è peculiare, perché il prefisso ''esa'' è derivato dal [[lingua greca|greco]] έξι (exi) (che significa ''sei''), e ''decimale'' deriva dalla parola [[Lingua latina|latina]] per ''dieci''.

== Conversioni con altri sistemi numerici ==
=== Sistema decimale ===
Per convertire un numero esadecimale in decimale si devono moltiplicare le sue cifre per le potenze della base 16 con esponente uguale alla loro posizione nel numero. Ad esempio <code>4F</code> <math>= 4 \times 16^1 + {\rm F}\times 16^0</math> dove F vale 15 (vedi tabella sopra):

quindi <math>(4\rm{F})_{16} = 4\times 16^1 + 15\times 16^0</math>.
(Si ricordi che 16<sup>0</sup> = 1).

Allora <math>(4\rm{F})_{16} = 4\times 16^1 + 15\times 1= 4\times 16 + 15 \times 1 =  64+15 = 79</math>.

L'operazione inversa — da decimale ad esadecimale — si realizza con una serie di divisioni successive. Si utilizza la divisione con resto. Vediamo un esempio:

<math>\frac{79}{16}=4,9375</math>

Il risultato viene arrotondato per difetto. Occorre ora trovare il resto, moltiplicando la parte decimale per il divisore della precedente operazione: <math>0,9375\times16=15</math>. Si deve comporre il numero in sistema esadecimale: il 4 è indicato dal simbolo <math>4</math>, il 15 dal simbolo <math>F</math>: <math>4F</math>.

Un altro esempio:

<math>FB3</math> in esadecimale corrisponde al numero {{Hex2dec|FB3}} in base decimale. Si ha

<math>({\rm FB}3)_{16} = F\times 16^2 + B\times 16^1 + 3\times 16^0 
= 15\times 16^2 + 11\times 16^1 + 3\times 16^0=
</math>

<math> = 15\times 256 + 11\times 16 + 3\times 1= 3840+176+3= 4019. 
</math>

Viceversa, convertiamo <math>4019</math> in esadecimale:

<math>\frac{4019}{16} = 251</math> con resto 3'''.'''

Il quoziente 251 va di nuovo diviso per 16,

<math>\frac{251}{16} = 15</math> con resto 11'''.'''

Il quoziente 15 è minore della base 16 e il procedimento di divisione si arresta.

Il numero viene quindi scritto con, in sequenza, l'ultimo quoziente ottenuto e la successione dei resti a ritroso. In questo caso la sequenza è <math>15</math>-<math>11</math>-<math>3</math>, cioè <math>F</math>-<math>B</math>-<math>3</math>.

che si scrive <math>FB3</math>.

=== Sistema binario ===
{{Vedi anche|Sistema numerico binario}}
Come già detto, la ragione per cui il sistema esadecimale si adopera in informatica è che può essere considerato come una scrittura più compatta del sistema binario, in quanto vi è [[corrispondenza biunivoca]] tra i numeri esadecimali di una cifra e quelli binari di quattro cifre. La conversione dalla base 16 alla base 2 e viceversa può quindi essere svolta per sostituzione di gruppi di cifre invece che con [[algoritmi]] di divisione.

Ad esempio, si consideri il seguente numero in base 16: <math>A16BC9_{16}</math>. Per convertirlo in base 2, è sufficiente prelevare ciascuna cifra esadecimale e sostituirla con il suo equivalente nel sistema binario, come riportato nella colonna a destra della tabella iniziale. Seguendo questa procedura, si perviene al seguente risultato:
{|
|A16BC9<sub>16</sub>
|=
| align="center" |A
| align="center" |1
| align="center" |6
| align="center" |B
| align="center" |C
| align="center" |9<sub>16</sub>
|-
|
|=
|1010
|0001
|0110
|1011
|1100
|1001<sub>2</sub>
|-
|
|=
| colspan="5" |101000010110101111001001<sub>2</sub>
|}
Per ottenere la conversione opposta, invece, bisogna procedere nella maniera inversa: si suddivide il numero binario in gruppi di 4 cifre a partire da destra (se l'ultimo gruppo contiene meno di 4 cifre, vanno anteposti tanti zeri quanti servono per completarlo) e si sostituisce ogni gruppo con il suo equivalente esadecimale. Supponiamo ad esempio di convertire in base 16 il numero in base 2: 100101111111001011<sub>2</sub>. Effettuando le operazioni descritte in precedenza si ha:

{|
|-
|10 0101 1111 1100 1011<sub>2</sub>
|=
|0010
|0101
|1111
|1100
|1011<sub>2</sub>
|-
|
|=
|align=center|2
|align=center|5
|align=center|F
|align=center|C
|align=center|B<sub>16</sub>
|-
|
|=
|colspan="5"|25FCB<sub>16</sub>
|}

== Frazioni ==
{{Vedi anche|Frazione (matematica)}}
Il sistema esadecimale, come ogni sistema di numerazione posizionale, permette di rappresentare anche le [[frazione (matematica)|frazioni]], come numeri con la virgola: questi rappresentazioni possono essere limitate oppure illimitate [[Numero periodico|periodiche]], analogamente al caso decimale.
Alcuni esempi:

{| cellspacing=0
| <math>\frac{1}{2}</math>|| = || 0,8: numero esadecimale limitato
|-
| <math>\frac{1}{3}</math>|| = || 0,555... = <math>0,{\overline 5}</math>: numero esadecimale illimitato periodico
|-
| <math>\frac{1}{4}</math>|| = || 0,4
|-
| <math>\frac{1}{5}</math>|| = || 0,333... = <math>0,{\overline 3}</math>: periodico (semplice)
|-
| <math>\frac{1}{6}</math>|| = || 0,2AAA... = <math>0,2{\overline A}</math>: periodico (misto)
|-
| <math>\frac{1}{8}</math>|| = || 0,2
|-
| <math>\frac{1}{A}</math>|| = || 0,1999... = <math>0,1{\overline 9}</math>: periodico (misto)
|-
| <math>\frac{1}{C}</math>|| = || 0,1555... = <math>0,1{\overline 5}</math>: periodico (misto)
|-
| <math>\frac{1}{F}</math>|| = || 0,111... = <math>0,{\overline 1}</math>: periodico (semplice)
|}

Poiché la base 16 è una potenza di 2, hanno una rappresentazione limitata solo le frazioni che hanno, come denominatore, una [[potenza di due|potenza di 2]]. Infatti le cifre si ripetono quando il denominatore contiene un [[fattore primo]] che non si trova nella base. Nel caso dei numeri esadecimali, questo si verifica [[se e solo se]] il denominatore non è una [[potenza di due]]. Di conseguenza le frazioni esadecimali periodiche sono più frequenti che nel caso decimale (10 ammette come fattori primi 2 e 5).

I [[numero irrazionale|numeri irrazionali]] sono rappresentabili come numeri esadecimali illimitati aperiodici, esattamente come avviene nel caso decimale.

Infine, analogamente al [[0,999...|caso del periodo 9 in base 10]], si ha: <math>0,{\rm \overline F}=1</math>.

== Note ==
<references/>

== Voci correlate ==
* [[Conversione tra basi di numerazione potenze di uno stesso numero]]
* [[Sistema di numerazione]]
* [[Bit]]
* [[Byte]]
* [[Hexspeak]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|hexadecimal|hexadecimal}}

{{Tabella dei sistemi di numerazione}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Sistemi di numerazione per base|16]]
[[Categoria:Standard informatici]]