Visualizza wikitesto di Sistema numerico binario

{{NN|informatica|gennaio 2024}}

Il '''sistema numerico binario''' è un [[sistema numerico]] [[notazione posizionale|posizionale]] in [[base (aritmetica)|base]] 2. Esso utilizza solo due simboli, di solito indicati con 0 e 1, invece delle dieci [[cifra|cifre]] utilizzate dal [[sistema numerico decimale]]. Ciascuno dei numeri espressi nel sistema numerico binario è definito "numero binario".

In [[informatica]] il sistema binario è utilizzato per la rappresentazione interna dell'informazione dalla quasi totalità degli [[computer|elaboratori elettronici]], in quanto le caratteristiche fisiche dei [[Circuito digitale|circuiti]] [[elettronica digitale|digitali]] rendono molto conveniente la gestione di due soli valori, rappresentati fisicamente da due diversi livelli di [[tensione elettrica]]. Tali valori assumono convenzionalmente il significato numerico di 0 e 1 oppure quelli di [[Valore di verità|vero e falso]] della [[logica booleana]].

== Rappresentazione ==
{{vedi anche|Binary-coded decimal}}

Un numero binario è una sequenza di cifre binarie. Ogni cifra in posizione <math>n</math> (contate da destra verso sinistra iniziando da zero) si considera moltiplicata per <math>2^{n}</math>, anziché per <math>10^{n}</math>, come avviene nella numerazione decimale.

Nella seguente tabella vengono confrontate le rappresentazioni binarie, [[sistema numerico esadecimale|esadecimale]] e [[sistema numerico decimale|decimale]] dei numeri compresi tra 0 e 15:

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! Binario || Esadecimale || Decimale
|-
|{{Binario|0}}
|{{Esadecimale|0}}
|0
|-
|{{Binario|1}}
|{{Esadecimale|1}}
|1
|-
|{{Binario|2}}
|{{Esadecimale|2}}
|2
|-
|{{Binario|3}}
|{{Esadecimale|3}}
|3
|-
|{{Binario|4}}
|{{Esadecimale|4}}
|4
|-
|{{Binario|5}}
|{{Esadecimale|5}}
|5
|-
|{{Binario|6}}
|{{Esadecimale|6}}
|6
|-
|{{Binario|7}}
|{{Esadecimale|7}}
|7
|-
|{{Binario|8}}
|{{Esadecimale|8}}
|8
|-
|{{Binario|9}}
|{{Esadecimale|9}}
|9
|-
|{{Binario|10}}
|{{Esadecimale|10}}
|10
|-
|{{Binario|11}}
|{{Esadecimale|11}}
|11
|-
|{{Binario|12}}
|{{Esadecimale|12}}
|12
|-
|{{Binario|13}}
|{{Esadecimale|13}}
|13
|-
|{{Binario|14}}
|{{Esadecimale|14}}
|14
|-
|{{Binario|15}}
|{{Esadecimale|15}}
|15
|}

La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con <math>d_n</math> si indica la cifra di posizione <math>n</math> all'interno del numero, contate da destra verso sinistra iniziando da 0) è
:<math>d_{n}2^{n}+d_{n-1}2^{n-1}+ \dots + d_1 2^1 + d_0 2^0 = N_{10}</math>

Ad esempio
:<math>1001_2 = 1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = 9_{10}</math>.

L'utilizzo dei numeri binari non è ristretto esclusivamente alla rappresentazione dei [[numeri interi positivi]]. Adottando alcune convenzioni, è possibile [[rappresentazione dei numeri relativi|rappresentare numeri interi relativi]] in binario. Oltre al [[segno (matematica)|segno]] è possibile esprimere in binario i [[numeri razionali]] utilizzando, per esempio, lo standard [[IEEE 754]].

== Operazioni aritmetiche ==
I numeri binari possono essere messi in relazione tramite operazioni aritmetiche, con regole simili a quelle del sistema decimale. Le quattro operazioni aritmetiche eseguibili sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Per rendere possibili le operazioni aritmetiche e l'elaborazione dei segnali digitali è necessario esprimere i numeri binari tenendo conto del loro segno.

=== Addizione ===
L'addizione fra due o più numeri binari è analoga a quella riferita ai numeri decimali. La regola applicata in questo caso è la seguente:
# 0+0=0
# 0+1=1
# 1+0=1
# 1+1=0 con riporto di 1 alla colonna verso sinistra

Quando si ha un riporto si aggiunge 1 sulla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della somma.

=== Sottrazione ===
La sottrazione nel sistema binario si svolge nel modo seguente:
# 0-0=0
# 0-1=1 con prestito di 1 dalla colonna a sinistra
# 1-0=1
# 1-1=0

Quando si ha un prestito si sottrae 1 dalla colonna di sinistra (quella più significativa) e si procede rispettando la regola della differenza. Se sulla colonna di sinistra non si può concedere il prestito perché la cifra è 0, esso si trascina alla colonna successiva verso sinistra finché non si restituisce il prestito.

=== Moltiplicazione ===
La regola del prodotto binario segue esattamente quella della moltiplicazione di due numeri decimali. Infatti si ha:
#0 × 0=0
#0 × 1=0
#1 × 0=0
#1 × 1=1

=== Divisione ===
L'operazione della divisione rispetta la regola: 
:<math>D = Q \times d + R</math>
dove <math>D</math> è il [[dividendo (algebra)|dividendo]], <math>d</math> il [[divisore]], <math>Q</math> è il [[quoziente]] ed <math>R</math> il [[resto]].

Per eseguire una divisione si può procedere tramite il metodo tradizionale in cui si procede per sottrazioni successive tra il dividendo e il divisore d fino a che il risultato diventi inferiore al divisore. Il risultato finale rappresenta il resto mentre il numero di sottrazioni rappresenta il quoziente.

== Storia ==
{{vedi anche|Storia dell'informatica}}

Il sistema numerico binario ha molti ''padri''. Il primo a proporne l'uso fu [[Juan Caramuel y Lobkowitz|Juan Caramuel]] con la pubblicazione del volume ''Mathesis biceps. Vetus, et noua'', pubblicato a [[Campagna (Italia)|Campagna]] nel 1669. Se ne trova traccia anche nelle opere di [[Nepero]]. Successivamente, il matematico tedesco [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]] ne studiò per primo l'[[aritmetica]]. Questa è la ragione per cui questo sistema di numerazione è considerato tra le sue più grandi invenzioni. Però non ebbe un seguito immediato. L'aritmetica binaria venne ben presto dimenticata e riscoperta solo nel [[1847]] grazie al matematico inglese [[George Boole]], creatore dell'[[Algebra di Boole|algebra booleana]], che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del Novecento e soprattutto alla nascita del [[computer|calcolatore elettronico]].

== Bibliografia ==
* {{Cita libro|autore=Argyris Kostopoulos|titolo=Elementi di telecomunicazioni|editore=Petrini|ISBN=978-88-494-1782-1}}

== Voci correlate ==
{{div col|cols=2}}
* [[Potenza di due]]
* [[Conversione tra basi di numerazione potenze di uno stesso numero]]
* [[Sistemi di numerazione]]
* [[Sistema numerico esadecimale]]
* [[Sistema numerico ottale]]
* [[Sistema numerico decimale]]
* [[Orologio binario]]
* [[Bit]]
* [[Byte]]
* [[Sistema ternario]]
* [[Calcolatore ternario]]
* [[Divinazione binaria]]
{{div col end}}

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=sistema binario|wikt_etichetta=sistema binario}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|binary|binary}}
* {{cita web|1=https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/BinaryHistory.shtml|2=History of the Binary System|lingua=en|accesso=4 maggio 2019|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20190408011903/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/BinaryHistory.shtml|dataarchivio=8 aprile 2019|urlmorto=sì}}
* {{cita web | 1 = http://wims.unice.fr/wims/it_tool~number~baseconv.it.html | 2 = Convertitore di base | accesso = 10 maggio 2013 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20120913060407/http://wims.unice.fr/wims/it_tool~number~baseconv.it.html | dataarchivio = 13 settembre 2012 | urlmorto = sì }}

{{Tabella dei sistemi di numerazione}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica|informatica}}

[[Categoria:Sistemi di numerazione per base|02]]
[[Categoria:Teorie dell'informatica]]