Visualizza wikitesto di Simboli 6j

In [[matematica]], i '''simboli 6j''' (o '''6-j'''), detti anche '''simboli di Wigner 6j''',  si riferiscono ai valori assunti da una [[funzione (matematica)|funzione]] di sei variabili che possono assumere valori interi o semiinteri (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...).

Sono stati introdotti da [[Eugene Paul Wigner]] nel [[1940]], e pubblicati nel [[1965]].

Vengono in utilizzati in [[teoria dei gruppi]] (nello studio delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) e nella teoria del [[momento angolare]] (in particolare nella [[meccanica quantistica]]).

== Definizione ==
Essi sono strettamente collegati con i [[coefficienti W di Racah]] e si possono definire come 
:<math>
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
  \end{Bmatrix}
   := (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6).
</math>

== Relazioni di simmetria ==
I simboli 6''j'', rispetto ai coefficienti W di Racah hanno il vantaggio di una maggiore simmetria.
Essi sono invarianti per tutti gli scambi di due colonne:
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_2 & j_1 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_6
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_3 & j_2\\
    j_4 & j_6 & j_5
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_3 & j_2 & j_1\\
    j_6 & j_5 & j_4
 \end{Bmatrix}.
</math>
Essi inoltre sono invarianti per lo scambio degli argomenti superiori di una qualsiasi coppia di colonne con i corrispondenti argomenti inferiori
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_5 & j_3\\
    j_1 & j_2 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_5 & j_6\\
    j_4 & j_2 & j_3
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_2 & j_6\\
    j_1 & j_5 & j_3
 \end{Bmatrix}.
</math>
Il simbolo 6''j'' 
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
</math>
è diverso da 0 se e solo se <math>j_1</math>, <math>j_2</math> e <math>j_3</math> soddisfano la disuguaglianza triangolare

:<math>
  j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3.
</math>
Questa condizione combinata con le proprietà di simmetria comporta che la disuguaglianza triangolare deve essere soddisfatta anche dalle terne <math>(j_1,j_5,j_6)</math>, <math>(j_4,j_2,j_6)</math> e <math>(j_4,j_5,j_3)</math>.

== Valori particolari ==
Quando <math>j_6=0</math> il simbolo ''6j'' viene dato dall'espressione:
:<math>
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & 0
 \end{Bmatrix}
 = \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3).
</math>
Qui si usa la funzione <math>\Delta(j_1,j_2,j_3)</math> uguale ad 1 se la terna <math>(j_1,j_2,j_3)</math> soddisfa la disuguaglianza triangolare, uguale a 0 altrimenti. Le relazioni di simmetria consentono di trovare le espressioni per gli altri simboli ''6j'' con un argomento nullo.

== Relazione di ortogonalità ==
Vale la seguente relazione di ortogonalità, collegata alla interpretazione dei simboli come coefficienti di cambiamenti di base per uno spazio di rappresentazione del gruppo delle rotazioni:
:<math>
  \sum_{j_3=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2j_3+1)
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6'
 \end{Bmatrix}
  = \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6).
</math>

== Bibliografia ==
* {{Cita libro |cognome= Biedenharn |nome= L. C. |coautori= van Dam, H. 
    |titolo= Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers
    |anno= 1965 |editore= [[Academic Press]] |città= New York |ISBN= 0-12-096056-7}}

* {{Cita libro |cognome= Edmonds |nome= A. R. |titolo= Angular Momentum in Quantum Mechanics |anno= 1957
    |editore= [[Princeton University Press]] |città= Princeton, New Jersey |ISBN= 0-691-07912-9}}

* {{Cita libro |cognome= Condon |nome= Edward U. |coautori= Shortley, G. H. |titolo= The Theory of Atomic Spectra |anno= 1970
    |editore= [[Cambridge University Press]] |città= Cambridge |ISBN= 0-521-09209-4 |capitolo= Chapter 3}}
*{{Cita pubblicazione
 |cognome      = Maximon
 |nome         = Leonard C.
 |anno         = 2010
 |titolo       = 3j,6j,9j Symbols
 |url          = http://dlmf.nist.gov/34
 |curatore3    = Ronald F. Boisvert
 |curatore4    = Charles W. Clark
 |curatore2    = Daniel M. Lozier
 |curatore     = Frank W. J. Olver
 |rivista      = NIST Handbook of Mathematical Functions
 |editore      = Cambridge University Press
 |isbn         = 978-0521192255
 |accesso      = 13 settembre 2017
 |urlarchivio  = https://web.archive.org/web/20100527100052/http://dlmf.nist.gov/34
 |dataarchivio = 27 maggio 2010
 |urlmorto     = sì
}}
* {{Cita libro |cognome= Messiah |nome= Albert |titolo= Quantum Mechanics (Volume II) |anno= 1981 | edizione= 12th
    |editore= [[Elsevier|North Holland Publishing]] |città= New York |ISBN= 0-7204-0045-7 }}

* {{Cita libro |cognome= Brink |nome= D. M. |coautori= Satchler, G. R.  |titolo= Angular Momentum
    |url= https://archive.org/details/angularmomentum0000brin |anno= 1993 |edizione= 3rd |editore= [[Clarendon Press]] |città= Oxford |ISBN= 0-19-851759-9 |capitolo= Chapter 2 }}

* {{Cita libro |cognome= Zare |nome= Richard N. |titolo= Angular Momentum |url= https://archive.org/details/angularmomentumu0000zare |anno=1988
    |editore= [[John Wiley & Sons|John Wiley]] |città= New York |ISBN= 0-471-85892-7 |capitolo= Chapter 2}}

* {{Cita libro |cognome= Biedenharn |nome= L. C. |coautori= Louck, J. D. |titolo= Angular Momentum in Quantum Physics
    |anno= 1981 |editore= [[Addison-Wesley]] |città= Reading, Massachusetts |ISBN= 0-201-13507-8 }}

== Voci correlate ==
* [[Coefficienti di Clebsch-Gordan]]
* [[Simboli 3j]]
* [[Coefficienti W di Racah]]
* [[Simboli 9j]]

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|http://mathworld.wolfram.com/Wigner6j-Symbol.html|6j Symbols, Wolfram Research|lingua=en}}
* {{cita web|http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml|Calcolatore esatto di Antony Stone per i coefficienti di Wigner}}
* {{cita web |1=http://www.volya.net/vc |2=Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator |urlmorto=sì |accesso=22 settembre 2009 |urlarchivio=https://archive.is/20121220081850/http://www.volya.net/vc |dataarchivio=20 dicembre 2012 }}
* [http://plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html 369j-symbol calculator] presso il Plasma Laboratory del [[Weizmann Institute of Science]]

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