Visualizza wikitesto di Se e solo se

{{U|Condizione necessaria e sufficiente|Matematica|novembre 2024}}

In [[matematica]], [[filosofia]], [[logica]] e nei campi tecnici che ne dipendono, si usa spesso l'espressione '''se e solo se''', o l'abbreviazione '''sse''', per esprimere l'equivalenza logica di due enunciati, esplicitando che i due enunciati hanno lo stesso [[valore di verità]]: se è vero il secondo allora è vero anche il primo, e viceversa.

Nella scrittura, le seguenti espressioni sono equivalenti

* "P '''se e solo se''' Q",
* "P '''sse''' Q", 
* "P è '''[[condizione necessaria e sufficiente]]''' per Q", 
* "P è '''equivalente''' a Q".

Nelle formulazioni logiche i simboli logici sono usati al posto di queste frasi; vedi la discussione sulle notazioni.

Il [[connettivo logico]] '''se e solo se''' compare nella [[logica proposizionale]] con la seguente [[tavola di verità]] (uguale alla porta [[XNOR]]).

{| class="wikitable" 
! A !! B !! A {{sic|sse}} B
|- align=center
| F || F || V
|- align=center
| F || V || F
|- align=center
| V || F || F
|- align=center
| V || V || V
|}

In [[logica matematica]] l'espressione "<math>a \leftrightarrow b</math>" è equivalente all'espressione "<math>(a \to b) \land (b \to a)</math>". Questa proprietà viene utilizzata in tutti i campi della matematica quando è necessario dimostrare una proprietà del tipo "a ⇔ b"; in questi casi, quindi, si dimostra in un primo momento che <math>a \Rightarrow b</math> e successivamente che <math>b \Rightarrow a</math>.

Una definizione informale del connettivo logico '''sse''' risulta essere: "ponte tra sinonimi". Esiste infatti un [[isomorfismo]] tra una [[parola]] e un suo [[Sinonimia|sinonimo]].

==Uso==
===Notazioni===
I simboli logici che corrispondono al se e solo se, sono  "↔", "⇔" e "≡", e a volte "sse" (in inglese "iff", "if and only if"). <div id="shortcut" class="noprint" style="border:1px solid #999; background:#fff; margin:0 0 .5em 1em; text-align:center; padding:5px; float:right; clear:right; font-size:smaller;">
<div style="font-size: larger"><div style="font-size: larger"><div style="font-size: larger"><div style="font-size: larger"><div style="font-size: larger">
↔<br />
⇔<br />
≡</div></div></div></div></div> </div> Queste notazioni sono tutte equivalenti. Tuttavia, alcuni testi di [[logica matematica]] (in particolare quelli di [[logica del primo ordine]], o piuttosto quelli di [[logica proposizionale]]) fanno una distinzione tra le notazioni, in particolare tra le prime: ↔, è usata come simbolo nelle formulazioni logiche, mentre ⇔ è usata nella discussione inerente a queste formule (per esempio in [[metalogica]]).

==Differenza tra "sse" e "se"==
Per semplicità, la differenza tra ''se'' e ''sse'' può essere illustrata con le due seguenti proposizioni:

# Caio mangerà il dolce ''se'' il dolce è alla crema (equivalentemente: se il dolce è alla crema, allora Caio lo mangerà). 
#:
# Caio mangerà il dolce ''se e solo se'' (sse) il dolce è alla crema.

La proposizione (1) dice solamente che Caio mangerà il dolce alla crema. Tuttavia non preclude la possibilità che Caio abbia l'occasione di mangiare un dolce diverso. Forse lo farà, forse non lo farà. La frase non ci dice nulla a proposito. Tutto ciò che sappiamo è che Caio mangerà sicuramente un dolce se questo è alla crema.

La frase (2) dice che Caio mangerà solo dolci alla crema ''e solo quelli''. Caio '''non''' mangerà altri tipi di dolce.

Un'ulteriore differenza è che "se" è usato nelle definizioni (ad eccezione nella logica formale); vedere oltre.

Nel primo caso si dice che la  proposizione ("Se il dolce è alla crema") '''implica'''  ("Caio lo mangerà").

Nel secondo caso, si dice che la '''coimplica'''.

==Considerazioni avanzate==
===Interpretazione filosofica===
Una frase composta da due frasi collegate tramite "''sse''" è chiamata una '''[[logica bicondizionale|bicondizionale]]'''. '''sse''' collega le due frasi per formare una nuova frase. Non deve essere confuso con l'[[equivalenza logica]] che è una descrizione della relazione tra due frasi. La bicondizionale "A '''sse''' B" ''usa'' la frase ''A'' e la frase ''B'', descrivendo una relazione tra lo stato delle cose che ''A'' e ''B'' descrivono. Al contrario, "''A'' è logicamente equivalente a ''B''" lega le due frasi: descrive una relazione tra quelle due frasi, e non tra gli argomenti di cui parlano.

La distinzione è molto confusa, e ha condotto molti filosofi fuori strada. Certamente se ''A'' è logicamente equivalente a ''B'' allora "A ''sse'' B" è vera. Ma il contrario non funziona. Si consideri la frase:

:Caio mangerà il dolce se e solo se è alla crema.

Chiaramente non c'è equivalenza logica tra le due parti di questa bicondizionale.

===Definizioni===
In filosofia e in logica, "iff" è usato nelle [[definizione|definizioni]]. In matematica e altrove, tuttavia, la parola "se" è normalmente usata nelle definizioni, al posto di "sse" (alcuni autori tuttavia indicano esplicitamente che "se" all'interno di una definizione significa "sse")

===Esempi===
Sono riportati alcuni esempi di frasi vere che usano "sse" (il primo è un esempio di definizione, quindi normalmente sarebbe scritto usando "se"):

*Una persona è uno scapolo ''sse'' quella persona è non sposata ed è un uomo sposabile.
*"La neve è bianca" (in italiano) è vera ''sse'' "''Snow is white''" (in inglese) è vera.
*Per ogni ''p'', ''q'' e ''r'': (''p''&nbsp;&&nbsp;''q'')&nbsp;&&nbsp;''r'' {{sic|sse}} ''p''&nbsp;&&nbsp;(''q''&nbsp;&&nbsp;''r''). (Poiché questa frase è scritta usando variabili e "[[and logico|&]]", la frase dovrebbe essere scritta usando "↔", o uno degli altri simboli usati nella scrittura della bicondizionale, al posto di "sse").

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sull'espressione}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|iff|iff}}
* {{cita web|http://itre.cis.upenn.edu/~myl/languagelog/archives/003470.html|Language Log: "Just in Case"|lingua=en}}
* {{cita web|https://hesperusphosphorus.wordpress.com/2009/12/08/just-in-case|Southern California Philosophy for philosophy graduate students: "Just in Case"|lingua=en}}
{{portale|matematica}}

[[Categoria:Connettivi logici]]