Visualizza wikitesto di S5 (logica modale)

Nella [[logica]] e nella [[filosofia]], '''S5''' è uno dei cinque sistemi di [[logica modale]] proposti da Clarence [[Irving Lewis]] e [[Cooper Harold Langford]] nel loro libro ''Symbolic Logic'' del 1932. Si tratta di un sistema di [[logica modale normale]] e di uno dei più antichi sistemi di logica modale in genere. Esso è costituito da formule e [[tautologia|tautologie]] e da un apparato per l'[[inferenza]] rappresentato dalla regola di sostituzione e dal ''[[modus ponens]]'', la cui estensione è ampliata dall'[[operatore modale]] di [[necessità]] <math>\Box</math> e dal suo [[Duale (logica modale)|duale]] di [[possibilità]] <math>\Diamond</math>.<ref>Chellas, B. F. (1980) ''Modal Logic: An Introduction''. Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-22476-4}}</ref><ref>Hughes, G. E., and Cresswell, M. J. (1996) ''A New Introduction to Modal Logic''. Routledge. {{ISBN|0-415-12599-5}}</ref>

==Gli assiomi di S5==
Nel sistema modale S5 valgono i seguenti [[assioma|assiomi]]:
*'''K''': <math>\Box(A\to B)\to(\Box A\to\Box B)</math>;
*'''T''': <math>\Box A \to A</math>,

e anche:
* '''5''': <math>\Diamond A\to \Box\Diamond A</math>;
o entrambe le due condizioni seguenti:
:* '''4''': <math>\Box A\to\Box\Box A</math>, e
:* '''B''': <math>A\to\Box\Diamond A</math>.

L'assioma (5) restringe la [[relazione di accessibilità]] <math>R</math> della struttura modale di Kripke<ref>Si definisce struttura di Kripke o struttura modale la coppia <math>\langle W,R\rangle</math>, dove ''W'' è un insieme (eventualmente [[insieme vuoto|vuoto]]) e ''R'' è una [[relazione binaria]] su ''W''.</ref> al tipo di relazione euclidea<ref>Si dice euclidea una classe di relazioni binarie che formalizzano il primo assioma degli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]]: "[[Grandezza|Grandezze]] che sono uguali allo stesso [valore] sono uguali tra loro".</ref> (ad esempio: <math>(wRv \land wRu) \implies vRu </math>).

==Semantica di Kripke==
In termini della [[semantica di Kripke]], '''S5''' è caratterizzato da [[Modello (logica matematica)|modelli]] in cui la relazione di accessibilità è una [[relazione di equivalenza]]: [[relazione riflessiva|riflessiva]], [[relazione simmetrica|simmetrica]] e [[relazione transitiva|transitiva]].

Determinare la soddisfacibilità di una formula S5 è un problema [[NP-completo]]. La prova della robustezza è banale, dal momento che '''S5''' include la [[logica proposizionale]]. L'appartenenza si dimostra illustrando che qualsiasi formula soddisfacibile ha un modello di Kripke in cui il numero di mondi è possibile al più [[Linearità (matematica)|lineare]] con la dimensione della formula.

==Applicazioni==
'''S5''' è utile perché evita [[iterazione|iterazioni]] superflue di qualificatori di diverso tipo. Ad esempio, in '''S5''' se ''X'' è necessariamente, possibilmente, necessariamente, '''possibilmente''' vero, allora ''X'' è possibilmente vero: le qualificazioni non indicate in carattere grassetto (quelle prima della finale "possibilmente") sono eliminate in '''S5'''. Sebbene ciò sia utile per mantenere le proposizioni ragionevolmente brevi, potrebbe anche sembrare controintuitivo in quanto, in '''S5''', se qualcosa è possibilmente necessario, allora è necessario (nell'esempio precedente è presente la sequenza “necessariamente, possibilmente, necessariamente” che tuttavia è riassunta dall'operatore modale di possibilità).

[[Alvin Plantinga]] affermò che questa caratteristica di '''S5''' non è, in effetti, controintuitiva. Egli asserì che se ''X'' è ''possibilmente necessario''’, esso è necessario in almeno un [[mondo possibile]]; quindi è necessario in ''tutti'' i mondi possibili e quindi è vero in tutti i mondi possibili.  Tale ragionamento è alla base delle formulazioni "modali" dell'[[argomento ontologico]].

'''S5''' è equivalente all'[[Funtore aggiunto|aggiunta]] <math>\Diamond\dashv\Box</math>.<ref>{{cita web |titolo=Steve Awodey. Category Theory. Chapter 10. Monads. 10.4 Comonads and Coalgebras. |url=https://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/chap10.pdf |accesso=8 ottobre 2022 |dataarchivio=7 ottobre 2022 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221007184551/https://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/chap10.pdf |urlmorto=sì }}</ref>

[[Leibniz]] propose un argomento ontologico per l'[[esistenza di Dio]] usando questo assioma. Nelle sue parole: "Se un essere necessario è possibile, ne consegue che esiste effettivamente".<ref>{{Cita libro|cognome=Look |nome=Brandon C. |titolo=Gottfried Wilhelm Leibniz |data=2020 |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/leibniz/ |opera=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |curatore=Zalta |edizione=Primavera 2020 |editore=Metaphysics Research Lab, Stanford University }}</ref>

'''S5''' è anche il sistema modale della [[prova ontologica di Gödel]]<ref>{{cita libro|url=http://www.csdricerca.com/scimet19/DI%20FEBO%20Mario%20-%20La%20quinta%20via%20-%20Testo%20ridotto.pdf|formato=PDF|titolo=La Quinta Via di S. Tommaso d'Aquino|p=9|città=Monastero delle Domenicane, Fognano (RA)|data=27 settembre 2019|accesso=11 ottobre 2022|dataarchivio=7 ottobre 2022|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221007203348/http://www.csdricerca.com/scimet19/DI%20FEBO%20Mario%20-%20La%20quinta%20via%20-%20Testo%20ridotto.pdf|urlmorto=sì}}. Citazione: ''Tra i pensatori contemporanei, sull'argomento ontologico si è cimentato Kurt Gödel il quale, nel 1970 elaborò una dimostrazione formale dell'esistenza di Dio, in logica modale S5, riprendendo la prova ontologica leibniziana e la definizione di Dio come: la somma perfetta di ogni qualità semplice che sia positiva e assoluta''.</ref>, nonché della [[metafisica]] di san [[Tommaso d'Aquino]] e in particolare delle sue [[Cinque vie (Tommaso d'Aquino)|Cinque vie]].<ref>{{cita web|url=https://www.pul.it/cattedra/upload_files/13/basti_logica3_2_17.pdf|autore=Gianfranco Basti|p=106,108|formato=PPT|città=Roma|anno=2017|titolo=Logica III: logica filosofica e filosofia formale- Parte I: la riscoperta moderna della logica formale|accesso=11 ottobre 2022|dataarchivio=7 ottobre 2022|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221007141356/https://www.pul.it/cattedra/upload_files/13/basti_logica3_2_17.pdf|urlmorto=sì}}</ref> Queste applicazioni, tuttavia, richiedono che ogni operatore sia in relazione seriale su una singola modalità.<ref>{{cita libro|autore1=Walter Carnielli|autore2=[[Claudio E. A. Pizzi]]|titolo=Modalities and Multimodalities|anno=2008|editore=Springer|isbn=978-1-4020-8589-5}}</ref>

==Mondi possibili: fisica e metafisica==
Nei sistemi fisici la possibilità di un mondo possibile è determinata dalle condizioni specifiche presenti in uno (o più) mondi possibili accessibili dal primo. Ad esempio, nel [[Spaziotempo di Minkowski|cono-luce]] i mondi futuri (eventi possibili) sono determinati dal mondo attuale ''u'' (istante presente), che a sua volta è determinato dal cono degli eventi passati. Il tempo presente partiziona l'insieme degli eventi possibili in due [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] disgiunti dette [[classe di equivalenza|classi di equivalenza]].

Nei sistemi metafisici, il mondo attuale e tutti i mondi possibili sono sempre e comunque determinati da condizioni comuni alla loro totalità. In altre parole, nella metafisica i mondi possibili costituiscono un'unica classe di equivalenza. I sistemi metafisici sono descritti da un sistema modale '''S5''' con '''KT5''', dove l'assioma '''T''' determina la relazione di accessibilità E come riflessiva (ogni mondo è accessibile da se stesso), mentre l'assioma '''5''' determina R come euclidea (cioè simmetrica e transitiva).
Questo schema si ritrova nella definizione aristotelica della metafisica come "scienza dell'ente in quanto ente", che accede a tutti i mondi possibili degli enti particolari. Viceversa, le scienze particolari che studiano questi enti, formano dei sottoinsiemi dei mondi possibili (corrispondenti ad altrettante classi di equivalenza) all'interno dei quali vale '''S5''': se nella metafisica tutti i mondi possibili sono reciprocamente connessi in un unico sistema '''S5''', nell'ambito delle scienze fisiche o particolari alcuni mondi non sono direttamente accessibili da altri e da se stessi, fatto che significa che la loro possibilità dipende da altri mondi possibili e non da condizioni universali e comuni.<ref>{{cita web|url=http://www.stoqatpul.org/lat/materials/ontformale/basti_questioni_logica_i_4_16.pdf|formato=PPT|autore=Gianfranco Basti|pp=254-255,260-262|titolo=Questioni di logica e di ontologia formale. Parte IV: Cenni di logica modale, di logiche intensionali nell’interpretazione classica e coalgebrica e di ontologia formale|città=Roma|anno=a.a. 2016-2017|accesso=12 ottobre 2022|dataarchivio=11 ottobre 2022|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20221011161449/http://www.stoqatpul.org/lat/materials/ontformale/basti_questioni_logica_i_4_16.pdf|urlmorto=sì}}</ref>

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
; Ulteriori letture
* {{cita pubblicazione|url=https://www.mdpi.com/2075-1680/11/7/341/pdf&ved=2ahUKEwiY-NGzoOX6AhXOCuwKHb5xACIQFnoECCwQAQ&usg=AOvVaw2APyoEBRAGe3L5RG43ezoL|formato=PDF|titolo=Graded Many-Valued Modal Logic and Its Graded Rough Truth|nome1=Jiansheng|cognome1=Li|nome2=Zengtai|cognome2=Gong|rivista=Axioms|numero=11|volume=341|anno=2022|doi=10.3390/axioms11070341|urlmorto=sì}}
(licenza [[Creative Commons]]; estensione a una logica modale multi-valore graduata)

==Voci correlate==
* [[Logica modale]]
* [[Logica modale normale]]

==Collegamenti esterni==
* {{en}} {{cita web|url= http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html|titolo= System S5 (Lewis)|accesso= 8 ottobre 2022|dataarchivio= 22 aprile 2006|urlarchivio= https://web.archive.org/web/20060422131707/http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html|urlmorto= sì}}
* {{en}} {{cita web|url= http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ |titolo=Modal Logic|sito=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]}}

{{controllo di autorità}}

{{portale|filosofia|matematica}}

[[Categoria:Logica modale]]