Visualizza wikitesto di Residuo (analisi complessa)

{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[analisi complessa]], il '''residuo''' è un [[numero complesso]] che descrive il comportamento degli [[Integrale di contorno|integrali di contorno]] di una [[funzione olomorfa]] intorno ad una [[singolarità isolata]]. 

I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di valutare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune [[derivata|derivate]], tramite il [[teorema dei residui]].

== Definizione ==
Sia <math>\Omega </math> un [[insieme aperto|aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb{C}</math>, e <math>z_0 </math> un punto di <math>\Omega </math>. Sia

:<math>f:\Omega\setminus\{z_0\}\to\mathbb C,</math>

una [[funzione olomorfa]] che in <math>z_0</math> ha una [[singolarità isolata]] e quindi un unico sviluppo locale in [[serie di Laurent]]

:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.</math>

Il '''residuo''' di <math>f</math> in <math>z_0</math> è l'integrale di <math> f </math> lungo la circonferenza <math>\gamma_r = \left \{ z: | z-z_0 | = r \right \}</math> diviso per <math>2 \pi i</math>:

:<math>\operatorname{Res}(f,z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma_r} f(z)\,\mathrm dz</math>

dove il raggio <math>r</math> è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di <math> f </math> in <math>z_0</math> è il coefficiente <math>a_{-1}</math> della [[serie di Laurent]], e viene indicato con

:<math>\operatorname{Res}_{z_0} f(z) = a_{-1}.</math>

Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.

== Integrali di contorno ==
{{vedi anche|Teorema dei residui}}
Il residuo è importante perché determina l'[[integrale di linea|integrale]] di <math> f </math> lungo una curva chiusa che abbia [[indice di avvolgimento]] uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva
:<math>\gamma (t) = z_0 + re^{2\pi it}\,\! </math>
definita su <math>[0,1] </math>, per <math> r </math> sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in <math>\Omega </math>. Vale quindi

:<math>\operatorname{Res}_{z_0}f(z)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm dz</math>

Infatti valgono le uguaglianze
:<math> \begin{align}\oint_{\gamma} f(z)\,\mathrm dz &= \oint_\gamma \sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n\,\mathrm  dz\\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \oint_\gamma a_n(z-z_0)^n\,\mathrm  dz\\ &=\oint_\gamma a_{-1}(z-z_0)^{-1} \,\mathrm dz\\ &= 2\pi i a_{-1}\end{align} </math>

Tutti i termini diversi da <math>n=-1 </math> infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione <math> (z-z_0)^n </math> ha una primitiva ben definita per ogni <math> n </math> maggiore di <math>-1 </math>, data da <math>(z-z_0)^{n+1}/(n+1) </math> mentre per ogni <math> n </math> minore di <math>-1 </math> l'integrale su linea chiusa è nullo anche se non ben definito per <math> z=z_0.</math>  L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in <math> z_0=0 </math> per comodità:

:<math> \begin{align}\oint_\gamma \frac 1z \mathrm dz &= \int_0^1 \frac{1}{re^{2\pi i t}}re^{2\pi i t} \cdot 2\pi i\,\mathrm dt\\ &= \int_0^1 2\pi i\,\mathrm  dt\\ &= 2\pi i.\end{align} </math>

== Calcolo del residuo ==

Il calcolo del residuo di una funzione <math> f(z) </math> in un punto <math>z_0 </math> risulta particolarmente semplice nel caso in cui la [[singolarità isolata]] <math>z_0 </math> sia eliminabile o un [[polo (analisi complessa)|polo]]. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se <math>z_0 </math> è un polo di ordine ''k'' il residuo è:

:<math>a_{-1} = \frac{1}{(k - 1)!} \lim_{z \to z_0}\frac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm dz^{k-1}}\left[ (z - z_0)^k \cdot f(z)\right]</math>

e in particolare, se <math>z_0 </math> è un polo semplice (cioè se ''k'' = 1), allora il residuo è semplicemente:

:<math>a_{-1} = \lim_{z \to z_0} [(z - z_0) \cdot f(z)].</math>

Infatti la serie di Laurent si scrive come

:<math>f(z) = \sum\limits_{n=-k}^\infty a_n (z-z_0)^n,</math>

ove <math> k </math> è l'ordine del polo. Ponendo

:<math>g(z) = (z-z_0)^k f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n-k}(z-z_0)^n </math>,

si ottiene una funzione analitica in <math>z_0</math> con [[serie di Taylor|sviluppo di Taylor]]

:<math>g(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n .</math>

Confrontando il coefficiente del termine di grado ''k''-1 delle due serie per ''g'' (''z''), risulta quindi

:<math>\operatorname{Res}_{z_0} f(z) = a_{-1} = \frac {1} {(k-1)!} g^{(k-1)} (z_0). </math>

== Residuo all'infinito ==

Una funzione olomorfa <math>f:\Omega\to\mathbb C </math> è definita in un ''intorno dell'infinito'' <math>\Omega</math> se esiste un <math>R>0</math> tale che l'aperto <math>\Omega </math> contenga tutti gli <math>z</math> con modulo <math>|z|>R</math>. In questo caso, è definito il '''residuo all'infinito''' di <math>f(z)</math> come

:<math>\operatorname{Res}_{\infty}f(z)=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm dz</math>

dove 

:<math>\gamma (t) = R'e^{2\pi it} </math>

è una curva qualsiasi con <math>R'>R</math> (il risultato non dipende da questa scelta).

In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come

:<math>\operatorname{Res}_{\infty}f(z)=-\operatorname{Res}_{\omega=0} \frac{1}{\omega^2} f\left(\frac{1}{\omega}\right)</math>

Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o [[trasformazione conforme]]) che manda la variabile ''z'' nella sua inversa <math>\omega = z^{-1}</math>. Segue allora che

:<math>\begin{align}\oint f(z)\,\mathrm{d}z &= - \oint_{\tilde\gamma}f\left(\frac{1}{\omega}\right)\,\mathrm {d}\left(\frac{1}{\omega}\right) \\&= \oint_{\tilde\gamma}\frac{1}{\omega^2}f\left(\frac{1}{\omega}\right)\,\mathrm {d} \omega,\end{align}</math>

ove 

:<math>\tilde\gamma (t) = \frac1{R'}e^{-2\pi it}.</math>

Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω  dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il [[teorema dei residui]], da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla [[sfera di Riemann]] fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.

==Esempi==
===Esempio 1===
Sia <math>f:\mathbb{C}\setminus\left\{-1\right\}\rightarrow\mathbb{C}</math>,

<math>f(z)=\frac{1}{1+z}</math>.

Poiché <math>f</math> è olomorfa intorno a <math>w</math>, per ogni <math>w\ne-1</math>, lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>w</math> è lo sviluppo di Taylor, dunque <math>a_{-1}=0</math> e dunque <math>\operatorname{Res}(f(z),w)=0</math> se <math>w\ne-1</math>.

Lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>-1</math> è

<math>\frac{1}{1+z}=\frac{1}{z-(-1)}</math> 

dunque <math>a_{-1}=1</math> e allora <math>\operatorname{Res}(f(z),-1)=1</math>. Per <math>w\ne0</math>, considero la

<math>\begin{align}-\frac{1}{w^2}\frac{1}{1+\frac{1}{w}}&=-\frac{1}{w}\frac{1}{1+w}\\&=\frac{-1}{w}\,(1-w+w^2-w^3+\cdots)\end{align}</math> 

e dunque <math>\operatorname{Res}(f(z),\infty)=-1</math>.

===Esempio 2===
Sia <math>f:\mathbb{C}\setminus\left\{-1\right\}\rightarrow\mathbb{C}</math>,

<math>f(z)=\frac{z}{1+z}</math>.

Mostrare che <math>\operatorname{Res}(f(z),z_0)=0</math> se <math>z_0\ne-1</math>,

<math>\operatorname{Res}(f(z),-1)=-1</math> e

<math>\operatorname{Res}(f(z),\infty)=1</math>.

Poiché <math>f(z)=\frac{z}{1+z}</math> è olomorfa intorno a <math>z_0</math>, per ogni <math>z_0\ne-1</math>, lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>z_0</math> è lo sviluppo di Taylor, dunque <math>a_{-1}=0</math> e dunque <math>\operatorname{Res}(f(z),z_0)=0</math> se <math>z_0\ne-1</math>, come nel caso precedente.

Lo sviluppo di Laurent di <math>f</math> in <math>-1</math> è

<math>\begin{align}\frac{z}{1+z}&=\frac{1+z-1}{1+z}\\&=1-\frac{1}{1+z}\\&=1+\frac{-1}{z-(-1)}\end{align}</math> 

dunque <math>a_{-1}=-1</math> e allora <math>\operatorname{Res}(f(z),-1)=-1</math>. Per <math>w\ne0</math>, considero la

<math>\begin{align}-\frac{1}{w^2}\frac{\frac{1}{w}}{1+\frac{1}{w}}&=-\frac{1}{w^2}\frac{1}{1+w}\\&=\frac{-1}{w^2}\,(1-w+w^2-w^3+\cdots)\\&=-\frac{1}{w^2}+\frac{1}{w}-1+w-\cdots\end{align}</math> 

e dunque <math>\operatorname{Res}(f(z),\infty)=1</math>.

===Esempio 3===
Sia <math>f:\mathbb{C}\setminus\left\{\pm i\right\}\rightarrow\mathbb{C}</math>,

<math>f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}</math>.

<math>\operatorname{Res}(f(z),i)=\lim_{z\rightarrow i}\frac{z-i}{z^2+1}=\lim_{z\rightarrow i}\frac{1}{z+i}=\frac{1}{2i}</math>

perché <math>z^2+1</math> ha grado 2 ma i due poli in <math>\pm i</math> hanno ciascuno molteplicità 1.

== Voci correlate ==
* [[Teorema dei residui]]
* [[Singolarità isolata]]
* [[Polo (analisi complessa)]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]