Visualizza wikitesto di Regola di quantizzazione di Dirac

{{F|fisica|marzo 2013|nessuna fonte}}
La '''regola di quantizzazione di Dirac''' consente di passare da una descrizione [[meccanica classica|classica]] a una descrizione [[meccanica quantistica|quantistica]] della [[fisica]], attraverso un'operazione di riscrittura delle variabili in termini di [[operatore (matematica)|operatori]]. In effetti, i [[postulati della meccanica quantistica]] affermano che, ad ogni grandezza osservabile, deve corrispondere un [[operatore lineare]] e [[Operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] ma non danno una regola esplicita su come ottenere l'operatore giusto. 

Una regola semplice e di ampia applicazione è quella formulata appunto da [[Paul Dirac]] e che oggi porta il suo nome.

Nel [[Meccanica hamiltoniana|formalismo hamiltoniano]] della [[meccanica classica]] il sistema è descritto da una funzione H, detta funzione hamiltoniana tramite le [[equazioni di Hamilton]]. Questa funzione hamiltoniana può sempre essere scritta in funzione delle variabili <math>\vec{q}</math> (posizione) e <math>\vec{p}</math> ([[quantità di moto]]). Sostituendo a queste variabili i rispettivi operatori quantistici <math>\hat{X}</math> e <math>\hat{P}</math> si ottiene l'operatore hamiltoniano richiesto.

== Rappresentazione degli operatori di posizione e di quantità di moto ==
La regola di quantizzazione di Dirac appena citata riconduce il problema di scrivere un qualsiasi operatore hamiltoniano quantistico al problema, assai più semplice, di rappresentare gli operatori di posizione e di [[quantità di moto|impulso]]. In generale la [[base (algebra lineare)|base]] su cui rappresentare questi operatori è arbitraria e dipende solo da una scelta di convenienza, tuttavia la base delle posizioni (ovvero lo spazio euclideo che ci è familiare) è di gran lunga la più usata.

===Rappresentazione dell'operatore di posizione===
Scrivendo l'operatore di posizione <math>\hat{X}</math> sulla base dei suoi [[autovettore|autovettori]] <math>| x \rangle</math> si ottiene una [[matrice diagonale]] con elementi (nel continuo) <math>\langle x | \hat{X} | x' \rangle = x \delta (x-x')</math>. Di conseguenza si può scrivere, usando la [[notazione bra-ket]]:<br />
:<math>\hat{X} f(x) = \langle x | \hat{X} | f \rangle = \int \langle x | \hat{X} | x' \rangle \langle x' | f  \rangle dx' = \int x \delta (x-x') f(x') dx' = x f(x)</math>.

===Rappresentazione dell'operatore di quantità di moto===
Per scrivere la rappresentazione di questo operatore in maniera semplice si può usare il fatto che <math>\left [ \hat{X} , \hat{P} \right ] f(x) = i \hbar f(x)</math> e quindi scrivere che:
:<math>i \hbar f(x) = \left [ \hat{X} , \hat{P} \right ] f(x) = \hat{X} \hat{P} f(x) - \hat{P} \hat{X} f(x) = x \left ( \hat{P} f(x) \right ) - \hat{P} \left ( xf(x) \right )</math>
ovvero che
:<math>\hat{P} \left ( xf(x) \right ) = x \left ( \hat{P} f(x) \right ) - i \hbar f(x)</math>.
È facile verificare che la soluzione di questa equazione è 
:<math>\hat{P} f(x) = - i \hbar \frac{\partial f(x)}{\partial x}</math>.

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[[Categoria:Meccanica quantistica]]