Visualizza wikitesto di Regola d'oro di Fermi

In [[fisica]], e in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''regola d'oro di Fermi''' è una formula per calcolare la probabilità per unità di tempo che avvenga una transizione da un [[autostato]] ad energia definita in un continuo di autostati di energia, in seguito ad una [[Teoria perturbativa#Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo|perturbazione]] dell'[[Operatore hamiltoniano|Hamiltoniana]] costante nell'intervallo di tempo che si considera.

Si consideri un sistema inizialmente in un autostato <math>| i\rangle</math> per una certa hamiltoniana imperturbata <math> H_0 </math>. Se la perturbazione <math>V</math> a tale hamiltoniana non dipende dal tempo, il sistema compie transizioni verso stati che hanno la medesima energia dello stato iniziale se si considerano tempi sufficientemente grandi, ovvero il sistema subirà una transizione che conserva l'energia. 

Se l'hamiltoniana dipende dal tempo, più precisamente se è una funzione oscillante con [[frequenza angolare]] <math>\omega</math>, la transizione porta in autostati le cui energie differiscono per la quantità <math>\hbar\omega</math> dall'energia dello stato iniziale. In entrambi i casi la probabilità nell'unità di tempo che la transizione dallo stato iniziale <math>| i \rangle</math> allo stato finale <math>| f\rangle</math> avvenga è data, al primo ordine della perturbazione, da

:<math> R_{i \to f}= \frac{2 \pi} {\hbar}  \left | \langle f|V|i  \rangle \right |^2 \rho(E_f)</math>

dove <math> \rho(E_f) </math> è la [[densità degli stati|densità dello stato]] finale e <math> \langle f|V|i  \rangle </math> è l'elemento di matrice della perturbazione <math>V</math> tra i due stati.
 
Oltre a [[Enrico Fermi|Fermi]], alla stesura della regola contribuì [[Paul Dirac|Dirac]],<ref>{{Cita pubblicazione|autore=P.A.M. Dirac|linkautore=Paul Dirac|data=1º marzo 1927|titolo=The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation|rivista=Proc. Roy. Soc. (London) A|volume=114|numero=767|pp=243-265|accesso=12 maggio 2007|doi=10.1098/rspa.1927.0039|url=https://links.jstor.org/sici?sici=0950-1207%2819270301%29114%3A767%3C243%3ATQTOTE%3E2.0.CO%3B2-L}}</ref> che formulò un'equazione identica. Il nome deriva dal fatto che Fermi stesso la chiamò "regola d'oro No. 2".<ref>{{Cita libro|autore=Enrico Fermi|titolo=Nuclear Physics|url=https://archive.org/details/nuclearphysicsco0000enri|anno=1950|editore=University of Chicago Press}}</ref>

== Derivazione ==
<!-- Si supponga che la perturbazione dipenda dal tempo in modo sinusoidale.
:<math>H'=V(\mathbf {r} )\cos(\omega t)</math>
La probabilità di transizione dallo stato <math>|i\rangle</math> allo stato <math>|f\rangle</math> è<ref>{{Cita|Griffiths|p. 304}}.</ref> 

:<math>P_{i\to f}(t)\simeq {\frac {|V_{if}|^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}[(\omega _{0}-\omega )t/2]}{(\omega _{0}-\omega )^{2}}}</math>

dove <math>V_{if}=\langle \psi _{i}|V|\psi _{f}\rangle</math> e <math>\omega_0=(E_f-E_i)/\hbar</math>.

Si può riscrivere <math>P_{i\to f}</math> considerando che<ref>{{Cita|Konishi e Paffuti|p. 227}}.</ref>

<math>\lim_{t\to\infty}\frac{\sin^2(xt)}{\pi tx^2}=\delta(x)</math>

nel seguente modo:

<math>\begin{align}
P_{i\to f}(t)&= {\frac {|V_{if}|^{2}}{\hbar ^{2}}}\pi t \delta\left(\frac{\omega_0 -\omega}2\right)\\
&= {\frac {|V_{if}|^{2}}{\hbar^{2}}}2\pi t \delta(\omega_0 -\omega)\\
&={\frac {2\pi t}{\hbar}}|V_{if}|^{2} \delta(E_f-E_i-\hbar\omega)
\end{align}</math>

La probabilità per unità di tempo è quindi

<math>\begin{align}
R_{i\to f}(t)=\frac{dP}{dt}={\frac {2\pi}{\hbar}}|V_{if}|^{2} \delta(E_f-E_i-\hbar\omega)
\end{align}</math>

Se lo stato finale fa parte di uno spettro continuo, la probabilità di transizione va moltiplicata con il numero di stati nell'intervallo tra <math>E_f</math> e <math>E_f+ dE_f</math>. -->Si inizia dividendo l'hamiltoniana come segue

<math>H = H_0 + \lambda H'(t)</math>

cioè supponendo che sia possibile separare due contributi, uno '''indipendente''' dal tempo, le cui autofunzioni siano note, e un secondo moltiplicato da un parametro λ, che supponiamo essere piccolo (stiamo cioè costruendo, in modo molto veloce, una teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo; per più dettagli consultare<ref>{{Cita libro|titolo=Bransden, B. H., Joachain, Charles J., "Physics of atoms and molecules", Pearson Education (US), 2003}}</ref>). Per la prima parte, data l'indipendenza dal tempo, la funzione d'onda generica sarà data da

<math>\psi_0 = \sum_k c_k^{(0 )} \psi_k^{(0 )}exp(-i E_k^{(0 )}t / \hbar )</math>

dove i coefficienti, una volta fissata una condizione iniziale, sono costanti e determinati unicamente. Tuttavia siccome le <math display="inline"> \psi_k^{(0 )}</math> sono un set completo, allora la soluzione al problema delle autofunzioni di H (cioè dell'Hamiltoniana completa) '''deve essere esprimibile''' come combinazione lineare delle <math display="inline"> \psi_k^{(0 )}</math>. Dunque la generica soluzione sarà

<math>\psi = \sum_k c_k (t) \psi_k (t) exp(-i E_kt / \hbar )</math>

dove l'assenza del pedice zero ci ricorda che stiamo risolvendo il problema alle autofunzioni di <math display="inline">H</math> e non <math display="inline">H_0</math>. 

Usando quest'ultima relazione nell'equazione di Schrödinger si ottiene che per il generico coefficiente <math display="inline"> c_b
</math> ho 

<math> {c_b}(t ) = \frac{1}{i \hbar} \sum_k \langle {\psi^{(0)}_b} |H'| \psi^{(0)}_k \rangle c_k (t) exp(i\frac{(E^{(0)}_b-E^{(0)}_k)}{\hbar}t)</math>

solitamente, per brevità si rinomina <math display="inline"> \omega_{ba} =: \frac{E^{(0)}_b-E^{(0)}_a}{\hbar}</math> e <math display="inline"> H'_{bk} =: \langle {\psi^{(0)}_b} |H'| \psi^{(0)}_k \rangle </math>. Supponendo di partire da uno stato <math> \psi_a
</math> allora posso calcolare il coefficiente che sia la proiezione dello stato del sistema su un generico stato b nel seguente modo

<math> c_b(t ) = \frac{1}{i \hbar} \int^{t}_{t_0}   H'_{ba} (t) c_k (t) exp(i \omega_{ba} t)</math>

da questo se si definisce la densità di stati <math display="inline"> \rho (E_b)</math> (cioè ammetto essenzialmente le degenerazioni in energia), considero il fatto che si tratti di una serie perturbativa (di cui prendo solo il primo ordine dipendente dal tempo) ed elevo il modulo al quadrato per ottenere la probabilità (supponendo inoltre che ho variazioni di energie piccole, rispetto al tempo considerato) otteniamo

<math> P_{ba} (t) = \frac{2}{\hbar} | H_{ba} '| \rho (E_b)  t \pi </math>

allora 

<math> R_{ba} = \frac{dP_{ba}}{dt}  = \frac{2 \pi}{\hbar} | H_{ba} '| \rho (E_b)  </math>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=David J. Griffiths|titolo=Introduction to Quantum Mechanics|editore=Prentice Hall|lingua=en|cid=Griffiths|ISBN=0-13-124405-1}}
* {{Cita libro|autore=Kenichi Konishi|autore2=Giampiero Paffuti|titolo=Quantum Mechanics: A New Introduction|editore=Oxford University Press|lingua=en|cid=Konishi e Paffuti|ISBN=978-0-19-956026-4}}
{{portale|quantistica}}

[[Categoria:Teoria perturbativa]]
[[Categoria:Fisica delle particelle]]