Visualizza wikitesto di Problema dei topi

In [[matematica]], nel '''problema dei [[topo|topi]]''' - anche chiamato '''problema degli scarabei''' - <math>n </math> topi partono dai [[vertice (geometria)|vertici]] di un [[poligono]] regolare di <math>n </math> lati di lunghezza unitaria, ed ogni topo si dirige verso il compagno più vicino, muovendosi in senso antiorario ed a [[velocità]] costante. Il problema chiede di determinare la traiettoria di ciascun topo, ed il loro punto di incontro.

== Soluzione ==
Ogni topo traccia una [[spirale logaritmica]] (che nel caso <math>n = 2 </math> degenera in una retta), tutti gli animali si incontrano nel centro del poligono e percorrono una distanza - dipendente dal numero <math>n </math> di lati del poligono -  pari a

:<math>d_n = \frac{1}{1-\cos \left( {\frac{2 \pi}{n}} \right) } </math>

=== n = 2 ===

[[File:N=2.jpg|right|thumb|Caso n=2]]

In questo caso i due topi percorrono uno spazio, ricavabile dalla formula 
:<math>d_2 = \frac{1}{1-\cos \left ( {\frac{2 \pi}{2}} \right ) } = \frac{1}{2} </math>
e quindi si incontrano nel centro del segmento. Si noti che, dato che la velocità dei due topi è la medesima ed essi si muovono su una linea retta, questo risultato era ampiamente prevedibile.

=== n = 3 ===

[[File:Problema dei topi n=3 animazione.gif|right|thumb|Caso n=3]]

Nel caso del [[triangolo]] è ben visibile la traiettoria a spirale logaritmica. Lo spazio percorso è sempre ricavabile come
:<math>d_3 = \frac{1}{1-\cos \left ( {\frac{2 \pi}{3}} \right )} = \frac{2}{3} </math>

=== n = 6 ===

[[File:Problema dei topi n=6 animazione.gif|right|thumb|Caso n=6]]

All'aumentare del numero dei lati del poligono aumenta la distanza percorsa dai topi, che comunque si incontrano nel centro della figura. Nel caso dell'[[esagono]] abbiamo che
:<math>d_6 = \frac{1}{1-\cos \left ({\frac{2 \pi}{6}} \right ) } = 2 </math>

== Generalizzazioni ==
Il problema può essere generalizzato anche nel caso di poligoni non regolari, nel caso di topi che si muovono a diverse velocità e con punti di partenza diversi. Il problema dei topi in sé potrebbe sembrare una semplice curiosità matematica, invece può essere esteso ad altri campi, come ad esempio quello militare dell'analisi delle traiettorie dei [[missili|missili a ricerca termica]].

== Voci correlate ==
*[[Spirale logaritmica]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
{{en}}[http://mathworld.wolfram.com/MiceProblem.html Un articolo in inglese su MathWorld]

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Geometria piana]]
[[Categoria:Matematica ricreativa]]