Visualizza wikitesto di Precessione di Larmor

[[File:Präzession2.png|thumb|upright=0.7|Schematizzazione della precessione del nucleo atomico]]
In [[meccanica quantistica]] e [[fisica atomica]], la '''precessione di Larmor''', il cui nome è dovuto a [[Joseph Larmor]], è la [[precessione]] dei [[momento magnetico|momenti magnetici]] degli [[elettrone|elettroni]] o dei [[nucleo atomico|nuclei atomici]] in un [[atomo]] attorno alla direzione di un [[campo magnetico]] esterno omogeneo.

Il campo magnetico <math>\mathbf {B}</math> esercita un [[momento meccanico]] <math>\mathbf {M}</math> dato dal [[prodotto vettoriale]]:

:<math>\mathbf {M} = \mathbf {\mu}\times\mathbf {B}=\gamma\mathbf {L}\times\mathbf {B}</math>

dove <math>\mathbf {\mu}</math> è il momento di [[dipolo magnetico]], <math>\mathbf {L}</math> è il [[momento angolare]] e <math>\gamma</math> è il [[rapporto giromagnetico]], che fornisce la costante di proporzionalità tra momento angolare e momento magnetico.

La precessione di Larmor fornisce un semplice modello teorico che permette di spiegare il [[diamagnetismo]]. Inoltre, ha un importante impiego tecnologico nella [[risonanza magnetica nucleare]]: per il nucleo di idrogeno, il più usato per questo scopo, il valore del rapporto giromagnetico <math>\gamma</math> è di 42.5756*10^6 (rad/s)/[[tesla (unità di misura)|T]].

== Pulsazione di Larmor ==
Il vettore del momento angolare precede sull'asse del campo magnetico esterno con una frequenza angolare nota come pulsazione di Larmor:
:<math>\omega = -\gamma B</math>

==La precessione==
Il campo magnetico esercita un [[momento meccanico]], producendo un moto giroscopico (come una trottola). La frequenza della precessione si dice ''frequenza di Larmor'', e dipende dal campo di induzione magnetica <math>\mathbf B</math> e dal momento magnetico <math>\mathbf \mu = \gamma \mathbf L</math>. Essa equivale a:

:<math>\nu_L = -\frac{\gamma B}{2 \pi}</math>

Il momento meccanico <math>\mathbf M</math> cui è sottoposto un [[momento magnetico]] <math>\mathbf \mu</math> in un campo di induzione magnetica omogeneo <math>\mathbf B</math> è dato da:

:<math>\mathbf M = \mathbf \mu \times \mathbf B = \gamma \mathbf L \times \mathbf B = - \gamma \mathbf B \times \mathbf L </math>

poiché in generale si può scrivere il momento magnetico come il prodotto del [[momento angolare]] <math>\mathbf L</math> per il fattore giromagnetico <math>\gamma</math>:

:<math>\mathbf \mu = \gamma \mathbf L</math>

In base alla [[equazioni cardinali della dinamica#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] il momento meccanico si può scrivere come:

:<math>\mathbf M = \frac{d \mathbf L}{dt}</math>
avendo supposto la velocità del polo nulla (l'atomo è fermo). La [[derivata di un vettore]] a modulo costante, come il momento angolare in questo caso, è:

:<math>\mathbf M = \frac{d\mathbf L}{dt} = \mathbf {\omega}_L \times \mathbf L</math>

La velocità angolare <math>\mathbf \omega_L</math> a cui il momento magnetico precede attorno alla direzione del campo è:

:<math>\mathbf {\omega}_L =  - \gamma \mathbf B</math>

e la rispettiva frequenza di Larmor:

:<math>\nu_L = \frac{\omega_L}{2 \pi}=-\frac{\gamma B}{2 \pi}</math>

Considerando una particella di carica <math>e</math> di massa <math>m</math>, si ha:

:<math>\omega = \frac{egB}{2m}</math>

dove <math>g</math> è il [[fattore-g]] dell'oggetto considerato. Nel caso di un nucleo, esso tiene conto degli effetti dello [[spin]] dei nucleoni, del loro [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]] e dell'[[Composizione di momenti angolari (meccanica quantistica)|accoppiamento]] tra di essi.

===Precessione di Thomas===
{{vedi anche|Precessione di Thomas}}
Un trattamento completo del fenomeno deve includere gli effetti della precessione di Thomas, in seguito ai quali la precedente equazione acquista un termine aggiuntivo:

:<math>\omega_s = \frac{geB}{2mc} + (1-\gamma)\frac{eB}{mc\gamma}</math>

dove <math>\gamma</math> è il [[fattore di Lorentz]]. Per l'elettrone <math>g</math> è molto vicino a 2 (2.002..), e ponendo <math>g=2</math> si ha:

:<math>\omega_{s(g=2)} = \frac{eB}{mc\gamma}</math>

==Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi==
La precessione dello [[spin]] di un elettrone in un campo magnetico omogeneo è descritta dall'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi, detta talvolta ''equazione BMT'':<ref>V. Bargmann, [[Louis Michel|L. Michel]], and V. L. Telegdi, ''Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field'', Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).</ref>

:<math>\frac{dA^{\tau}}{ds} = \frac{e}{m} U^{\tau}U_{\sigma}F^{\sigma \lambda}A_{\lambda} 
+ 2\mu (F^{\tau \lambda} - U^{\tau} U_{\sigma} F^{\sigma \lambda})A_{\lambda}</math>

dove <math>A^{\tau}</math>, <math>e</math>, <math>m</math>, e <math>\mu</math> sono rispettivamente il [[quadrivettore]] di polarizzazione, carica, massa e momento magnetico, mentre <math>U^{\tau}</math> è la [[quadrivelocità]] dell'elettrone e <math>F^{\tau \sigma}</math> il [[tensore elettromagnetico]]. Inoltre:

:<math>A^{\tau}A_{\tau} = -U^{\tau}U_{\tau} = -1 \qquad U^{\tau} A_{\tau}=0</math>

Utilizzando l'[[equazione del moto]]:

:<math>m\frac{dU^{\tau}}{ds} = e F^{\tau \sigma}U_{\sigma}</math>

si può riscrivere il primo termine nel membro a destra dell'equazione BMT come:

:<math>(- U^{\tau}W^{\lambda} + U^{\lambda}W^{\tau})A_{\lambda}</math>

dove <math>W^{\tau} = dU^{\tau}/ds</math> è la [[quadriaccelerazione]]. Questo termine descrive il [[trasporto di Fermi-Walker]] e conduce alla [[precessione di Thomas]]. Il secondo termine è invece associato alla precessione di Larmor.

Quando un [[campo elettromagnetico]] è uniforme nello spazio, o quando si possono trascurare forze come il [[gradiente]] <math>\nabla({\boldsymbol\mu}\cdot{\boldsymbol B})</math>, il moto traslazionale della particella è descritto dalla relazione:

:<math>{dU^\alpha\over d\tau }={e\over m}F^{\alpha\beta}U_\beta</math>

L'equazione di Bargmann–Michel–Telegdi è allora riscritta nella forma:<ref name=def>{{Cita|Jackson|Pag. 563|Jackson}}.</ref>

:<math>{\;\,dS^\alpha\over d \tau}={e\over m}\bigg[{g\over2}F^{\alpha\beta}S_\beta+\left({g\over2}-1\right)U^\alpha\left(S_\lambda F^{\lambda\mu}U_\mu\right)\bigg]</math>
Se, invece, non potessimo trascurare quei termini di forza dati dal gradiente del campo, otterremmo:<ref name="def" />

:<math>{dS^{\alpha} \over d\tau}= {ge\over 2m} \bigg[F^{\alpha \beta}S_\beta + U^{\alpha} (S_\lambda F^{\lambda \mu}U_\mu) \bigg] - U^{\alpha}(S_\lambda {dU^{\lambda}\over d\tau })</math>

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
* {{Cita libro | isbn = 978-0-521-57572-0 | url = http://books.google.com/?id=1J2hzvX2Xh8C&pg=PA192&lpg=PA192&dq=Larmor's+Theorem | pagine = 192 | autore = Louis N. Hand and Janet D. Finch. | anno = 1998 | editore = Cambridge University Press | città = Cambridge, England | titolo = Analytical mechanics| lingua = en }}
* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}
* {{en}}M. Conte, [https://scholar.google.com/citations?user=mp7XSDAAAAAJ&hl=en R. Jagannathan] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170202181948/https://scholar.google.com/citations?user=mp7XSDAAAAAJ&hl=en |date=2 febbraio 2017 }}, [https://scholar.google.com/citations?user=hZvL5eYAAAAJ&hl S. A. Khan] and M. Pusterla, ''Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment'', Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preprint: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08)

==Voci correlate==
*[[Campo magnetico]]
*[[Diamagnetismo]]
*[[Dipolo magnetico]]
*[[Giroscopio]]
*[[Momento angolare]]
*[[Momento magnetico]]
*[[Polarizzazione magnetica]]
*[[Risonanza magnetica nucleare]]

==Collegamenti esterni==
* {{cita web|http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/larmor.html|Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency}}
* {{cita web|http://bio.groups.et.byu.net/LarmourFreqCal.phtml|Larmor Frequency Calculator}}

{{Portale|Chimica|elettromagnetismo}}

[[Categoria:Magnetismo]]
[[Categoria:Fisica nucleare]]
[[Categoria:Risonanza magnetica nucleare]]