Visualizza wikitesto di Precessione del perielio dell'orbita di Mercurio

{{F|argomento=fisica|data=settembre 2011}}

[[File:Perihelion precession.jpg|thumb|Precessione del perielio (fortemente esagerata).|353x353px]]Per '''precessione del perielio dell'orbita di Mercurio''' si intende la [[precessione]] (rotazione) del [[perielio]] (il punto più vicino al [[Sole]]) dell'orbita del pianeta [[Mercurio (astronomia)|Mercurio]].

Tra tutti i [[pianeta|pianeti]] del [[sistema solare]], [[Mercurio (astronomia)|Mercurio]] è quello che presenta la [[precessione del perielio]] più accentuata, essendo il più vicino al [[Sole]].
== Storia ==
[[File:Precessing Kepler orbit 280frames e0.6 smaller.gif|thumb| Animazione della precessione del perielio di Mercurio (animazione non in scala).|306x306px]]
Il fenomeno è previsto dalla [[Forza di gravità|teoria della gravitazione universale]] di [[Isaac Newton]], ma [[Urbain Le Verrier]], per primo, scoprì che questo pianeta avanza più velocemente di quello che prevede la teoria stessa: dalle osservazioni infatti è risultato che la [[longitudine]] del perielio, cioè la somma della [[longitudine del nodo ascendente]] e l'argomento del perielio, aumenta di 5600" ([[secondi d'arco]]) ogni secolo. Il dato previsto teoricamente tenendo conto dell'interazione con gli altri pianeti è invece di 5557"/secolo, con uno scarto di 43" circa.

Diverse soluzioni furono proposte per risolvere questo problema:
* [[Urbain Le Verrier|Le Verrier]] nel 1859<ref>Le Verrier U., ''Théorie de mouvement de Mercure'', Ann. Observ. imp., 1859, volume 5, pp. 1-96.</ref><ref>U. Le Verrier (1859), [https://archive.org/stream/comptesrendusheb49acad#page/378/mode/2up ''Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète''], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (Paris), vol. 49 (1859), pp. 379–383.</ref> propose l'esistenza di un ipotetico pianeta [[Vulcano (astronomia)|Vulcano]], la cui orbita sarebbe interna a quella di Mercurio. Le Verrier aveva applicato pochi anni prima lo stesso metodo ai pianeti esterni, "scoprendo" in modo sensazionale il pianeta [[Nettuno (astronomia)|Nettuno]] senza aver bisogno di vederlo.
* Un ipotetico satellite di Mercurio
* Massa del 10% maggiore per Venere
* Non sfericità del Sole (J2 gravitazionale)
* Modifiche della gravitazione universale: <math>F = G \frac{m m'}{d^{2 + \epsilon}}</math>

Nel [[1919]] [[Albert Einstein]] annunciò che la sua teoria della [[relatività generale]] prevedeva una precessione del perielio dei pianeti anche in assenza di interazione tra di essi (mentre la [[meccanica classica]] prevede in tal caso che l'orbita sia un'[[ellisse]] fissa e immutabile), e che l'entità di questa precessione per Mercurio corrispondeva allo scarto osservato.

== Soluzione di Einstein ==
[[File:Albert Einstein (Nobel).jpg|thumb|Einstein nel 1921.]]

In [[relatività generale]] è possibile dimostrare che, se la derivata del [[tensore metrico]] <math>g_{\mu\nu}</math> rispetto ad una coordinata <math>\alpha</math> è nulla (ovvero se la metrica è ciclica rispetto a tale coordinata), allora la derivata rispetto allo spazio proprio della quadrivelocità <math>u_\alpha</math> è nulla. Va sottolineato il fatto che il teorema vale solo per le componenti covarianti della quadrivelocità (i.e., la derivata di <math>u^\alpha</math> non è necessariamente nulla).

Fissando il moto nel piano <math>\theta=\pi/2</math>, la [[metrica di Schwarzschild]] non dipende né dal tempo né dall'angolo <math>\phi</math> e quindi esistono due integrali del moto, <math>u_0=\tilde E</math> e <math>u_3=\tilde L</math>. Infatti, l'invarianza temporale è associata a un'energia, mentre quella rotazionale a un [[momento angolare]].

In più, essendo <math>g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 1</math>, si può scrivere, alzando coerentemente gli indici, l'equazione

<math> \frac{\tilde E^2}{1-2GM/r}-\frac{\dot r^2}{1-2GM/r} - \frac{\tilde L^2}{r^2} = 1</math>

dove <math>\dot r</math> indica la derivata rispetto a <math>s</math>, e si è posto <math> c=1</math>.

Di qui si può ottenere un'equazione differenziale per <math>r(\phi)</math>, poiché sfruttando la [[regola di Leibniz]] <math>\dot r = -\tilde L^2/r^2 \mathrm{d}r/\mathrm{d}\phi</math>.

Eseguendo poi la sostituzione <math>u = 1/r</math>, in maniera analoga a quanto si è soliti fare per la soluzione del [[derivazione delle leggi di Keplero|problema di Keplero]], si ricava

:<math>\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\phi^2} + u = \frac{GM}{\tilde L^2}+3GMu^2</math>

da confrontare con l'equazione newtoniana

:<math>\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\phi^2} + u = \frac{GM}{\tilde L^2}</math>

L'incidenza del termine non lineare <math>3GMu^2</math> rispetto al potenziale classico <math>u</math> vale, reinserendo il valore di <math>c</math> e sostituendo a <math>M</math> la massa del Sole e a <math>r</math> il raggio dell'orbita di Mercurio, <math>3GM/c^2r \sim 10^{-7}</math>. 

Ciò significa che è possibile trattare tale termine perturbativamente.

La soluzione dell'equazione classica si scrive
:<math>r_N(\phi)=A\cos(\phi+\phi_0)+\frac{GM}{\tilde L^2}</math>
ovvero
:<math>u_N=\frac{GM}{\tilde L^2}(1+e\cos\phi)</math>
dove <math>e</math> è l'eccentricità dell'orbia ellittica.

Approssimando <math>3GMu^2=3GMu_N^2</math>, l'equazione relativistica diventa

:<math>\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\phi^2}+u=\frac{GM}{\tilde L^2}+\frac{3G^3M^3}{\tilde L^4}(1+2e\cos\phi)</math>

dove, valendo per Mercurio <math>e=0.206\ll 1</math>, si sono trascurati i termini in <math>e^2</math>.

Ancora, la costante <math>3G^3M^3/\tilde L^4 \ll GM/\tilde L^2</math> e quindi può essere anch'essa trascurata.

Rimane 

:<math>\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\phi^2}+u=\frac{GM}{\tilde L^2}+\frac{6G^3M^3}{\tilde L^4}e\cos\phi</math>

Una soluzione particolare a tale equazione è data da

:<math> u(\phi)=\frac{3G^3M^3}{\tilde L^4}\phi\sin\phi + \frac{GM}{\tilde L^2}</math>

per cui, considerando anche la soluzione dell'equazione omogenea associata si ricava

:<math> u(\phi)=\frac{GM}{\tilde L^2}\left(1+e\cos\phi+\frac{3eG^2M^2}{\tilde L^2}\phi\sin\phi\right)</math>

Tale soluzione può essere convenientemente riscritta come

:<math> u(\phi)=\frac{GM}{\tilde L^2}\left[1+e\cos\left(\phi\left(1-\frac{3G^2M^2}{\tilde L^2}\right)\right)\right]</math>

come si può verificare espandendo il [[coseno]] e sviluppando per <math>G^2M^2/\tilde L^2 \ll 1</math>.

A questo punto il perielio, ovvero il minimo per <math>r</math> corrisponde al massimo di <math>u</math>, e si ottiene quando il coseno vale 1, ovvero se l'argomento è pari a <math>2\phi k</math> per <math>k</math> intero. Quindi avremo

:<math> \phi_k = \frac{2k\pi}{1-3G^2M^2/\tilde L^2}\sim 2\pi k\left(1+\frac{3G^2M^2}{\tilde L^2}\right) </math>

I perielii, quindi, non si susseguono a distanze angolari di <math>2\pi</math>, ma sperimentano una ''precessione''.

In particolare (essendo <math>r_0=\tilde L^2/GM </math>)

:<math>\delta\phi = \frac{6\pi G^2 M^2}{\tilde L^2} = \frac{6\pi G M}{r_0} = \frac{6\pi G M}{c^2 r_0} = 0.1''</math>

Si ottiene quindi un valore di 0,1 secondi d'arco per ogni rivoluzione di Mercurio: considerando il fatto che l'anno di Mercurio dura 0,24 anni terrestri, in un secolo recuperiamo i famosi 43 secondi non previsti dalla teoria classica.

Come si può evincere dall'espressione della precessione, essa è inversamente proporzionale al semiasse dell'orbita del pianeta: ciò spiega poiché l'anomalia era apprezzabile ai tempi della formulazione della Relatività generale solo per Mercurio, che tra i pianeti del sistema solare è quello per cui il raggio dell'orbita è minimo.

La precessione del perielio di Mercurio viene perciò considerata la prima conferma sperimentale della teoria della relatività generale, anche se le spiegazioni alternative furono escluse completamente molti anni dopo.

== Metodo di calcolo ==
Definendo k, costante gaussiana di gravitazione, dalla equazione

<math> k^2 = \bar{n}^3 \bar{a}^2 </math>

dove <math> \bar{n} </math> è il [[moto medio]] in radianti su giorno solare medio di un corpo con massa trascurabile rispetto a quella del Sole e <math> \bar{a} </math> è semiasse maggiore in [[Unità astronomica]].
  
Dal 1938 si considera <math> k=0.01720209895 </math> e si definisce <math> A </math> raggio dell'orbita perfettamente circolare di un corpo intorno al Sole di massa trascurabile con tempo di rivoluzione <math> \frac{2\pi}{k} = 365.2568983 </math>. Possiamo quindi esprimere <math>GM_{Sole}</math> come:

<math> GM_{Sole} = k^{2}\frac{A^{3}}{D^{2}} </math>, dove <math> D </math> è il giorno solare medio, pari a circa 86400 secondi.

Tradizionalmente si riportano i semiassi maggiori delle orbite dei pianeti in relazione ad <math>A</math>, e nel caso di Mercurio abbiamo <math>\bar{a}=\frac{a}{A}=0.387099</math>, <math>e=0.205630</math> e <math>P=0.24085</math> anni (misure considerate costanti a meno di una parte su <math>10^{5}</math> negli ultimi anni)

Scriviamo la formula dell'avanzamento del perielio di Mercurio corretta dalla [[relatività generale]] utilizzando i precedenti simboli:

<math> \dot{\omega} = \frac{6\pi k^{2}}{PD^{2}\bar{a}(1-e^{2})} \frac{A^{2}}{c^{2}} </math>

La [[International Astronomical Union]] fornisce:

<math> A_{1976}=1.4959787 10^{11} m </math>

<math>c_{1976}=299792458 m s^{-1}</math>

e dunque <math> \dot{\omega} = 42.98 </math> [[Secondo d'arco|arc s]] su 100 anni.<ref name="ReferenceA">{{Cita pubblicazione
 | titolo=The real value of Mercury's perihelion advance
 | rivista=Scienze
 | anno=1986
 | pp=39-41
 }}</ref>

== Dal 1919 ad oggi ==
Dal 1919 ad oggi si registra molta confusione sul valore della precessione del perielio dell'orbita di Mercurio, poiché durante tutto il '900 sia <math>A</math> che la velocità della luce <math>c</math> sono state misurate con sempre maggiore precisione, influenzando il valore della precessione, e conseguentemente articoli e libri di testo<ref name="ReferenceA"/>.
Per avere la completa corrispondenza fra previsione e misura sperimentale bisogna arrivare alla fine degli anni '70, quando è stato anche escluso un significativo contributo alla precessione da parte della asfericità del Sole.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==

* Baum Richard and Sheehan William, ''In Search of Planet Vulcan: The Ghost in Newton's Clockwork Universe''. Plenum Trade, New York. 1997.
* Callahan James J., ''The Geometry of Spacetime: An Introduction to Special and General Relativity''. Springer, New York. 1991.
* Freundlich Erwin, ''The Foundations of Einstein's Theory of Gravitation''. Translated from German by Henry L. Brose. Cambridge University Press, Cambridge. 1920.
* Price Michael P., Rush William F., ''Non relativistic contribution to Mercury's perihelion''. American Journal of Physics 47(6). 531-534. June 1979.
* Lorents H. A., Einstein A., Minkowski H., Weyl H., ''The principle of relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity''. contained ”The foundation of general relativity,” by A. Einstein. Dover, New York. 1952.
* Roseveare N. T., ''Mercury's Perihelion from Leverriere to Einstein''. Caledon Press, Oxford. 1982.
* Stephani Hans, ''General Relativity: An introduction to the theory of the gravitational field''. Cambridge University Press, Cambridge. 1996.

== Collegamenti esterni ==
* {{Cita web|url=http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula13/node2.html|titolo=Precessão do periélio de Mercúrio|sito=plato.if.usp.br|lingua=pt|accesso=24 giugno 2017|dataarchivio=23 settembre 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170923203544/http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula13/node2.html|urlmorto=sì}}
* {{Cita web|url=http://www.mathpages.com/rr/s6-02/6-02.htm |titolo=Anomalous Precessions |autore=Kevin Brown
   |sito=Reflections on Relativity |lingua=en |accesso=14 giugno 2014}}
* {{Cita web|url=http://www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Pollock.pdf |titolo=Mercury’s Perihelion
   |autore=Chris Pollock|sito=math.toronto.edu |data=marzo 2003 |lingua=en |accesso=14 giugno 2014 }}

{{Portale|astronomia|relatività}}

[[Categoria:Mercurio]]
[[Categoria:Relatività generale]]