Visualizza wikitesto di Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche

I '''polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche''' sono [[polinomi]] in una variabile che dipendono sia dalla particolare [[progressione aritmetica]] costituente la base delle potenze sommate sia dall’esponente costante, intero non negativo, scelto. Il loro grado supera sempre di un'unità l'esponente costante e hanno la proprietà che quando la variabile polinomiale coincide con il numero degli addendi sommati, anche il risultato della funzione polinomiale coincide con quello della somma.

Il problema consiste quindi nel trovare <math>S_{h,d}^m(n)</math> cioè polinomi in funzione di <math>n</math> calcolanti somme di <math>n</math> addendi:

:<math>\sum_{k=0}^{n-1}(h+kd)^m = h^m + (h+d)^m + \cdots + (h+(n-1)d)^m,</math>

con <math>m</math><ref><math>m=0</math> è ammissibile solo quando non si calcola <math>0^0 </math>oppure se si considera in questo contesto <math> 0^0=1</math></ref> e <math>n</math> [[numero intero|numeri interi]] positivi, <math>h</math> primo termine di una [[progressione aritmetica]] e <math>d \ne 0</math> ragione della stessa. I due parametri possono essere non solo interi ma anche [[Numero razionale|razionali]], [[Numero reale|reali]] e perfino [[Numero complesso|complessi]].

== Storia ==
=== Periodo antico ===
La storia del problema inizia nell'antichità e coincide con quella di alcuni suoi casi particolari. Il caso <math>m=1,</math> coincide con quello del calcolo della serie aritmetica, la somma dei primi <math>n</math> valori di una [[progressione aritmetica]]. Questo problema è piuttosto semplice ma è storicamente interessante il caso conosciuto già dalla [[scuola pitagorica]] per il suo legame con i [[numeri triangolari]]:

:<math>1+2+3+\ldots+n=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n, \qquad</math> polinomio <math>S_{1,1}^1(n)</math> calcolante la somma dei primi <math>n</math> [[Numero naturale|numeri naturali]].
Un altro caso ben conosciuto è:
:<math>1+3+5+\ldots+2n-1=n^2, \qquad</math> polinomio <math>S_{1,2}^1(n)</math> calcolante la somma dei primi <math>n</math> dispari successivi formanti un quadrato. Una proprietà probabilmente ben conosciuta dagli stessi pitagorici che, nel costruire i loro [[numeri figurati]], dovevano aggiungere ogni volta uno [[gnomone]] costituito da un [[numero dispari]] di unità per ottenere il successivo [[quadrato perfetto]]<ref>{{cita libro| autore= Euclide|altri=Commento di Attilio Frajese|capitolo= Libro II proposizione 4| titolo=Elementi|url=|p=163 nota 3|anno=1974|editore=UTET}}</ref>.

Per <math>m>1,</math> i primi casi che si incontrano nella [[storia della matematica]] sono:
:<math>1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n, \qquad</math> polinomio <math>S_{1,1}^2(n)</math> calcolante la somma dei quadrati degli interi successivi. Proprietà che troviamo dimostrata in Spirali, un'opera di [[Archimede]]<ref>{{cita libro|altri=a cura di Attilio Frajese|autore=| capitolo=Spirali, proposizione 10|titolo=Opere di Archimede|p=335|editore=UTET|anno=1974|oclc=859673028}}</ref>.

:<math>1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2, \qquad</math> polinomio <math>S_{1,1}^3(n)</math> calcolante la somma dei cubi degli interi successivi. [[Corollario]] di un [[teorema]] dimostrato da [[Teorema di Nicomaco|Nicomaco di Gerasa]]<ref name=Beery>{{cita web|lingua=en|autore=Janet Beery| titolo=Sum of powers of positive integers|url=https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/sums-of-powers-of-positive-integers-introduction|sito=MMA Mathematical Association of America|doi=10.4169/loci003284}}</ref>.

L'insieme <math>S_{1,1}^m(n)</math> dei casi, a cui appartengono i due polinomi precedenti, costituisce il problema classico della [[somma di potenze di interi successivi]].

=== Periodo medio ===
Nel tempo molti altri matematici si interessarono al problema e diedero contributi vari alla sua risoluzione. Tra questi ricordiamo [[Aryabhata]], [[Al-Karaji]], [[Alhazen]], [[Thomas Harriot]], [[Johann Faulhaber]], [[Pierre de Fermat]] e [[Blaise Pascal]], il quale risolse ricorsivamente il problema della somma di potenze di interi successivi considerando un'identità che permetteva di ottenere un polinomio di grado <math>m+1</math> conoscendo già quelli precedenti<ref name=Beery/>.

Nel 1713 la famiglia di [[Jakob Bernoulli]] pubblica postuma l'opera ''Artis Conjectandi''<ref>{{cita |Bernoulli 1713}}.</ref> dove compaiono i primi 10 polinomi di questa serie infinita insieme a una formula generale dipendente da particolari numeri che furono presto a lui intitolati. La formula invece fu attribuita a Johann Faulhaber<ref>{{cita |Faulhaber 1631}}.</ref> per i suoi meritevoli contributi riconosciuti dallo stesso Bernoulli. Fu subito chiaro anche che i polinomi <math>S_{0,1}^m(n) </math> calcolanti la somma di <math>n</math> potenze di interi successivi inizianti da zero erano molto simili a quelli inizianti da uno. Questo poiché risulta evidente che <math>S_{1,1}^m(n)-S_{0,1}^m(n)=n^m</math> e che quindi i polinomi di grado <math>m+1</math> della forma <math>\frac{1}{m+1}n^{m+1}+\frac{1}{2}n^m+\ldots</math><ref>{{cita |Bernoulli 1713|pag.97}}.</ref> sottratto il monomio differenza <math>n^m</math> diventano <math>\frac{1}{m+1}n^{m+1}-\frac{1}{2}n^m+\ldots</math>.

Mancava però una dimostrazione della formula di Faulhaber che fu data più di un secolo dopo da [[Carl Jacobi]]<ref>{{cita |Jacobi 1834|}}.</ref> che si giovò dei progressi dell'analisi matematica utilizzando lo sviluppo in serie infinita di una funzioni esponenziale generatrice dei [[numeri di Bernoulli]].

=== Periodo moderno ===
Nel 1982 [[Anthony William Fairbank Edwards]] pubblicò un articolo<ref>{{cita pubblicazione| autore= A.W.F. Edwards| titolo=The matematical Gazette vol.66 N.435| capitolo=Sums of powers of integers: A little of the History|anno=1982|}}</ref> in cui mostra che l'identità di Pascal può essere espressa mediante [[Matrice triangolare|matrici triangolari]] contenenti il [[triangolo di Tartaglia]] privato dell'ultimo elemento di ogni riga:

:<math>\begin{pmatrix}
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
n^5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0\\
1&2&0 &0 &0 \\
1&3&3&0 &0 \\
1&4&6&4 &0 \\
1&5&10&10&5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n\\
\sum_{k=0}^{n-1} k^1\\
\sum_{k=0}^{n-1} k^2\\
\sum_{k=0}^{n-1} k^3\\
\sum_{k=0}^{n-1} k^4\\
\end{pmatrix}.</math><ref>Il primo elemento del vettore delle somme è <math>n</math> e non <math>\sum_{k=0}^{n-1} k^0</math> per via del primo addendo, la forma indeterminata <math>0^0</math>, a cui altrimenti si dovrebbe assegnare valore 1</ref><ref name=Edwards>{{cita |Edwards 1987|p. 84}}.</ref>

L'esempio è limitato dalla scelta di una matrice del quinto ordine ma è facilmente estendibile a ordini superiori. L'equazione può scriversi come: <math>\vec{N}=A\vec{S}</math> e moltiplicando a sinistra i due membri dell'equazione per <math>A^{-1}</math>, inversa della matrice <math>A,</math> si ottiene <math>A^{-1}\vec{N}=\vec{S} </math> che permette di arrivare direttamente ai coefficienti polinomiali senza utilizzare direttamente i numeri di Bernoulli. Altri autori dopo Edwards si occupano di vari aspetti del problema della somma di potenze percorrono la via matriciale<ref>{{cita pubblicazione| autore=Dan Kalman| titolo=Sums of Powers by matrix method| url=https://www.semanticscholar.org/paper/SUMS-OF-POWERS-BY-MATRIX-METHODS-Kalman/f17f4a0142056c549dcf2d4b69ecfbbab2f7546a|editore=Semantic scholar|anno=1988}}</ref> e studiano aspetti del problema introducendo nei loro articoli utili strumenti come il vettore di Vandermonde<ref>{{cita pubblicazione| autore=Gottfried Helmes| titolo=Accessing Bernoulli-Numbers by Matrix-Operations| url=https://www.uni-kassel.de/fg_pur/helms/math/bernoulli/bernoulli_en.pdf|sito=Uni-Kassel.de|anno=2006}}</ref>. Altri ricercatori continuano a esplorare attraverso la tradizionale via analitica<ref>{{cita pubblicazione|autore= F.T Howard| titolo=Sums of powers of integers via generating functions|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.376.4044&rep=rep1&type=pdf|anno=1994}}</ref> e generalizzano il problema della somma di interi successivi a una qualsiasi progressione geometrica<ref>{{cita pubblicazione| autore= Wolfdieter Lang | titolo=On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers| url=https://arxiv.org/pdf/1707.04451.pdf}}</ref>. Si trovano i coefficienti dei polinomi <math>S^m_{h,d}</math>attraverso formule ricorsive e in altri modi che risultano interessanti per la [[teoria dei numeri]] come l'espressione del risultato della somma in funzione di [[polinomi di Bernoulli]] o le formule coinvolgenti i [[numeri di Stirling]] e i numeri r-Whitney di primo e di secondo tipo<ref name=Bazso>{{cita|Bazso-Meso 2015}}.</ref> Infine, anche l'approccio matriciale di Edwards è stato generalizzato a progressioni aritmetiche qualsiasi<ref name=Archimede/>.

== Soluzione per via matriciale ==
Il problema generale è stato risolto recentemente<ref>{{cita |Pietrocola 2021|Una nuova soluzione pp.203-206}}.</ref> mediante l'uso di [[matrici binomiali]] facilmente costruibili conoscendo i [[coefficienti binomiali]] e il [[triangolo di Tartaglia]]. Si dimostra che, scelti i parametri <math>h</math> e <math>d</math> che determinano la progressione aritmetica e un numero intero positivo <math>m,</math> si trovano <math>m+1</math> polinomi corrispondenti alle seguenti somme di potenze:

:<math>S_{h,d}^{r-1}=c_1n+c_2n^2+\ldots+c_{r}n^{r},\qquad \text{con }r=1,2,\ldots,m+1,</math>

con i coefficienti polinomiali elementi della riga <math>r</math> della matrice triangolare <math>G(h,d)=T(h,d)A^{-1}</math> di ordine <math>m+1</math>.

Ecco la formula risolvente nel caso particolare <math>m=3</math> che dà i polinomi di una data progressione aritmetica con esponenti da 0 a 3:

:<math>
\begin{pmatrix} 
S_{h,d}^0(n)\\
S_{h,d}^1(n)\\
S_{h,d}^2(n)\\
S_{h,d}^3(n)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1& 0& 0& 0\\
h& d& 0& 0\\
h^2& 2hd& d^2& 0\\
h^3& 3h^2d& 3hd^2& d^3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
1& 0& 0& 0\\
1& 2& 0& 0\\
1& 3& 3& 0\\
1& 4& 6& 4
\end{pmatrix}^{-1} 
\begin{pmatrix} 
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4
\end{pmatrix}</math>

L'equazione facilmente estendibile a diversi valori di <math>m</math> (interi non negativi) viene sintetizzata e generalizzata così:

:<math>\vec{S}_{h,d}(n)=T(h,d)A^{-1}n\vec{V}(n)</math> o anche ponendo con <math> G(h,d)=T(h,d)A^{-1}</math>
:<math>\vec{S}_{h,d}(n)=G(h,d)n\vec{V}(n).</math><ref name=Archimede>{{cita |Pietrocola 2021}}.</ref>

Ecco la definizione rigorosa delle matrici e del vettore di Vandermonde:

:<math>[A]_{r,c}=\begin{cases} 0, &\text{se }c>r, \\
\binom{r}{c-1}, &\text{se }c\leq r,\end{cases}\qquad [T(h,d)]_{r,c}= \begin{cases}0, &\text{se } c>r, \\
\binom{r-1}{c-1}h^{r-c}d^{c-1}&\text{se } c\leq r.\end{cases}\qquad [\vec{V}(n)]_r= \begin{cases}1, &\text{se } r=1, \\
n^{r-1}&\text{se } r> 1.\end{cases}</math>

Per <math>m=3</math> risulta quindi

:<math>n\vec{V}(n)=n\begin{pmatrix} 
1\\
n\\
n^2\\
n^3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
\end{pmatrix}</math>

e anche:

:<math>\vec{S}_{h,d}(n)=\begin{pmatrix} S_{h,d}^0(n)\\
S_{h,d}^1(n)\\
S_{h,d}^2(n)\\
S_{h,d}^3(n)\\
\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n-1}\vec{V}(h+kd).</math>

La matrice <math>A</math> è quella di Edwards<ref name=Edwards/> già vista, una matrice triangolare inferiore che riproduce, negli elementi non nulli, il triangolo di Tartaglia privato dell'ultimo elemento di ogni riga. Gli elementi di <math>T(h,d)</math> invece sono i monomi dello sviluppo della potenza <math>(h+d)^{r-1},</math> per <math>r=1,\ldots,m+1.</math>

<math>T(0,1)</math> è l'elemento neutro del prodotto righe per colonne per cui l'equazione generale in questo caso diventa:

:<math>\vec{S}_{0,1}(n)=A^{-1}n\vec{V}(n),</math>

cioè quella scoperta da Edwards<ref name=Edwards/>

Per arrivare da questo caso particolare a dimostrare quello generale basta moltiplicare a sinistra i due membri dell'equazione per la matrice <math>T(h,d)</math> dopo aver constatato la seguente identità <math>T(h,d)\vec{V}(n)=V(h+dn).</math><ref name=Archimede/>

=== Somma di potenze di dispari successivi ===
Utilizziamo la formula precedente per risolvere il problema della somma di potenze di dispari successivi. I dispari corrispondono alla progressione aritmetica con primo elemento <math>h=1</math>
e come ragione <math>d=2.</math> Fissiamo m=4 per trovare i primi cinque polinomi calcolanti somme di potenze di dispari. Calcolato <math>T(1,2)</math> otteniamo:

:<math>T(1,2)=\begin{pmatrix} 
1& 0& 0& 0& 0\\
1& 2& 0& 0& 0 \\
1& 4& 4& 0& 0\\
1& 6& 12& 8& 0 \\
1& 8& 24& 32& 16 \\
\end{pmatrix},
\quad
A=\begin{pmatrix}
1& 0& 0& 0& 0\\
1& 2& 0& 0& 0\\
1& 3& 3& 0& 0\\
1& 4& 6& 4& 0\\
1& 5& 10& 10& 5 \\
\end{pmatrix},
\quad
A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 &0 &0  \\
\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3} &0 &0\\
0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &0\\
-\frac{1}{30}&0&\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{5}\\
\end{pmatrix}</math>

Abbiamo quindi

:<math>G(1,2)=T(1,2)A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0\\
0&1&0 &0 &0 \\
-\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3} &0 &0 \\
0&-1&0&2 &0 \\
\frac{7}{15}&0&-\frac{8}{3}&0&\frac{16}{5}
\end{pmatrix}.</math>

A questo punto l'equazione generale <math>\vec{S}_{1,2}(n)=G(1,2)n\vec{V}(n)</math> per <math>m=4</math> e il prodotto svolto danno:

:<math>\begin{pmatrix}
S_{1,2}^0\\
S_{1,2}^1\\
S_{1,2}^2\\
S_{1,2}^3\\
S_{1,2}^4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\sum_{k=0}^{n-1} (1+2k)^0\\
\sum_{k=0}^{n-1} (1+2k)^1\\
\sum_{k=0}^{n-1} (1+2k)^2\\
\sum_{k=0}^{n-1} (1+2k)^3\\
\sum_{k=0}^{n-1} (1+2k)^4\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0\\
0&1&0 &0 &0 \\
-\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3} &0 &0 \\
0&-1&0&2 &0 \\
\frac{7}{15}&0&-\frac{8}{3}&0&\frac{16}{5}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
n^5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
n\\
n^2\\
-\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}n^3\\
-n^2+2n^4\\
\frac{7}{15}n-\frac{8}{3}n^3+\frac{16}{5}n^5\\
\end{pmatrix}.</math>

utilizzando l'ultima riga (<math>r=5</math>) si ottiene quindi

:<math>S_{1,2}^4=\frac{7}{15}n-\frac{8}{3}n^3+\frac{16}{5}n^5</math>

e utilizzando le altre righe:

:<math>S_{1,2}^3=-n^2+2n^4;\quad S_{1,2}^2=-\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}n^3;\quad S_{1,2}^1=n^2;\quad</math> <math>S_{1,2}^0=n.</math>
=== Somma di interi successivi inizianti da 1 ===
Scelto <math>m=3</math> e calcolato <math>A^{-1} </math> e <math>T(1,1)</math> che corrisponde al triangolo di Tartaglia:

:<math>\begin{pmatrix} 
S_{1,1}^0(n)\\
S_{1,1}^1(n)\\
S_{1,1}^2(n)\\
S_{1,1}^3(n)\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0 &0 \\
+\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 &0  \\
\frac{1}{6}&+\frac{1}{2}&\frac{1}{3} &0\\
0&\frac{1}{4}&+\frac{1}{2}&\frac{1}{4} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
n\\
+\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n^2\\
\frac{1}{6}n+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n^3\\
\frac{1}{4}n^2+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^4 
\end{pmatrix}.</math>

=== Somma di interi successivi inizianti da 0 ===
Scelto <math>m=3</math> e calcolato <math>A^{-1} </math> e <math>T(0,1)</math> matrice unità:

:<math>\begin{pmatrix} 
S_{0,1}^0(n)\\
S_{0,1}^1(n)\\
S_{0,1}^2(n)\\
S_{0,1}^3(n)\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0 &0 \\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 &0  \\
\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3} &0\\
0&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{4} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
n\\
-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n^2\\
\frac{1}{6}n-\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n^3\\
\frac{1}{4}n^2-\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^4 
\end{pmatrix}.</math>

=== Progressione -1,3,7,11,15... ===
Scelto ancora <math>m=3</math>, calcolato <math>T(-1,4)</math>, sfruttato il risultato del paragrafo precedente e la proprietà associativa:

:<math>
\begin{pmatrix} 
S_{-1,4}^0(n)\\
S_{-1,4}^1(n)\\
S_{-1,4}^2(n)\\
S_{-1,4}^3(n)\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
1 &0 &0 &0 \\
-1&4&0 &0  \\
1&-8&16 &0\\
-1&12&-48&64 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
n\\
-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}n^2\\
\frac{1}{6}n-\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n^3\\
\frac{1}{4}n^2-\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^4 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
n\\
-3n+2n^2\\
\frac{23}{3}n-12n^2+\frac{16}{3}n^3\\
-15n+46n^2-48n^3+64n^4 
\end{pmatrix}.</math>

== Generalizzazione della formula di Faulhaber ==
La matrice <math>G(h,d)</math> può essere espressa in funzione dei [[polinomi di Bernoulli]] nel seguente modo<ref>{{cita pubblicazione| autore=Giorgio Pietrocola| capitolo=Matrici binomiali per insiemi di polinomi calcolanti somme di potenze con basi in p. a.| titolo=[[MatematicaMente (rivista)|MatematicaMente]]|numero=298,299|url=http://www.mathesis.verona.it/index.php/matematicamente/archivio-matematicamente|editore=Mathesis |città=Verona|anno=2022|
ISSN=2037-6367}} </ref>:

:<math>[G(h,d)]_{r,c}=\begin{cases} 0, &\text{se }c>r, \\
\frac{d^{r-1}}{r}\binom{r}{c}B_{r-c}(\frac{h}{d}), &\text{se }c\leq r,\end{cases}</math>

che per <math>m=5</math> diventa:

:<math>G(h,d)=\begin{pmatrix} 
\frac{1}{1}\binom{1}{1}B_0(\frac{h}{d})& 0& 0& 0& 0& 0\\
\frac{d}{2}\binom{2}{1}B_1(\frac{h}{d})& \frac{d}{3}\binom{2}{2}B_0(\frac{h}{d})& 0& 0& 0& 0\\
\frac{d^2}{3}\binom{3}{1}B_2(\frac{h}{d})& \frac{d^2}{3}\binom{3}{2}B_1(\frac{h}{d})& \frac{d^2}{3}\binom{3}{3}B_0(\frac{h}{d})& 0& 0& 0\\
\frac{d^3}{4}\binom{4}{1}B_3(\frac{h}{d})& \frac{d^3}{4}\binom{4}{2}B_2(\frac{h}{d})& \frac{d^3}{4}\binom{4}{3}B_1(\frac{h}{d})& \frac{d^3}{4}\binom{4}{4}B_0(\frac{h}{d})& 0& 0\\
\frac{d^4}{5}\binom{5}{1}B_4(\frac{h}{d})& \frac{d^4}{5}\binom{5}{2}B_3(\frac{h}{d})& \frac{d^4}{5}\binom{5}{3}B_2(\frac{h}{d})& \frac{d^4}{5}\binom{5}{4}B_1(\frac{h}{d})& \frac{d^4}{5}\binom{5}{5}B_0(\frac{h}{d})& 0\\
\frac{d^5}{6}\binom{6}{1}B_5(\frac{h}{d})& \frac{d^5}{6}\binom{6}{2}B_4(\frac{h}{d})&\frac{d^5}{6}\binom{6}{3}B_3(\frac{h}{d})& \frac{d^5}{6}\binom{6}{4}B_2(\frac{h}{d})&\frac{d^5}{6}\binom{6}{5}B_1(\frac{h}{d})& \frac{d^5}{6}\binom{6}{6}B_0(\frac{h}{d})\\
\end{pmatrix},</math>

da cui si trae la formula di Faulhaber generalizzata:

:<math>S_{h,d}^{r-1}(n)=\frac{d^{r-1}}{r}\sum_{k=1}^{r}\binom{r}{k}B_{r-k}\left(\frac{h}{d}\right)n^{k}</math>

e anche i noti casi particolari

:<math>S_{0,1}^{r-1}(n)=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}\binom{r}{k}B_{r-k}(0)n^{k};</math>
:<math>S_{1,1}^{r-1}(n)=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}\binom{r}{k}B_{r-k}(1)n^{k}.</math>

dove i [[polinomi di Bernoulli]] calcolati in 0 sono i [[numeri di Bernoulli]] e quelli calcolati in 1 sono la sua variante con <math>B_1</math> cambiato di segno<ref>{{cita testo|titolo=A164555, Sequenza dei numeratori nella variante dei numeri di Bernoulli con <math>B_1=\frac{1}{2}</math>|sito=OEIS Enciclopedia delle sequenze dei numeri interi|url=}}</ref>.

Se poi non interessano direttamente i coefficienti dei polinomi calcolanti ma solo il risultato della somma di potenze si può applicare a quest'ultima equazione la proprietà di [[Polinomio di Bernoulli#Traslazioni|traslazione dei polinomi di Bernoulli]] per cui risulta

:<math>B_m\left(\frac{h}{d}+n\right)=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}B_{m-k}\left(\frac{h}{d}\right)n^{k}</math>

e ottenere una forma più semplice:

:<math>S_{h,d}^{r-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(h+dk)^{r-1}=\frac{d^{r-1}}{r}\bigg(B_r\left(\frac{h}{d}+n\right)-B_{r}\left(\frac{h}{d}\right)\bigg)</math>

assai diffusa, a differenza dell'altra, in letteratura<ref name=Bazso/>.

Da cui anche i due casi particolari:
:<math>S_{0,1}^{r-1}=\sum_{k=0}^{n-1}k^{r-1}=\frac{1}{r}\bigg(B_r\left(n\right)-B_{r}\left(0\right)\bigg)=\frac{B_r(n)-B_r}{r}</math>
:<math>S_{1,1}^{r-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(1+k)^{r-1}=\sum_{k=1}^{n}k^{r-1}=\frac{1}{r}\bigg(B_r\left(1+n\right)-B_{r}\left(1\right)\bigg)=\frac{B_r(n+1)-B_r^+}{r}</math>

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro |autore=Johann Faulhaber|titolo=Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters ''continuirt'' und ''profitiert'' werden |url=https://books.google.it/books?id=0pw_AAAAcAAJ&redir_esc=y|editore= Google books|anno=1631|cid=Faulhaber 1631}}
*{{cita libro| autore= Jacob Bernoulli|capitolo= Summae potestatum| titolo=Artis conjectandi|url=https://archive.org/stream/bub_gb_kz9nvk99EWoC#page/n139/mode/2up|p=97|anno=1713|editore=Internet Archive|cid=Bernoulli 1713}}
*{{Cita pubblicazione | autore=Carl Jacobi| anno=1834| capitolo=De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae| titolo=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]| volume=12 | pp =263-272|cid=Jacobi 1834}}
*{{cita libro| lingua=en|autore= A.W.F. Edwards| titolo=Pascal's Arithmetical Triangle: The Story of a Mathematical Idea|p=84|editore=Charles Griffin & C.|anno=1987|cid=Edwards 1987|ISBN=0-8018-6946-3}}
*{{cita pubblicazione|autore1= András Bazsó|autore2=István Mező|capitolo=On the coefficients of power sums of arithmetic progressions| url= https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.01.019| titolo=Journal of Number Theory| volume= 153| pp= 117-123|anno=2015|cid=Bazso-Meso 2015}} 
* {{cita pubblicazione|nome=Giorgio|cognome=Pietrocola|url=https://maddmaths.simai.eu/didattica/archimede-4-2021/| titolo=Matrici binomiali per insiemi di polinomi calcolanti somme di potenze|editore=Le Monnier|rivista=[[Archimede (rivista)|Archimede]]|anno=2021|mese=ottobre/dicembre|pp=202-216|cid=Pietrocola 2021|ISSN=0390-5543}}

== Voci correlate ==
* [[Progressioni aritmetiche]]
* [[Somma di potenze di interi successivi]]
* [[Triangolo di Tartaglia]]
* [[Polinomi di Bernoulli]]
* [[Matrici binomiali]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Polinomi speciali]]