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{{Titolo errato|titolo=Out(F<sub>n</sub>)}}

In [[matematica]], '''Out(F<sub>n</sub>)''' è il [[Gruppo (matematica)|gruppo]] degli [[Automorfismo esterno|automorfismi esterni]] di un [[gruppo libero]] su ''n'' [[Insieme di generatori|generatori]]. Questi gruppi svolgono un ruolo importante nella [[teoria geometrica dei gruppi]].

== Spazio esterno ==
Out(F<sub>n</sub>) [[Azione di gruppo|agisce geometricamente]] su un [[complesso di celle]] noto come [[spazio esterno di Culler-Vogtmann]], che può essere definito come lo [[spazio di Teichmüller]] per una [[Rosa (topologia)|rosa]].

=== Definizione ===
Un punto dello spazio esterno è essenzialmente un <math>\R</math>-[[grafo]] <math>X</math>[[Omotopia|omotopicamente]] equivalente ad una rosa di ''n'' cerchi unitamente ad una classe scelta libera, omotopicamente equivalente da <math>X</math> alla rosa di ''n'' cerchi. Un <math>\R</math>-grafo è solo un grafo ponderato con pesi in <math>\R</math>. La somma di tutti i pesi dovrebbe essere 1 e tutti i pesi dovrebbero essere positivi. Per evitare ambiguità (e per ottenere uno spazio di dimensione finita) è inoltre richiesto che la valenza di ciascun vertice sia almeno 3.

Una definizione più descrittiva che evita l'equivalenza dell'omotopia <math>f</math> è la seguente.

Possiamo fissare un'identificazione del [[gruppo fondamentale]] di una rosa di ''n'' cerchi con il [[gruppo libero]] <math>F_n</math> in <math>n</math> variabili. Inoltre, possiamo scegliere un [[Albero ricoprente|albero massimale]] in <math>X</math> e una direzione per ogni arco rimanente. Assegneremo ora a ciascun bordo rimanente <math>e</math> una stringa in <math>F_n</math> nel seguente modo. Consideriamo il cammino chiuso che inizia con <math>e</math> e poi ritorna all'origine di <math>e</math> nell'albero massimale. Componendo questo cammino con <math>f</math> otteniamo un cammino chiuso in una rosa di ''n'' cerchi e quindi un elemento del suo gruppo fondamentale <math>F_n</math>. Questo elemento non è ben definito; se sostituiamo <math>f</math> con un'omotopia libera otteniamo un altro elemento. Si scopre che questi due elementi sono [[Glossario di teoria dei gruppi#Coniugazione|coniugati]] tra loro, e quindi possiamo scegliere l'unico elemento [[Gruppo libero|ciclicamente ridotto]] in questa [[classe di coniugio]]. Da questi dati è possibile ricostruire il tipo di omotopia libera di <math>f</math>. Questa versione ha il vantaggio di evitare la scelta extra di <math>f</math> e ha lo svantaggio di creare ulteriore ambiguità, perché bisogna scegliere un albero massimale e un orientamento degli archi rimanenti.

L'operazione di Out(''F<sub>n</sub>'') sullo spazio esterno è definita come segue. Ogni automorfismo <math>g</math> di <math>F_n</math> induce un'equivalenza automotopica <math>g'</math> della rosa di ''n'' cerchi. Comporre <math>f</math> con ''<math>g'</math>'' dà l'azione desiderata. E nell'altro modello si tratta semplicemente dell'applicazione di ''<math>g</math>'' e della riduzione ciclica della [[Parola (teoria dei gruppi)|parola]] risultante.

=== Collegamento alle funzioni di lunghezza ===

Ciascun punto nello spazio esterno determina un'unica funzione di lunghezza <math>l_X \colon F_n \to \R </math>. Una parola in <math>F_n</math> determina tramite l'equivalenza di omotopia scelta un cammino chiuso in <math>X</math>. La lunghezza della parola è quindi la lunghezza minima di un cammino nella classe di omotopia libera di quel cammino chiuso. Tale funzione di lunghezza è costante su ciascuna classe di coniugio.

L'assegnazione <math>X \mapsto l_X</math> definisce un inserimento dello spazio esterno in uno [[spazio proiettivo]] di dimensione infinita.
=== Struttura simpliciale sullo spazio esterno ===
Nel secondo modello tutti questi hanno un [[simplesso]] aperto, dato da tutti quei <math>\R</math>-grafi che hanno contemporaneamente lo stesso grafo sottostante e gli stessi spigoli sono rappresentati con le stesse parole (solo la lunghezza dei collegamenti/spigoli può differire). Il [[complesso simpliciale]] di tale simplesso è costituito da tutti i grafi che derivano da questo grafo collassando uno spigolo. Se quello spigolo è un anello non può essere collassato senza cambiare il tipo di omotopia del grafo, per cui non esiste un simplesso al confine. Quindi si può equiparare lo spazio esterno ad un complesso simpliciale con alcuni simplessi rimossi. È facile verificare che l'azione di <math>\mathrm{Out}(F_n)</math> è semplice e ha gruppi [[Isotropia|isotropi]] finiti.

== Struttura ==
La mappa dell’[[Sottogruppo derivato|abelianizzazione]] <math>F_n \to \Z^n</math> induce un [[omomorfismo]] da <math>\mathrm{Out}(F_n)</math> al [[Gruppo generale lineare|gruppo lineare generale]] <math>\mathrm{GL}(n,\Z)</math>, quest'ultimo essendo il gruppo degli automorfismi di <math>\Z^n</math>. Questa mappa diventa, creando <math>\mathrm{Out}(F_n)</math> un'estensione di gruppo,

: <math>1\to \mathrm{Tor}(F_n) \to \mathrm{Out}(F_n) \to \mathrm{GL}(n,\Z)\to 1</math> .

Il nucleo <math>\mathrm{Tor}(F_n)</math> è il [[Mapping class group|gruppo Torelli]] di <math>F_n</math>.

Nel caso <math>n= 2</math>, la mappa <math>\mathrm{Out}(F_n) \to \mathrm{GL}(n,\Z)</math> è un [[isomorfismo]].

== Analogia con i mapping class group ==
Siccome <math>F_n</math> è il [[gruppo fondamentale]] di una [[Rosa (topologia)|rosa]] di n cerchi, <math>\mathrm{Out}(F_n)</math> può essere descritto topologicamente come il [[mapping class group]] di una rosa di ''n'' cerchi (nella categoria dell'omotopia), in analogia al mapping class group di una [[superficie chiusa]] che è isomorfa al gruppo di automorfismo esterno del gruppo fondamentale di quella superficie.

== Bibliografia ==

* {{Cita pubblicazione|nome=Marc|cognome=Culler|nome2=Karen|cognome2=Vogtmann|data=1986-02|titolo=Moduli of graphs and automorphisms of free groups|rivista=Inventiones Mathematicae|volume=84|numero=1|pp=91-119|lingua=en|accesso=2024-03-02|doi=10.1007/BF01388734|url=http://link.springer.com/10.1007/BF01388734}}
* {{Cita pubblicazione|nome=Karen|cognome=Vogtmann|data=2002|titolo=Automorphisms of Free Groups and Outer Space|rivista=Geometriae Dedicata|volume=94|numero=1|pp=1-31|lingua=en|accesso=2024-03-02|doi=10.1023/A:1020973910646|url=http://link.springer.com/10.1023/A:1020973910646}}
* {{Cita testo|lingua=en|autore=Karen Vogtmann|titolo=Outer Space?|url=https://www.ams.org/notices/200807/tx080700784p.pdf|vol=55|mr=2436509|anno=2008}}

{{Algebra}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei gruppi]]