Visualizza wikitesto di Numeri di Eulero

{{nd||Numero di Eulero}}
In [[matematica]], ed in particolare {{senza fonte|in [[teoria dei numeri]]}} e in [[combinatoria]], i '''numeri di Eulero''' ''E<sub>n</sub>'' sono i termini di una [[successione (matematica)|successione]] di [[intero|interi]] che possono essere definiti dal seguente sviluppo in [[serie di Maclaurin]] della funzione [[funzione iperbolica|secante iperbolica]]:

:<math>\mathrm{sech}(t) = \frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^t + e^{-t} } = \sum_{n=0}^{\infin}  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n,</math>

dove con <math>\cosh t</math> si denota la funzione [[coseno iperbolico]].

I numeri di Eulero di indice dispari sono tutti [[0 (numero)|nulli]]. Quelli di indice pari<ref>{{OEIS|A000364}}</ref> hanno segno alternato. Alcuni valori sono:
:''E''<sub>0</sub> = 1 
:''E''<sub>2</sub> = −1
:''E''<sub>4</sub> = 5
:''E''<sub>6</sub> = −61
:''E''<sub>8</sub> = {{TA|1 385}}
:''E''<sub>10</sub> = {{TA|−50 521}}
:''E''<sub>12</sub> = {{TA|2 702 765}}
:''E''<sub>14</sub> = {{TA|−199 360 981}}
:''E''<sub>16</sub> = {{TA|19 391 512 145}}
:''E''<sub>18</sub> = {{TA|−2 404 879 675 441}}
Regola pratica: se l'indice è divisibile per 4, allora il numero di Eulero è positivo. In caso contrario, è negativo.

Alcuni autori re-indicizzano la successione per escludere i termini dispari (tutti nulli), e/o cambiano i segni per avere tutti i segni positivi. Qui non ci si attiene a tali convenzioni.

È da notare che, a partire da ''E''<sub>4</sub>, tutti i numeri di Eulero con segno positivo sono divisibili per 5. Quelli con segno negativo sono per la maggior parte numeri composti (scomponibili in fattori primi), ma alcuni sono [[numero primo|numeri primi]]. Oltre a ''E''<sub>4</sub> = 5, unico numero di Eulero positivo primo, sono primi, per esempio, i numeri ''E''<sub>6</sub> = −61, ed ''E''<sub>38</sub> = {{TA|−23 489 580 527 043 108 252 017 828 576 198 947 741}}.<ref>[http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/enum ''Factorization of Euler Numbers'']</ref>

I numeri di Eulero compaiono anche negli sviluppi in [[serie di Maclaurin]] della [[funzione trigonometrica|secante]]. Essi inoltre forniscono valori speciali dei [[polinomi di Eulero]] e sono collegati ai numeri delle [[permutazione alternata|permutazioni alternate]].

Va ricordato che al nome di Eulero sono associate varie altre entità numeriche:
* il numero <math>e</math>, altrimenti noto come [[e (costante matematica)|numero di Nepero]];
* la [[costante di Eulero-Mascheroni]];
* la [[caratteristica di Eulero]] della [[topologia algebrica]] e della combinatoria dei [[poliedri]];
* la successione a due indici dei [[numeri euleriani]];
* il [[numero di Eulero (fisica)|numero di Eulero]] della fluidodinamica.

==Note==
<references/>

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria dei numeri}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Successioni di interi]]