Visualizza wikitesto di Notazione per la differenziazione

Nel [[calcolo differenziale]] non esiste una '''notazione per la differenziazione''' univoca. Diversi matematici, infatti, hanno proposto nel tempo alcune particolari simbologie per denotare la [[derivata]] di una [[Funzione (matematica)|funzione]].

== Notazione di Leibniz ==
{{vedi anche|Notazione di Leibniz}}
La notazione di [[Gottfried Leibniz]], utilizzata da gran parte dei matematici e fisici, è la seguente:

:<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>, o anche <math>\frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}.</math>

La [[derivata seconda]] si può ricavare imponendo formalmente che la <math>y</math> da derivare sia uguale alla derivata prima:

:<math>\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cdot\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right) = \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^2\cdot y = \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm d x^2}.</math>

In generale, la derivata <math>n</math>-esima si indica nel modo seguente:

:<math>\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm d x^n}</math>, o anche <math>\frac{\mathrm d^nf(x)}{\mathrm dx^n}.</math>

La derivata puntuale (calcolata nel punto <math>a</math>) si può esprimere in due modi equivalenti:

:<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}(a).</math>

La simbologia di Leibniz, inoltre, è la più utilizzata quando si deve rappresentare la [[derivata parziale]]. In questo caso si usa il simbolo <math>\partial</math>
al posto di <math>d</math>, in questo modo:

:<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}.</math>

Il simbolo <math>\partial</math> non corrisponde ad alcuna lettera di alfabeti conosciuti<ref>[https://books.google.it/books?id=H92Z6yfhxk8C&lpg=PA271&pg=PA271&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Mathematics for Economists: An Introductory Textbook - Malcolm Pemberton, Nicholas Rau - Google Libri]</ref>, anche se somiglia alla [[Д|"D" minuscola dell'alfabeto cirillico]] con grafia corsiva.

== Notazione di Lagrange ==
{{vedi anche|Notazione di Lagrange}}
[[Joseph-Louis Lagrange]] propose di denotare le tre derivate più importanti mediante il simbolo del [[Primo (simbolo)|primo]] ( ′ ), del doppio primo ( ″ ) e del triplo primo ( ‴ ):
:<math>f'</math> per la derivata prima,
:<math>f''</math> per la [[derivata seconda]],
:<math>f'''</math> per la derivata terza.
Col passare del tempo, alcuni autori interpretarono l'idea di Lagrange ampliando la sua notazione con l'utilizzo dei numeri romani (ad esempio <math>f^{IV}</math> per la derivata quarta di <math>f</math>), mentre altri autori utilizzarono i numeri interi fra parentesi tonde (come <math>f^{(4)}</math>). La notazione generica è <math>f^{(n)}</math>.

Se si vuole esplicitare il ruolo delle variabili, la notazione diventa:
:<math>f_x</math> per la derivata prima,
:<math>f_{xx}</math> per la [[derivata seconda]],
:<math>f_{xxx}</math> per la derivata terza.
Analogamente si può ricavare una notazione generica che è <math>f_x^{(n)}.</math>

== Notazione di Eulero ==
La notazione di [[Eulero]] fa utilizzo dell'[[operatore differenziale]] <math>\operatorname D</math> nella maniera seguente:
:<math>\operatorname Df</math> per la derivata prima,
:<math>\operatorname D^2f</math> per la derivata seconda e
:<math>\operatorname D^nf</math> per la derivata <math>n</math>-esima, <math>\forall n \in \mathbb{N}</math>.
Volendo rappresentare anche il ruolo delle variabili, la notazione diventa:
: <math>\operatorname D_x y</math> per la derivata prima,
: <math>\operatorname D^2_x y</math> per la derivata seconda e
: <math>\operatorname D^n_x y</math> per la derivata <math>n</math>-esima, <math>\forall n \in \mathbb{N}</math>.

== Notazione di Newton ==
{{vedi anche|Notazione di Newton}}
La notazione di [[Isaac Newton]] prevede l'utilizzo di un punto (<math>\cdot</math>) sopra alla [[variabile dipendente]]:
:<math>\dot{y}</math> per la derivata prima,
:<math>\ddot{y}</math> per la derivata seconda,
:<math>\overset{...}{y}</math> per la derivata terza,
:e così via.
La notazione di Newton è utilizzata perlopiù nella teoria delle [[Equazione differenziale ordinaria|equazioni differenziali ordinarie]] e in [[Meccanica (fisica)|meccanica]] (soprattutto quando si indica una derivata rispetto al [[tempo]]).

== Notazione nel calcolo vettoriale ==
{{vedi anche|Operatore nabla|Operatore di Laplace}}
Anche i vettori e le matrici, o più in generale gli elementi appartenenti a <math>\mathbb{R}^{n}</math> con <math>n> 1,</math> possiedono diversi tipi di notazioni, per lo più diverse a seconda di ciò che essi esprimono. In particolare, l'[[operatore nabla]] scritto nella forma generalizzata di uno spazio <math>\mathbb{R}^{n},</math> con <math>n>1,</math> come il vettore

:<math>\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}},</math>

esprime diversi tipi di operazioni differenziali fra cui:

* il [[gradiente]] <math>\operatorname{grad}f = \nabla f</math>, dove essendo applicato ad una funzione scalare permette di ottenere un vettore composto dalle derivate parziali della funzione fatte rispetto ai componenti del nabla;

* la [[divergenza]] <math>\operatorname{div} \vec v = \nabla \cdot \vec v</math> dove essendo applicato ad un vettore attraverso un [[prodotto scalare]] permette di ottenere uno scalare (ossia il divergente);

* il [[Rotore (matematica)|rotore]]:

:<math>\operatorname{rot} \vec v = \nabla \times \vec v</math> dove essendo applicato ad un vettore attraverso un [[prodotto vettoriale]] restituisce un vettore attraverso le regole del prodotto vettoriale.

Le derivate di ordine superiore della funzione scalare <math>f</math> presentano notazioni diverse. In particolare, per la derivata del secondo ordine si usa l'operatore di [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] (o [[Operatore di Laplace|laplaciano]]), esprimibile come:

:<math>\nabla^2 f = \Delta f = \nabla\!\cdot\!\nabla f.</math>

Tale operatore, se applicato ad una funzione vettoriale come [[prodotto tensoriale]], restituisce la [[matrice jacobiana]] che ha come elementi le [[Derivata parziale|derivate parziali]] della funzione vettoriale rispetto ai [[Componenti di vettori|componenti]] dell'operatore nabla:

:<math>\operatorname J \mathbf f = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix}.</math>

== Note ==
<references/>

== Voci correlate ==
*[[Derivata]]
*[[Differenziale (matematica)]]

== Collegamenti esterni ==
*{{cita web|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|titolo=Earliest Uses of Symbols of Calculus|autore=Jeff Miller|data=5 marzo 2010}}
*{{cita web|url=http://www.batmath.it/matematica/a_derivate/notaz.htm|titolo=Derivate e notazioni|autore=Maddalena Falanga, Luciano Battaia|editore=batmath.it|data=1º ottobre 2002}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Notazioni matematiche|Differenziazione]]
[[Categoria:Calcolo differenziale]]