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Il '''modello di valutazione dei titoli basato sul consumo''' ([[CAPM]] di consumo o CCAPM) descrive le decisioni simultanee di consumo e di scelta del portafoglio in caso di incertezza. In un'ottica di [[scelta intertemporale]] i titoli servono a smussare il consumo nel tempo.

La [[funzione di utilità]] del [[agente rappresentativo|consumatore rappresentativo]] è<ref>D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296</ref>:

:<math>  \sum_{j=o}^\infty \delta^j u(c_{t+j})</math>
dove u è l'utilità istantanea, <math>c_{t+j} </math> il consumo al periodo <math> t+j </math> e <math>\delta = 1/(1+\rho) </math> è il tasso soggettivo di preferenza per il tempo<ref>Il fattore di sconto psicologico delle utilità future.</ref> (<math> \rho </math> è il [[tasso di sconto]] soggettivo).

== Due periodi ==
Il consumatore desidera massimizzare l'utilità intertemporale [[valore atteso|attesa]]<ref>Questa utilità additiva può essere sostituita da une forma più generale (Si veda Y.Z. Bergman, " Time Preference and Capital Asset Pricing Models ", Journal of Financial Economics, 1985, p. 145-159)</ref>:
:<math>  u(c_t) + \delta E_t \left[u(c_{t+1})\right] </math>
dove <math>E_t</math> indica il [[valore atteso]] al tempo t. I [[vincolo di bilancio|vincoli di bilancio]] sono:
:<math> a_t = c_t + \sum_{i=1}^n x_{it} </math>
:<math> a_{t+1} \equiv c_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt} </math>
dove <math> x_{jt} </math> è il titolo j al periodo t, n il numero di titoli, <math> a_t </math> il patrimonio del consumatore all'inizio del periodo t, <math> r_{jt} </math> il tasso di rendimento del titolo j al periodo t.

Introducendo questa seconda condizione nella funzione di utilità si può trovare il valore massimo utilizzando la lagrangiana:
:<math> L = u(c_t) + \delta E_t \left[ u \bigg( \sum_{j=1}^n (1+r_{jt})x_{jt} \bigg) \right] - \lambda ( c_t + \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t ) </math>
dove <math> \lambda </math> è il [[metodo dei moltiplicatori di Lagrange|moltiplicatore di Lagrange]].
Le condizioni di primo ordine sono:
:<math> \frac{\partial L}{\partial c_t}= u^{\prime}(c_t) - \lambda = 0 </math>
:<math> \frac{\partial L}{\partial x_{it}}= \delta E_t \left[u^{\prime} (c_{t+1})(1+r_{it})\right] - \lambda = 0 \quad i=1,\ldots,n </math>
:<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda}= c_t - \sum_{j=1}^n x_{jt} - a_t = 0 </math>
dove &nbsp;<math> u^{\prime}(c_t) </math>&nbsp; è la derivata di <math>u(c_t)</math>.

Prendendo le due prime equazioni si ottiene:
:<math> u^{\prime}(c_t) = E_t \left[\bigg(\frac{1+r_{it}}{1+\rho}\bigg) u^{\prime}(c_{t+1}) \right] \quad i=1,\ldots,n </math>

L'utilità marginale di un'unità di consumo al periodo t deve essere uguale all'utilità marginale attesa di un'unità risparmiata che da un rendimento di <math> r_{it} </math> e è consumata al periodo t+1.

== Numerosi periodi ==
Il modello diventa, introducendo un titolo [[tasso d'interesse privo di rischio|privo di rischio]] <math> F </math> e un reddito esogeno <math> y_t </math>:
:<math> max \quad u(c_t) + \sum_{j=1}^\infty \delta^j E_t[u(c_{t+j})]</math>
sotto il vincolo:
:<math> \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} + F_{t+1} = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft})F_t + y_t - c_t </math>
dove <math> r_{ft} </math> è il tasso di interesse di un titolo privo di rischio.
Utilizzando l'[[controllo ottimo|equazione di Bellman]] della [[programmazione dinamica]]<ref>K.J. Arrow and M. Kurz, Public Investment, The Rate of Return, And Optimal Fiscal Policy, London, 1970</ref> si può scrivere:
:<math>V(A_t) = \max_{x_{i,t+1},F_{t+1}} \left\{ u(A_t + y_t - \sum_{j=1}^n x_{j,t+1} - F_{t+1}) + \delta E_t \left[V(A_{t+1})\right] \right\} </math>
dove la [[variabile di stato]] è:
:<math> A_t = \sum_{j=1}^n (1+r_{jt}) x_{jt} + (1+r_{ft}) F_t </math>
Le condizioni di primo ordine sono:
:<math> \frac{\partial V}{\partial x_{i,t+1}} = - u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}} \right] = 0 \quad i=1,\ldots,n </math>
:<math> \frac{\partial V}{\partial F_{t+1}}= -u^{\prime}(c_t) + \delta E_t \left[V_A(A_{t+1}) \frac{\partial A_{t+1}}{\partial F_{t+1}} \right] = 0 </math>

dove <math> V_A </math> è la derivata rispetto a <math> A_{t+1} </math>.

Utilizzando il [[teorema dell'inviluppo]], si possono scrivere così le prime n condizioni:
:<math> V_A(A_t)= u^{\prime}(c_t) => E_t[V_A(A_{t+1})]=E_t[u^{\prime}(c_{t+1})] </math>
Si ottiene:
:<math> u^{\prime}(c_t) = \delta E_t[u^{\prime}(c_{t+1})(1+r_{i,t+1})] \quad i=1,\ldots,n </math>

Per il titolo privo di rischio si ha:
:<math> u^{\prime}(c_t) = \delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})] </math>

La [[covarianza (probabilità)|covarianza]] di due [[variabile casuale|variabili stocastiche]] x,y è:
:<math> cov(x,y)= E(xy)-E(x) E(y) </math> 
Per i titoli rischiosi si può scrivere:
:<math> u^{\prime}(c_t) = \delta \big\{ E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})] \big\} </math>

Questo risultato mostra che la scelta del consumatore dipende dal rendimento atteso e dalla covarianza con l'utilità marginale del consumo.

Sottraendo dal risultato del titolo rischioso quello del attivo privo senza rischio si ottiene:

<math> \delta \big\{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]E_t(1+r_{i,t+1})+cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]\big\}-\delta (1+r_{f,t+1})E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]=0 </math>

Si può quindi scrivere:
:<math> E_t(r_{i,t+1})-r_{f,t+1} = - \frac{cov_t[u^{\prime}(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]}{E_t[u^{\prime}(c_{t+1})]} </math>

Il rendimento supplementare di un attivo rischioso che ha una [[correlazione (statistica)|correlazione]] positiva con il consumo deve essere elevato<ref>L'utilità marginale del consumo è una funzione decrescente.</ref> siccome non offre una buona protezione in caso di bisogno. Infatti, per smussare il consumo bisogna avere dei titoli che hanno una correlazione negativa con le spese di consumo.

== Utilità istantanea con avversione al rischio costante ==
Si può scrivere il risultato del titolo rischioso nel modo seguente:
:<math> 1 = E_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t) (1+\rho)}]E_t(1+r_{i,t+1}) + cov_t[\frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{ 
u^{\prime}(c_t)(1+\rho)} \, , \, (1+r_{i,t+1})] </math>

Sia <math>S_{t+1} </math> il [[fattore di sconto stocastico]]:
:<math> S_{t+1} = \frac{u^{\prime}(c_{t+1})}{u^{\prime}(c_t)(1+\rho)}</math>
Si ottiene allora:
:<math> 1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]=E_t(S_{t+1})E_t(1+r_{i,t+1})</math>
:<math> E_t(1+r_{i,t+1})= [E_t(S_{t+1})]^{-1}\{1-cov_t[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]\} </math>

Se la [[funzione di utilità CRRA|funzione di utilità istantanea è]]:
:<math> u(c_t) = \frac{c_t^{1-\sigma}} {1-\sigma}</math>
dove <math> \sigma </math> è il coefficiente relativo di [[avversione al rischio]] (e <math> 1/\sigma </math> l'[[elasticità di sostituzione]] intertemporale) si ottiene:
:<math> S_{t+1} = \frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma} </math>
con <math> g_{t+1}=c_{t+1}/c_t </math> il tasso lordo di crescita del consumo. L'equazione del reddito atteso diventa allora:
:<math> E_t(1+r_{i,t+1})= (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma})]^{-1}\{1- cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})]\} </math>

Mankiw et Shapiro<ref>N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 453</ref> utilizzano l'approssimazione seguente della covarianza:
:<math> cov_t[\frac{1}{(1+\rho)} g_{t+1}^{-\sigma},(1+r_{i,t+1})] \approx \frac{-\sigma}{(1+\rho)}cov[g_{t+1},(1+r_{1,t+1})] </math>
L'equazione seguente, normalizzata allo scopo di ottenere un valore unitario per il beta del mercato (il cui rendimento di questo CAPM di consumo (<math> \beta_{ci} </math>) è <math>r_{M,t+1} </math>) può essere paragonata a quella del modello [[CAPM]]:

:<math> r_i = a_o + a_2 \beta_{ci} </math>
con:

<math>r_i = </math> rendimento del titolo privo di rischio i

<math> a_o = (1+\rho)[E_t(g_{t+1}^{-\sigma}]^{-1}-1</math>

<math> a_2 = \frac{\sigma cov[(1+r_{M,t+1}),g_{t+1}]}{(1+\rho) [E_t(g_{t+1})^{-\sigma}]}</math>

<math> \beta_{ci} = \frac{cov[(1+r_{i,t+1}),g_{t+1}]}{cov[(1+r_{M,t+1},g_{t+1}]}</math>

Come nel modello [[CAPM]], il rendimento del attivo rischioso i dipende dal rischio sistematico ma questo è dato dalla covarianza con il tasso lordo di crescita del consumo. 

== Verifica empirica ==
Utilizzando i dati trimestrali di 464 imprese tra il 1959 e il 1982 Mankiw e Shapiro stimano l'equazione seguente:
:<math> r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi} + a_2 \beta_{ci} </math>
dove <math>\beta_{Mi}</math> è chiamato il coefficiente beta del consumo.

Il modello [[CAPM]]<ref>L'equazione del rendimento del titolo rischioso è:
<math> r_i = a_o + a_1 \beta_{Mi} </math> </ref> dice che <math> a_o= r_f \, ; \, a_1 = E(r_{Mi})-r_f \, ; \, a_2 = 0 </math> 

invece per il modello CCAPM si ha <math> a_1 = 0 \, ; \, a_2 = E(r_M) - r_f </math>.

Le stime ottenute indicano che il modello [[CAPM]] dà un risultato migliore del modello CCAPM.

Altri autori hanno ottenuto risultati negativi, in particolare Hansen et Singleton<ref>L.P. Hansen e K.J. Singleton,"Stochastic Consumption, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Asset Returns", Journal of Political Economy, 1983, p. 249-265</ref>.

Al contrario, Lettau e Ludvigson<ref>M. Lettau and S. Ludvigson, "Resurrecting the (C)CAPM: A Cross-Sectionl Test When Risk Premia Are Time-Varying", Journal of Political Economy, 2001, p. 1238-1287</ref> trovano che una versione condizionale del modello CCAPM che tiene conto del rapporto consumo / patrimonio dà dei risultati soddisfacenti.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* D. T. Breeden, "An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities", Journal of Financial Economics, 1979, p. 265-296
* D. Breeden, M.R. Gibbons, R.H. Litzenberger, "Empirical tests of the consumption-oriented CAPM", Journal of Finance, 1989, p. 231-262
* J.H. Cochrane, "A cross-sectional test of an investment-based pricing Model", Journal of Political Economy, 1996, p. 572-621
* D. Duffie and William Zame, "The Consumption-based Capital Asset Pricing Model", Econometrica, 1989, p. 1279-1297
* R. Lucas, "Asset Prices in an Exchange Economy", Econometrica, 1978, p. 1429-1445
* N.G. Mankiw and M.D. Shapiro, "Risk and return: consumption beta versus market beta", Review of Economics and Statistics, 1986, p. 452-459
* R. Mehra and E. Prescott, "The equity premium: a puzzle", Journal of Monetary Economics, 1985, p. 145-161
* Economic Sciences Prize Committee of the Royal Swedish Academy of Sciences, UNDERSTANDING ASSET PRICES, Stockholm, 2013 [https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/advanced-economicsciences2013.pdf]

== Voci correlate ==
* [[Capital asset pricing model]]
* [[Fattore di sconto stocastico]]
* [[Equity premium puzzle]]
* [[Modello intertemporale di valutazione dei titoli]]

{{Controllo di autorità}}
{{portale|economia}}

[[Categoria:Economia finanziaria]]