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{{S|teoria della probabilità|statistica}}

Una '''mistura di distribuzioni''' è una [[variabile casuale]], la cui [[funzione di probabilità]] (nel caso di una [[variabile casuale discreta]]) o la cui [[funzione di densità di probabilità]] (nel caso di una [[variabile casuale continua]]) è data da una [[media ponderata]] di funzioni di probabilità (o densità) di altre variabili casuali.

Nel caso di una mistura finita di [[variabile casuale continua|distribuzioni continue]] la funzione di densità di probabilità è descritta in generale da
:<math>f(x;\pi_1,\dots,\pi_k,g_1,\dots,g_k)=\sum_{i=1}^k\pi_i g_i(x)</math>
con il vincolo che <math>\Sigma_{i=1}^k\pi_i =1</math> e dove <math>g_i</math> sono ''k'' funzioni di probabilità, le quali possono a loro volta avere dei parametri che le caratterizzano.

Ad esempio una mistura di due [[variabile casuale normale|distribuzioni normali]] ha come funzione di densità di probabilità
:<math>f(x;\pi_1,\mu_1,\sigma_1,\mu_2,\sigma_2)=\pi_1 \phi(x;\mu_1,\sigma_1) + \pi_2  \phi(x;\mu_2,\sigma_2)</math>
dove <math>\pi_2= 1 - \pi_1</math> e <math>\phi(x;\mu,\sigma)</math> è la funzione di densità di probabilità di una [[variabile casuale normale]].

Un teorema di rappresentazione di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] assicura che ogni variabile casuale è rappresentabile come mistura di distribuzioni del tipo continuo e/o [[variabile casuale discreta|discreto]] e/o [[variabile casuale singolare|singolare]].

Uno dei casi nei quali si ricorre ad una mistura di distribuzioni è quello delle subpopolazioni, ovvero quando una popolazione (di valori) è composta da più sottopopolazioni, ciascuna con una propria distribuzione dei valori. Ad esempio, se si ritiene che sia l'altezza degli uomini che l'altezza delle donne sia distribuita come una ''normale'', ma con la media per gli uomini maggiore della media delle donne, allora l'altezza degli individui senza distinzione di sesso è una mistura di due distribuzioni normali.

Nell'ambito dell'[[inferenza bayesiana]] si fa ampio ricorso a misture basate sulle [[Distribuzione a priori coniugata|coniugate prior]] come nei casi della [[Distribuzione binomiale|binomiale]] con la [[Distribuzione Beta|Beta]] ([[variabile casuale betabinomiale|v.c. betabinomiale]]), la [[Distribuzione di Poisson|poissoniana]] con la [[Distribuzione Gamma|Gamma]] ([[variabile casuale Poisson-Gamma|v.c. Poisson-Gamma]]), l'[[Distribuzione esponenziale|esponenziale]] o la Gamma con la Gamma stessa.

== Voci correlate ==
* [[Distribuzione composta]]
* [[Algoritmo EM]]
* [[Combinazione convessa]]
* [[Variabile casuale betabinomiale]]
* [[Variabile casuale Poisson-Gamma]]
* [[Trasformazione integrale di probabilità]]

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Distribuzioni di probabilità]]
[[Categoria:Analisi dei cluster]]