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Se una legge di ''capitalizzazione'' serve a determinare il [[valore futuro]] di un [[Capitale (economia)|capitale]] disponibile oggi, una '''legge di attualizzazione''' mira a determinare il valore ''anticipato'' di un capitale che si suppone disponibile ad una data futura.
Se quindi per una [[Legge di capitalizzazione|capitalizzazione]] si può parlare di ''[[differimento]]'', per la [[attualizzazione]] si deve parlare di ''anticipazione''.

Chiaramente questa anticipazione ha un costo, che si collega al concetto di [[interesse (matematica finanziaria)|interesse]] "passivo", o ''[[sconto]]''. Esso deve essere tale per cui, capitalizzando il [[valore attuale]] che la legge di attualizzazione prescelta ci propone, si arrivi a determinare un montante il cui valore coincide con il capitale futuro da cui siamo partiti.
La legge di capitalizzazione e il [[tasso di interesse]] assunti allo scopo sono univocamente determinati dalla regola di corrispondenza enunciata e si dice per tale motivo che sono tra essi ''coniugati''.

Questa sorta di [[specularità]] consente, attraverso le [[Legge di capitalizzazione|leggi di capitalizzazione]], di dedurre le principali caratteristiche delle leggi di attualizzazione ad esse coniugate. E è proprio dei ''regimi finanziari di attualizzazione'' associati ai ''regimi finanziari di capitalizzazione'' noti  che ci occuperemo.

Vediamo anzitutto la parte [[assiomatica]].

Una generica legge di attualizzazione è espressa dalla [[relazione (matematica)|relazione]]:

<math> V_a(t)=G(C_f,t)\ </math>

dove <math> V_a\ </math> è il valore attuale del capitale <math> C_f\ </math> disponibile al tempo futuro <math>t\ </math>.

Per essa devono valere le seguenti proprietà:

1) <math> G(C_f,t)\ </math> definita per <math>C_f \ge 0</math> e per <math>t\ </math> :  <math> 0 \le t \le T </math>

2) <math>G(0,t)\ = 0</math> per ogni valore di <math>t\ </math>

3) <math>G(C_f,0) = C_f\ </math>

4) Se <math>C_2 > C_1\ </math>, allora  <math>G(C_2,t)\ge G(C_1,t)</math>

5) Per ogni <math>t_2 > t_1\ </math>, <math>G(C,t_2)\le G(C,t_1)</math> ; la [[funzione (matematica)|funzione]] è quindi [[funzione monotona|monotona]] [[funzione decrescente|non crescente]]

6) <math>G(C_f,t) = C_fG(1,t)\ </math> , per ogni <math>t\ </math>

Si noti che la proprietà ''2'' poteva essere omessa, poiché deducibile dalla ''6''.

Tuttavia, va detto che la proprietà ''6'' non sempre è soddisfatta nella pratica, da qui la necessità di specificare la proprietà ''2'' in modo indipendente.

La proprietà ''6'' è comunque assunta come vera nella [[assiomatizzazione]] matematica perché semplifica, e rende in un certo senso armonico, lo studio di una determinata [[legge finanziaria]].

Isolando il capitale futuro <math>C_f\ </math> dal resto della funzione, infatti, possiamo studiare un'unica legge G(1,t), nella quale si assume un capitale unitario, applicando poi ad essa il fattore <math>C_f\ </math>, come [[coefficiente di proporzionalità]], ottenendo in tal modo l'andamento della legge per quel determinato capitale.
È consuetudine in tal senso porre

<math>g(t)=G(1,t)\ </math>

e formalizzare la legge di capitalizzazione nella forma

<math>V_a(t)=C_fg(t)\ </math>

Alla funzione <math>g(t)\ </math> viene dato il nome di ''[[fattore di sconto]]''.

In base ai postulati enunciati, si evincono per la funzione ''fattore di sconto'' le seguenti proprietà:

1) <math>g(t)\ </math> definita per <math>t\ </math>: <math>0\le t< T </math>

2) <math>g(0)=1\ </math>

3) non crescente, quindi, se [[derivata|derivabile]], <math>g^'(t) \le 0</math>

Una legge di attualizzazione si associa usualmente ad un ''[[regime finanziario]] di attualizzazione'', intendendo appunto con il termine regime finanziario di attualizzazione una legge finanziaria che applica un determinato fattore di sconto.
Le tre famiglie di [[Funzione (matematica)|funzioni]] che vogliamo prendere in considerazione sono in pratica le forme coniugate delle tre famiglie viste per il ''[[fattore di montante]]'' viste nella sezione ''[[Legge di capitalizzazione]]''.

Esse prendono la forma:

:<math>g(t) = \frac{1}{1 + ht}</math> , <math>(h \ge 0)</math> .
:questa è la forma coniugata delle ''''[[funzione affine|funzioni affini]]''''. Su questo tipo di funzioni si basa il '''regime finanziario a sconto semplice o razionale'''.

:<math>g(t) = e^{-ht}\ </math> ,   <math>(h \ge 0)</math> .
:questa è la forma coniugata delle '''''[[funzione esponenziale|funzioni esponenziali]]'''''. Su questo tipo di funzioni si basa il '''regime finanziario a sconto composto'''.

:<math>g(t) = 1 - ht\ </math> , <math>(h \ge 0)</math> .
:questa è la forma coniugata delle '''''[[funzione iperbolica|funzioni iperboliche]]'''''. Su questo tipo di funzioni si basa il '''regime finanziario a sconto commerciale'''.

In analogia con le leggi di capitalizzazione, <math>h\ </math>è legato al ''tasso di sconto'' unitario. Rimandiamo alla sezione [[legge di capitalizzazione]] per una adeguata presentazione dei [[tasso unitario|tassi unitari]] di interesse e di sconto.

Vediamo ora, sinteticamente, i tre regimi finanziari menzionati.

*'''''Regime finanziario a sconto semplice o razionale'''''

È il coniugato del regime finanziario di capitalizzazione a interesse semplice.
Ponendo:

<math>V_a</math> = valore attuale o somma scontata

<math>C_f</math> = capitale futuro (disponibile in <math>t\ </math>

<math>D</math> = sconto

<math>i</math> = tasso di interesse della legge di capitalizzazione coniugata

otteniamo:

<math>V_a =\frac {C_f}{1+it}\ </math> da cui

<math>D =C_f - V_a=\frac {C_fit}{1 + it}\ </math>

Se valutiamo la prima relazione con <math>C_f = 1\ </math>, cioè con capitale futuro unitario, essa diventa

<math>V_a =\frac {1}{1 + it}</math>

Abbiamo così il '''''[[fattore di sconto razionale]]''''' <math>g(t)\ </math>

<math>g(t)=\frac {1}{1 + it}</math>

*'''''Regime finanziario a sconto composto'''''

È il coniugato del regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto.

Usando le definizioni date al punto precedente, partiamo dalla relazione generale:

<math>V_a = C_fg(t)\ </math>

individuata la appropriata funzione di capitalizzazione coniugata: <math>f(t)=(1+i)^t\ </math>,

partendo dalla relazione:

<math>g(t) = \frac {1}{f(t)}\ </math> otteniamo

<math>g(t) = \frac {1}{(1+i)^t}\ </math> da cui
 
<math>V_a = C_f \frac {1}{(1+i)^t}\ </math>

da qui ricaviamo anche lo sconto:

<math>D = C_f - V_a = C_f[1 -\frac {1}{(1+i)^t}]\ </math>

Se valutiamo la prima relazione con <math>C_f = 1\ </math>, cioè con capitale futuro unitario, essa diventa

<math>V_a=\frac {1}{1 + i}^t</math>

Abbiamo così il '''''[[fattore di sconto razionale]]''''' <math>g(t)\ </math>

<math>g(t)=\frac {1}{1 + it}</math>

che si può anche esprimere attraverso la [[forza di interesse]] <math>\delta\ </math>:

<math>g(t)=e^{\delta t}\ </math>

con <math>\delta = ln(1+i)\ </math>

*'''''Regime finanziario a sconto commerciale'''''

È il coniugato del regime finanziario di capitalizzazione a interesse anticipato.

Sapendo che

<math>f(t) = \frac{1}{1-dt}</math>

dove <math>d\ </math>  è il ''[[tasso unitario di sconto]]''

<math>V_a = C_f - D = C_f - C_fdt = C_f(1-dt)\ </math> (*)

:(*) ricordiamo dalla definizione del regime a interesse anticipato che <math>D = C_f dt\ </math>

==Voci correlate==
*[[leggi coniugate]]
*[[Legge di capitalizzazione]]

[[Categoria:Matematica finanziaria]]