Visualizza wikitesto di Irregolarità del moto lunare

L''''orbita della Luna''' è studiata da quella che, in gergo anglosassone, viene definita ''Lunar Theory'', la quale tenta di spiegare i moti del nostro [[satellite naturale|satellite]]. Ci sono molte irregolarità (o [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]]) nel moto della [[Luna]], e molti tentativi sono stati fatti fin dalla antichità per tenere conto di queste. Dopo secoli di forte problematicità, i moti lunari sono al giorno d'oggi [[modello matematico|modellati]] con un grado molto elevato di [[accuratezza]]. Diversi aspetti della Teoria della [[Luna]] sono diventati un classico della [[storia della scienza]]. Di recente si sono raggiunti livelli di accuratezza che hanno trasformato la ''Lunar Theory'' in uno strumento adeguato per nuovi test delle [[teoria|teorie fisiche]]. Si può osservare che:

* il moto della [[Luna]], dopo il lavoro dei coniugi francesi [[Michelle Chapront-Touzé]] e [[Jean Chapront]], si può considerare noto con [[precisione]]
* la discussione di [[Hugh Godfray]] sottolinea il significato fisico delle [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]] (quale causa le produce e di quale entità sono)
* in parte, quei termini matematici sono la [[algebra|trasposizione algebrica]] dei vecchi [[epiciclo e deferente|epicicli geometrici]]
* il [[epiciclo e deferente|deferente]] dà il moto circolare, il primo [[epiciclo e deferente|epiciclo]] include la prima ineguaglianza ([[eccentricità orbitale|eccentricità]]), il secondo [[epiciclo e deferente|epiciclo]] include la seconda ineguaglianza ([[Giovanni Keplero|moto kepleriano]])
* gli [[epiciclo e deferente|epicicli]] sono definiti sulla base dell'osservato, che aveva ai tempi molti limiti, e ne ha anche oggi, pertanto il [[modello matematico|modello]] può arrivare solo ad un certo punto [[predizione]]
* i [[algebra|termini algebrici]], che nascono da sviluppi in serie completamente noti, possono predire [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]] aggiuntive, ancorché non ancora osservate; il limite è solo la capacità di calcolo
* [[Tycho Brahe|Tycho]] e [[Giovanni Keplero|Keplero]], con i dati a loro disposizione, hanno fatto "miracoli" di formalizzazione in ambito di [[meccanica celeste]]

'''La ''Lunar Theory'' include'''

* il “background” della teoria generale; comprese le tecniche matematiche utilizzate per analizzare il movimento della [[Luna]] e per generare [[algebra|formule]] e [[algoritmo|algoritmi]] per la stima suoi movimenti;
* [[algebra|formule]] quantitative, [[algoritmo|algoritmi]] e schemi geometrici che possono essere utilizzati per calcolare la posizione della [[Luna]] ad un tempo determinato, spesso con l'aiuto di tabelle basate su [[algoritmo|algoritmi]].

La teoria ha una storia di oltre 2000 anni di indagini. I suoi sviluppi più moderni sono stati utilizzati nel corso degli ultimi tre secoli per fondamentali scopi scientifici e tecnologici, e lo sono ancora oggi.

==Applicazioni==
* Nel XVIII secolo, il confronto tra la ''Lunar Theory'' e l'osservazione è stato utilizzato per testare la legge di [[Isaac Newton|Newton]] della [[Legge di gravitazione universale|gravitazione universale]], il movimento dell'[[apogeo (astronomia)|apogeo]] lunare.
* Nei secoli XVIII e XIX, le [[effemeridi|tabelle di navigazione]] basate sulla ''Lunar Theory'', inizialmente nel ''[[Nautical Almanac]]'', erano molto utilizzate per la determinazione della [[longitudine]] in mare con il [[distanza lunare|metodo delle distanze lunari]].
* Nei primi anni del secolo ventesimo, il confronto tra la ''Lunar Theory'' e l'osservazione è stato utilizzato in un altro test della teoria gravitazionale, per verificare il suggerimento di [[Simon Newcomb]] secondo cui una discrepanza nota nel moto del [[perielio]] di [[Mercurio (astronomia)|Mercurio]] avrebbe potuto essere spiegata da un aggiustamento minimo dell'esponente 2 nella legge dell'inverso del quadrato della gravitazione di [[Isaac Newton|Newton]]: la differenza fu poi spiegata con la [[teoria della relatività]] generale.
* Nella metà del ventesimo secolo, prima dello sviluppo degli [[orologio atomico|orologi atomici]], la ''Lunar Theory'' e l'osservazione sono state utilizzate congiuntamente per realizzare una base tempi astronomica ([[tempo effemeride|tempo delle effemeridi]]) libera dalle irregolarità del [[tempo solare medio]].
* Nel tardo ventesimo secolo e all'inizio del ventunesimo, moderni sviluppi della ''Lunar Theory'' sono in uso, in abbinamento alle osservazioni di alta precisione, per verificare l'esattezza dei rapporti fisici associati con la [[teoria della relatività]] generale, compreso il [[principio di equivalenza|principio forte di equivalenza]], la [[teoria della relatività|gravitazione relativistica]], la [[precessione degli equinozi|precessione geodetica]], e la costanza della [[costante di gravitazione universale|costante gravitazionale]].

==Definizioni e valori numerici==
Di seguito viene fornita una lista delle variabili che si incontreranno nel corso della esposizione delle singole [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]] della [[Luna]]. Ad esse viene assegnato dapprima un valore numerico approssimato (quello utilizzato popolarmente ai tempi del Godfray) e quindi una stima moderna migliore.

Alcune quantità che compaiono come argomento delle funzioni "[[seno (matematica)|seno]]", e che ne costituiscono la fase iniziale, sono semplicemente date come definizione verbale.

In ogni caso viene fornita per ogni [[perturbazione (astronomia)|perturbazione]] la possibilità di calcolo numerico completo, ad una data qualunque, con formulario ricavato dal libro del Meeus.

<math> \theta =</math> [[longitudine]] [[eclittica]] "vera" della [[Luna]] (funzione del tempo), misurata sull'[[eclittica]]

<math> m \simeq {1 \over 13} =</math> rapporto tra moto medio [[Sole]] e moto medio [[Luna]]; il valore preciso è <math> m = {1 \over 13{,}37920} = 0{,}074743</math>

<math> p =</math> moto medio [[Luna]] <math> = 13{,}18681^\circ/giorno = p = 0{,}230153 \cdot \mathrm{{radianti \over giorno}}</math>

<math> m \cdot p =</math> moto medio [[Sole]] <math>= 0{,}98562^\circ/giorno = p = 0{,}017202 \cdot \mathrm{{radianti \over giorno}}</math>

<math> k = \tan({5{,}145^\circ}) = 0{,}080994 </math> = [[tangente (matematica)|tangente]] della inclinazione dell'orbita della Luna

<math> c = 1 - {3 \over 4} \cdot m^2 - {225 \over 32} \cdot m^3 = 0{,}992874</math>

<math> \alpha =</math> longitudine del [[perigeo]] della [[Luna]] al tempo zero, misurata sul piano orbitale

<math> \alpha' = \alpha + (1 - c) \cdot p \cdot t </math> = [[longitudine]] “vera” del [[perigeo]] della [[Luna]] (funzione del tempo), misurata sul [[piano orbitale]]

<math> \beta =</math> [[longitudine]] del [[Sole]] al tempo zero, misurata sull'[[eclittica]]

<math> \gamma =</math> [[longitudine]] del [[asse nodale|nodo]] della [[Luna]] al tempo zero, misurata sull'[[eclittica]]

<math> \zeta =</math> [[longitudine]] del [[perigeo]] del [[Sole]] al tempo zero, misurata sull'[[eclittica]]

<math> e \simeq {1 \over 20} =</math> [[eccentricità orbitale|eccentricità]] dell'orbita della [[Luna]] al tempo zero; il valore preciso vale <math> e = {1 \over 18{,}05054} = 0{,}0554</math>

<math> (1 - c) \cdot p = 0{,}00164 \cdot \mathrm{{radianti \over giorno}} </math> = [[velocità angolare]] degli [[apside|apsidi]] della [[Luna]]

<math> (1 - c^2) = {3 \over 2} \cdot m^2 = 0{,}0142</math>

<math> g = 1 + {3 \over 4} \cdot m^2 - {9 \over 32} \cdot m^3 = 1{,}0040724</math>

==Longitudine della Luna==
La soluzione del problema costitutivo della ''Lunar Theory'' è oggi completata. Di seguito sarà fornito il dettaglio espresso con una precisione al secondo ordine di dettaglio. I vari termini sinusoidali sono formati da un coefficiente che ne indica l'ampiezza massima, e un argomento da cui è possibile ricavarne la periodicità. Dopo lunghissimi passaggi algebrici si può affermare che la [[longitudine]], al secondo ordine, è data dalla seguente espressione:

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha}) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha})) +</math>
:<math> + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m - c) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta + \alpha}) +</math>
:<math> + {11 \over 8} \cdot m^2 \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta}) -</math>
:<math> - 3 \cdot m \cdot e' \cdot \mathrm{sen}({m \cdot p \cdot t + \beta -\zeta}) -</math>
:<math> - {1 \over 4} \cdot k^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (g \cdot p \cdot t - \gamma}))</math>

Il contributo dei termini di questa espressione è discusso nel seguito:

=== Moto medio ===
Trascurando tutti i termini periodici, rimane solo la componente lineare nel tempo:

:<math> \theta = p \cdot t</math>
:<math> {d\theta \over dt} = p</math>

ciò indica una [[velocità angolare]] uniforme: la Luna si muove uniformemente su un cerchio; il periodo di rivoluzione vale <math> {2 \cdot \pi \over p} \simeq 27{,}33</math> giorni, che è pertanto la espressione del [[mese siderale]]. Per la precisione, nell'anno 1801 il valore è stato 27 giorni 7 ore 43 minuti 11,26 secondi. Questa prima parte del termine è quella che nei tempi antichi era rappresentata dal cerchio definito "[[epiciclo e deferente|deferente]]".

Il valore di ''p''  è dato, al terzo ordine, da:

:<math> p = \mathrm{costante} \cdot (1-{3 \over 2} \cdot k^2-m^2-{3 \over 2} \cdot e^2) </math>

dove ''m''  è dovuto all'azione disturbante del [[Sole]]; si può osservare che il moto medio ''p'' ottenuto dalla terza legge di [[Giovanni Keplero|Keplero]] (e quindi la [[velocità angolare]] media) è minore a causa degli elementi perturbanti, pertanto il tempo periodico medio sarebbe maggiore in assenza delle [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]].

===Ineguaglianza Ellittica o Equazione del Centro===
Questa ineguaglianza tiene conto della [[velocità angolare]] non uniforme (in accordo con la [[seconda legge di Keplero]]) e della rotazione della [[linea degli apsidi]]; fenomeni entrambi noti già a [[Ipparco di Nicea|Ipparco]] e rappresentati da lui e da [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]] con opportuni epicicli. Si osservi che Ipparco, il cui modello era puramente descrittivo, cioè non pretendeva di derivare i parametri numerici da una legge fisica, poteva raggiungere il livello di precisione desiderato semplicemente aggiustando opportunamente la discrepanza fra la velocità di rotazione sull'epiciclo e quella sul deferente<ref>Se le due velocità angolari sono uguali ed opposte di segno si ottiene un'orbita ellittica senza alcuna rotazione della linea degli apsidi.</ref>. Dedurre, invece, dalle leggi di gravitazione il moto rilevato degli astronomi fu particolarmente difficile.

Per valutare l'ineguaglianza ellittica si aggiunge al moto medio l'azione combinata degli altri due termini della prima riga:

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha}) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha}))</math>

essa può essere riscritta:

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({p \cdot t - (\alpha+(1-c) \cdot p \cdot t})) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (p \cdot t - (\alpha+(1-c) \cdot p \cdot t})))</math>

si ricorda la similitudine formale tra la [[longitudine]] e il tempo lungo una [[ellisse]] con il corpo centrale in un [[ellisse|fuoco]], terminata alla precisione del secondo ordine:

:<math> \theta = n \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({n \cdot t - \alpha'}) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (n \cdot t - \alpha'}))</math>

dove <math> n </math> è il moto medio, <math> e </math> la eccentricità e <math> \alpha' </math> la [[longitudine]] degli [[apside|apsidi]].

I termini considerati, pertanto, indicano il moto su una [[ellisse]]; il moto medio è ''p'', la eccentricità ''e'', la [[longitudine]] degli [[apsidi]] <math> \alpha+(1-c) \cdot p \cdot t </math>; ciò indica in modo chiaro che la linea degli [[apsidi]] non è stazionaria, ma ha un moto progressivo uniforme pari a <math> (1-c) \cdot p</math>, dove vale la seguente relazione:

:<math> c = 1 - {3 \over 4} \cdot m^2 </math>, approssimata al secondo ordine

se al posto di <math> c </math> si mette l'espressione sopra citata, la [[velocità angolare]] diventa <math> {3 \over 4} \cdot m^2 \cdot p </math> perciò, mentre la [[Luna]] descrive un giro, l'asse precede di <math> {3 \over 4} \cdot m^2 \cdot 360 \simeq 1{,}6^\circ</math> circa, essendo ''m'' pari a circa <math> {1 \over 13}</math>.

Questo risultato è qualitativamente equivalente al modello del moto della [[Luna]] messo a punto dagli astronomi greci. Già [[Ipparco di Nicea|Ipparco]] aveva trovato, e tutte le osservazioni moderne lo hanno confermato, che il moto degli [[apside|apsidi]] è circa 3° per ciascuna rivoluzione della [[Luna]]. Dimensioni e [[velocità angolare]] su [[epiciclo e deferente|deferente ed epicicli]] erano determinate in modo da ottenere valori del moto lunare corrispondenti all'esperienza.

Il valore calcolato precedentemente, tuttavia, non corrisponde al dato osservativo.  [[Isaac Newton|Newton]] stesso era consapevole di questa apparente discrepanza tra la sua teoria e le osservazioni<ref>Il moto degli [[apside|Apsidi]] è stato considerato da [[Isaac Newton|Newton]] nei ''Principia'', libro I, Proposizione 66, Corollario 7.</ref>; ma si è condotti dalle sue stesse parole (''Scolio alla Proposizione 35'', libro III nella prima edizione dei ''Principia''), a concludere che egli avesse superato l'ostacolo. Ciò è reso probabile dal fatto che egli risolse un simile problema nel caso del moto dell'asse dei [[asse nodale|nodi]]; egli, tuttavia, non ha fornito alcun calcolo o alcuna spiegazione a supporto della sua affermazione.

[[Alexis Clairaut|Clairaut]], che nel [[1750]] trovò la causa della discrepanza e ne pubblicò la soluzione, giunse inizialmente alla conclusione che ci fosse un piccolo errore nella legge di gravitazione e fu sul punto di pubblicare una nuova ipotesi. Fortunatamente decise di procedere all'approssimazione di terzo ordine e così trovò che il termine successivo nello sviluppo di ''c'' era quasi altrettanto grande di quello già trovato. 
In altre parole l'espressione <math> c = 1 - {3 \over 4} \cdot m^2 </math> utilizzata sopra deve essere sostituita col seguente valore di ''c'' approssimato al terzo ordine:
:<math> c = 1 - {3 \over 4} \cdot m^2 - {225 \over 32} \cdot m^3</math>

:<math> (1-c) = {3 \over 4} \cdot m^2 + {225 \over 32} \cdot m^3</math>

<math> (1-c) \cdot 360 \simeq 2,75</math>° valore che riconcilia teoria ed osservazione e che rimuove ciò che è stato vissuto come un immenso inciampo nella storia della astronomia. Quando il valore di <math> c </math> è approssimato ad ordini ancora superiori, viene raggiunta una corrispondenza ancora migliore.

====Calcolo numerico approssimato====
[[File:elementi orbitali luna.jpg|thumb|upright=1.7|I parametri orbitali kepleriani]]Allo scopo di calcolare accuratamente la posizione della [[Luna]] in un dato istante, è necessario prendere in considerazione ''migliaia'' di termini periodici nel calcolo della relativa [[longitudine]], [[latitudine]] e distanza. Ci si fermerà qui a trattare solo quelli evidenziati dalla presente trattazione semplificata. Per avere i dati completi è necessario consultare le ''Lunar Tables and Programs'' di Chapront.

Si presuppone noto il concetto di ''[[Giorno Giuliano]] delle [[Effemeridi]]'' JDE, da cui si ricava il parametro ausiliario <math> T </math>, fornito dalla presente formula

:<math> T = {JDE - 2451545 \over 36525} </math>

È necessario dapprima calcolare alcuni coefficienti, alla data richiesta, da inserire come argomento nella funzione trigonometrica che rappresenta la [[perturbazione (astronomia)|perturbazione]] in oggetto

'''Elongazione media della Luna''' (angolo rispetto alla direzione del [[Sole]], misurato sull'[[eclittica]])

:<math> D = 297{,}8501921 + 445267{,}1114034 \cdot T - 0{,}0018819 \cdot T^2 + {T^3 \over 545868} - {T^4 \over 113065000} </math>

'''Anomalia media del Sole''' (angolo rispetto al [[perigeo]], misurato sull'[[eclittica]])

:<math> M = 357{,}5291092 + 35999{,}0502909 \cdot T -  0{,}0001536 \cdot T^2 + {T^3 \over 24490000} </math>

'''Anomalia media della Luna''' (angolo rispetto al [[perigeo]], misurato sull'[[orbita]])

:<math> M' = 134{,}9633964 + 477198{,}8675055 \cdot T + 0{,}0087414 \cdot T^2 + {T^3 \over 69699} - {T^4 \over 14712000} </math>

'''Argomento della latitudine della Luna''' (angolo rispetto al [[asse nodale|nodo ascendente]], misurato sull'[[orbita]])

:<math> F = 93{,}2720950 + 483202{,}0175233 \cdot T - 0{,}0036539 \cdot T^2 - {T^3 \over 3526000} + {T^4 \over 863310000} </math>

'''Ineguaglianza ellittica''' od '''equazione del centro'''

In modo numerico essa è data dalla seguente espressione, dove il coefficiente del ''[[seno (matematica)|seno]]'' è espresso in milionesimi di grado angolare

:<math> 6288774 \cdot \mathrm{sen}({M'}) +213618 \cdot {sen}({2 \cdot M'})  \simeq </math>
:<math> \simeq (6{,}29^\circ) \cdot \mathrm{sen}({M'}) + (0{,}21^\circ) \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot M'}) </math>

L'espressione raggiunge il suo massimo nella seguente configurazione:

:<math> (6{,}29^\circ) \cdot \mathrm{sen}({86{,}2^\circ}) + (0{,}21^\circ) \cdot \mathrm{sen}({172{,}4^\circ}) \simeq </math>
:<math> \simeq (6{,}30333^\circ) </math>

Si tratta in buona sostanza di un'ampia sinusoide di ampiezza 6,29 ricamata con una piccola sinusoide di ampiezza 0,21. Esse hanno frequenze diverse e la funzione complessiva raggiunge il suo massimo quando l'argomento M' vale circa 86,2°.

.

===Evezione===
{{vedi anche|Evezione}}
Il termine <math> + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m - c) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta + \alpha})</math> è denominato [[Evezione]]. I suoi effetti si possono considerare in due prospettive diverse:

====Termine considerato per sé stesso====
Esso è dunque un termine correttivo di

:<math> \theta = p \cdot t + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m - c) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta + \alpha})</math>

si definiscano le seguenti grandezze:

:<math> \mathrm{luna} = p \cdot t =</math> [[longitudine]] media della [[Luna]]

:<math> \mathrm{sole} = m \cdot p \cdot t + \beta =</math> [[longitudine]] media del [[Sole]]

:<math> \alpha' = (1-c) \cdot p \cdot t + \alpha =</math> [[longitudine]] media dell'asse degli [[apside|apsidi]]

raccogliendo opportunamente i termini

:<math> \theta = p \cdot t + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (p \cdot t - (m \cdot p \cdot t + \beta))-(p \cdot t - (1-c) \cdot p \cdot t + \alpha)})) =</math>

:<math> = p \cdot t + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (luna - sole)-(luna - \alpha'}))</math>

Gli effetti di questo termine sono:
 
* alle [[Sizigie]], quando [[Sole]] e [[Luna]] sono allineati, cioè quando hanno la stessa [[longitudine]], la prima parte dell'argomento del [[seno (matematica)|seno]] si annulla, e pertanto rimane <math> \theta = p \cdot t - {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({luna - \alpha'})</math>, cioè la posizione “vera” della [[Luna]] è prima o dopo quella “media” a seconda del segno dell'argomento della funzione "''[[seno (matematica)|seno]]''";
* alle [[quadratura (astronomia)|Quadrature]], quando [[Sole]] e [[Luna]] distano 90º, la prima parte dell'argomento del [[seno (matematica)|seno]] vale pi greco e pertanto rimane <math> \theta = p \cdot t + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({luna - \alpha'})</math>, in cui le circostanze sono esattamente invertite.

In entrambi i casi la correzione globale si annulla quando la linea degli [[apside|Apsidi]] è alle [[Sizigie]] o alle [[quadratura (astronomia)|Quadrature]] nello stesso momento della [[Luna]]. Nelle posizioni intermedie la natura della correzione è più complessa, ma si annulla sempre quando il [[Sole]] è a metà tra la [[Luna]] e la linea degli [[apside|Apsidi]], o quando dista 90º o 180º da quel punto. Se:

:<math> sole = {luna + \alpha' \over 2} - r \cdot 90</math> dove <math> r ={ 0, -1, 1, 2}</math>

allora

:<math> \mathrm{sen}({2 \cdot (luna - sole) - (luna - \alpha')})= \mathrm{sen}({luna + \alpha' -2 \cdot sole}) =</math>

:<math> = \mathrm{sen}({r \cdot 180}) = 0</math>

====Termine considerato in funzione della ''Ineguaglianza Ellittica''====
Il secondo e più usuale metodo è quello di considerare gli effetti di questo termine in combinazione con i due termini della “Ineguaglianza Ellittica”, come segue: “Determinare la variazione della posizione della linea degli [[apside|Apsidi]] e la variazione nella [[Eccentricità orbitale|Eccentricità]] dell'[[orbita]] della [[Luna]], prodotta dalla [[Evezione]]”.
Si prendano allora assieme la “Ineguaglianza Ellittica” e la “[[Evezione]]”:

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha}) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha})) + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m - c) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta + \alpha})</math>

sia <math> \alpha'</math> la [[Longitudine]] della linea degli [[apside|Apsidi]] al tempo <math> t </math>, nella ipotesi di avanzamento uniforme

:<math> \alpha' = (1-c) \cdot p \cdot t + \alpha </math>

:<math> sole = m \cdot p \cdot t + \beta </math>

allora la precedente può essere riscritta

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot e \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha}) + {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha})) + {15 \over 4} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha + 2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>

combinando insieme il secondo ed il quarto termine in uno solo

:<math> 2 \cdot E \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha + \delta})</math>

e si assuma

:<math> E \cdot \cos({\delta}) = e + {15 \over 8} \cdot m \cdot e \cdot \cos({2 \cdot (\alpha' -sole)})</math>

:<math> E \cdot \mathrm{sen}({\delta}) = {15 \over 8} \cdot m \cdot e \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>

da cui si possono ricavare <math> E </math> e <math> \tan({\delta}) </math>; approssimativamente vale

:<math> E = e \cdot(1 + {15 \over 8} \cdot m \cdot \cos({2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>

:<math> \delta = {15 \over 8} \cdot m \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>

il termine <math> {5 \over 4} \cdot e^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha}))</math> può anche, al secondo ordine, essere espresso da

:<math> {5 \over 4} \cdot E^2 \cdot \mathrm{sen}(2 \cdot ({c \cdot p \cdot t - \alpha + \delta}))</math>

e così le [[longitudine|Longitudini]] diventano

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot E \cdot \mathrm{sen}({c \cdot p \cdot t - \alpha + \delta}) + {5 \over 4} \cdot E^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (c \cdot p \cdot t - \alpha + \delta)})</math>

:<math> \theta = p \cdot t + 2 \cdot E \cdot \mathrm{sen}({p \cdot t - \alpha' + \delta}) + {5 \over 4} \cdot E^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (p \cdot t - \alpha' + \delta)})</math>

Gli ultimi due termini costituiscono la “Ineguaglianza Ellittica” di un'[[orbita]] di eccentricità <math> E </math> e [[longitudine]] della linea degli [[apside|Apsidi]] <math> \alpha' - \delta </math> [<math> E </math> è variabile nel tempo]; pertanto la [[Evezione]], presa in unione con l'Ineguaglianza Ellittica, ha l'effetto di rendere l'eccentricità dell'[[orbita]] della [[Luna]] variabile, incrementandola di <math> {15 \over 8} \cdot m \cdot e</math> quando la linea degli [[apside|Apsidi]] transita per le [[Sizigie]], e diminuendola della stessa quantità quando la linea degli [[apside|Apsidi]] passa per le [[quadratura (astronomia)|Quadrature]]; l'espressione generale dell'incremento vale

:<math> {15 \over 8} \cdot m \cdot e \cdot \cos({2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>

un altro effetto di questo termine è quello di diminuire la [[longitudine]] dell'asse, calcolata nell'ipotesi di moto uniforme, della quantità <math> \delta = {15 \over 8} \cdot m \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (\alpha' - sole)})</math>; così l'asse della linea degli [[apside|Apsidi]] è dietro a quello medio nel primo o il terzo quadrante quando è in anticipo rispetto al [[Sole]], e davanti quando è nel secondo o quarto quadrante. Il ciclo di queste variazioni dovrà essere evidentemente completato in un periodo di mezza rivoluzione del [[Sole]] rispetto all'asse degli [[apside|Apsidi]], cioè circa in <math> {9 \over 16}</math> di un anno.

Il periodo della [[Evezione]] in sé, indipendentemente dagli effetti sull'[[orbita]], è il tempo in cui l'argomento

:<math> (2 - 2 \cdot m - c) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta + \alpha</math>

si incrementa di <math> 2 \cdot \pi </math>. Pertanto il periodo della [[Evezione]] vale

:<math> {2 \cdot \pi \over (2 - 2 \cdot m - c) \cdot p} = \mathrm{mese\ siderale\ medio \over 2 - 2 \cdot m - c} =</math>

:<math> = \mathrm{mese\ siderale\ medio \over 1 - 2 \cdot m + {3 \over 4} \cdot m^2} \simeq 31,8</math> giorni, circa; il valore accurato vale 31,8119 giorni. [[Isaac Newton|Newton]] ha considerato la [[Evezione]] nella Proposizione 66, Corollario 9 dei ''Principia''.

==== Termine calcolato con metodo numerico moderno ====

Il coefficiente del ''[[seno (matematica)|seno]]'' è espresso in milionesimi di grado angolare

:<math> 1274027 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot D - M'}) \simeq (1{,}27^\circ) \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot D - M'}) </math>

===Variazione===
Si deve spiegare il significato del termine <math> + {11 \over 8} \cdot m^2 \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta})</math> inserito nella espressione della [[Longitudine]] della [[Luna]]

:<math> \theta = p \cdot t + {11 \over 8} \cdot m^2 \cdot \mathrm{sen}({(2 - 2 \cdot m) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta})</math>

siano

:<math> luna = p \cdot t =</math> Longitudine media della Luna

:<math> sole = m \cdot p \cdot t + \beta =</math> Longitudine media del Sole

allora il valore di <math> \theta </math> diventa

:<math> \theta = p \cdot t + {11 \over 8} \cdot m^2 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (luna - sole)})</math>

ciò mostra come dalle [[Sizigie]] alle [[quadratura (astronomia)|Quadrature]] la posizione “vera” della [[Luna]] sia prima della [[Luna]] “media”, e dopo dalle [[quadratura (astronomia)|Quadrature]] alle [[Sizigie]]; la massima differenza è data da <math> {11 \over 8} \cdot m^2 </math> negli [[ottante (geometria)|ottanti]]. La [[velocità angolare]] della [[Luna]], per quanto riguarda questo singolo termine, vale circa

:<math> {d \theta \over dt} = p + {11 \over 4} \cdot (1 - m) \cdot m^2 \cdot p \cdot \cos({2 \cdot (luna - sole)}) =</math>

:<math> = p \cdot (1 + {11 \over 4} \cdot m^2 \cdot \cos({2 \cdot (luna - sole)}))</math>

il secondo termine mostra come essa superi <math> p </math> alle [[Sizigie]], sia uguale a <math> p </math> negli [[ottante (geometria)|ottanti]], sia minore di ''p'' nelle [[quadratura (astronomia)|Quadrature]]. Questa ineguaglianza è chiamata “Variazione” e il suo periodo è dato dall'argomento <math> (2 - 2 \cdot m) \cdot p \cdot t - 2 \cdot \beta </math> incrementato di <math> 2 \cdot \pi </math>

periodo della variazione = <math> = {2 \cdot \pi \over 2 \cdot(1 - m) \cdot p} = </math>

:= <math> = \mathrm{mese\ sinodico\ medio \over 2} \simeq 14{,}75 </math> giorni.

La quantità <math> {11 \over 8} \cdot m^2 </math> è solo il primo di una interminabile serie di termini che costituiscono il coefficiente della Variazione; gli altri termini sono ottenuti con approssimazioni ad ordini superiori. Il termine successivo vale <math> = {59 \over 12} \cdot m^3 </math>, che è circa <math> = {3 \over 11} </math> del primo termine; ci sono molti altri termini importanti, ed è solo con l'approssimazione agli ordini superiori (almeno al 5º ordine) che il valore del coefficiente può essere ottenuto con sufficiente accuratezza a partire dalla teoria. Infatti il termine <math> = {11 \over 8} \cdot m^2 </math> dà un coefficiente di 26' 27'’, mentre il valore accurato vale 39' 30'’. Le stesse considerazioni si applicano ai coefficienti degli altri termini.

Espresso con la precisione del secondo ordine <math> {11 \over 8} \cdot m^2 </math>, questo coefficiente della Variazione è indipendente dall'eccentricità <math> e </math> e dall'inclinazione dell'orbita <math> k </math>. Questa [[perturbazione (astronomia)|perturbazione]] capiterebbe dunque anche in un'[[orbita]] originariamente circolare, il cui piano coincidesse col piano dell'[[Eclittica]]: è certo che [[Isaac Newton|Newton]] ne ha tenuto conto. ''Principia'' Proposizione 66, Corollari 3, 4, 5.

'''Variazione''' calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente del ''[[seno (matematica)|seno]]'' è espresso in milionesimi di grado angolare

:<math> 658314 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot D}) \simeq (0{,}66^\circ) \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot D}) </math>

===Equazione annua===
Si deve spiegare il significato del termine <math> - 3 \cdot m \cdot e' \cdot \mathrm{sen}({m \cdot p \cdot t + \beta -\zeta})</math> inserito nell'espressione della [[Longitudine]] della [[Luna]]

<math> \theta = p \cdot t - 3 \cdot m \cdot e' \cdot \mathrm{sen}({m \cdot p \cdot t + \beta -\zeta}) =</math>

<math> = p \cdot t - 3 \cdot m \cdot e' \cdot \mathrm{sen}(\mathrm{sole - longitudine\ perigeo\ del\ sole})</math>

<math> = p \cdot t - 3 \cdot m \cdot e' \cdot \mathrm{sen}(\mathrm{anomalia\ del\ sole})</math>

pertanto, mentre il [[Sole]] si muove dal suo [[perigeo]] a suo [[apogeo (astronomia)|apogeo]], la posizione vera della [[Luna]] è dietro a quella media; e dall'[[apogeo (astronomia)|apogeo]] al [[perigeo]] prima di quella media. Il periodo è dato dall'anno anomalistico ed è per questo che viene denominata ''Equazione Annua''.

si differenzi ora <math> \theta </math> rispetto al tempo:

:<math> {d \theta \over dt} = p \cdot ( 1 - 3 \cdot m^2 \cdot e' \cdot \cos(\mathrm{anomalia\ del\ sole}))</math>

pertanto, per quanto riguarda questa [[perturbazione (astronomia)|perturbazione]], la [[velocità angolare]] della [[Luna]] è minore quando il [[Sole]] è al [[Perigeo]], il che accade attualmente attorno a primi di gennaio; è maggiore quando il [[Sole]] è all'[[apogeo (astronomia)|apogeo]], attorno ai primi di luglio.

L'Equazione Annua è, a questo ordine di precisione, indipendente dall'eccentricità e inclinazione dell'[[orbita]] della [[Luna]], e pertanto sarebbe identica anche nel caso di [[orbita]] originariamente circolare. [[Isaac Newton|Newton]], ''Principia'', Proposizione 66, Corollario 6.

'''Equazione annua''' calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente del ''[[seno (matematica)|seno]]'' è espresso in milionesimi di grado angolare

:<math> -185116 \cdot \mathrm{sen}({M}) \simeq (- 0{,}19^\circ) \cdot \mathrm{sen}({M}) </math>

===Riduzione===
Si deve spiegare il significato del termine <math> - {k^2 \over 4} \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot (g \cdot p \cdot t - \gamma)})</math>

L'argomento della funzione ''[[seno (matematica)|seno]]'' è dato dal doppio dello "'''Argomento della [[Latitudine]]'''" della [[Luna]]. Il terminine, pertanto, equivale alla differenza tra la [[longitudine]] misurata sull'[[orbita]] e la [[longitudine]] misurata sull'[[eclittica]]; la Riduzione è semplicemente una conseguenza geometrica dell'inclinazione dell'[[orbita]]; misurando sull'[[orbita]], i termini periodici svaniscono.

'''Riduzione''' calcolata con metodo numerico moderno

Il coefficiente del ''[[seno (matematica)|seno]]'' è espresso in milionesimi di grado angolare

:<math> -114332 \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot F}) \simeq (- 0{,}11^\circ) \cdot \mathrm{sen}({2 \cdot F}) </math>

==Ulteriori moti della Luna==
===Accelerazione Secolare della Luna - nota storica===
{{vedi anche|Accelerazione secolare della Luna}}
[[Edmond Halley|Halley]], intorno al 1693, trovò, comparando le [[eclissi]] degli antichi con quelle moderne, che la rivoluzione media della [[Luna]] era alla sua epoca percorsa in un tempo più breve di quello registrato tramite le [[eclissi]] dai Caldei e dai Babilonesi.

La causa di questo fenomeno rimase sconosciuta fino a che, nel 1787, [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] ne diede una spiegazione convincente. [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] scoprì che il moto <math> p </math> della [[Luna]] è anche influenzato dalla [[eccentricità orbitale|eccentricità]] <math> e' </math> dell'orbita del [[Sole]] attorno alla [[Terra]] (si ricorda che in questa trattazione il riferimento è geocentrico).

La eccentricità dell'[[orbita]] della [[Terra]] (o quella del [[Sole]], in un riferimento geocentrico), è infatti perturbata dal moto di tutti gli altri pianeti.

All'epoca presente il valore di <math> p </math> è in aumento, pertanto il moto risulta accelerato, e continuerà così per molto, ma non per sempre. In tempi lontanissimi l'azione dei pianeti cambierà segno e <math> p </math> comincerà a decrescere.

È interessante osservare come l'azione dei pianeti sulla Luna, ad essa trasmessa attraverso le [[perturbazione (astronomia)|perturbazioni]] dell'orbita terrestre, sia più importante della loro azione diretta.

L'accelerazione dovuta alla variazione di <math> e' </math> è solo una delle componenti. Un'altra componente di [[accelerazione secolare della Luna|accelerazione]], lineare nel tempo, è legata agli attriti mareali che la Luna impone alla Terra, con enormi dissipazioni di energia e rallentamento della rotazione terrestre. Per la [[quantità di moto|conservazione della quantità di moto]] del sistema [[Terra]]-[[Luna]], considerato energeticamente isolato, la [[Luna]] deve compensare allontanandosi (oggi al tasso di 3,8 centimetri l'anno).

Pertanto, in un sistema di riferimento siderale la [[Luna]] rallenta. Ma la [[periodo di rotazione|rotazione]] della [[Terra]] diminuisce, come si è già detto. Il risultato finale è che, in un riferimento geocentrico, la [[Luna]] accelera.

===Moti della Luna legati alla non sfericità (''oblateness'') della Terra - nota storica===
A causa della non perfetta sfericità della [[Terra]], devono essere introdotte ulteriori correzioni.

[[Pierre Simon Laplace|Laplace]], nell'esaminare questi effetti, trovò che essi potevano con adeguatezza essere spiegati come termini correttivi della [[longitudine]] della [[Luna]], come [[Christian Mayer (astronomo)|Mayer]] aveva scoperto tramite osservazione, e che l'argomento della funzione periodica era la [[Longitudine]] "vera" del [[asse nodale|nodo]] ascendente della [[Luna]].

Di converso, dalla comparazione dell'osservato con le espressioni formali dei coefficienti di questi termini, si può dedurre lo [[rigonfiamento equatoriale|schiacciamento terrestre]] con grande accuratezza, paragonabile a quella delle misure effettuate sulla superficie stessa.

Proseguendo le sue investigazioni, [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] trovò che, nella espressione della [[latitudine]] della [[Luna]], compare un termine il cui argomento è la [[longitudine]] "vera" della [[Luna]] stessa.

Questo termine, mai ipotizzato prima, è altresì utile al calcolo dello [[rigonfiamento equatoriale|schiacciamento terrestre]], e la corrispondenza col misurato è quasi perfetta; fornisce una compressione di circa <math> {1 \over 305} </math>, che corrisponde ad una media degli equivalenti valori ottenuti con altri metodi.

===Perturbazione di Venere - nota storica===
Dopo che l'espressione della [[longitudine]] della [[Luna]] è stata ottenuta col "[[problema dei tre corpi|modello dei tre corpi ristretto]]", furono trovate ulteriori deviazioni mediante osservazione.

Intorno al [[1848]] il professor [[Peter Andreas Hansen|Hansen]], di [[Seeberg]] in Gotha, aveva iniziato una revisione della Teoria della [[Luna]], trovando due termini, fino a quel momento trascurati, dovuti alla azione di [[Venere (astronomia)|Venere]].

* Il primo agisce in modo diretto e scaturisce da una significativa relazione numerica tra il moto anomalistico della [[Luna]] e il moto siderale di [[Venere (astronomia)|Venere]];
* Il secondo agisce in modo indiretto e scaturisce da una ineguaglianza di lungo periodo tra i moti della [[Terra]] e quelli di [[Venere (astronomia)|Venere]].

I periodi delle due ineguaglianze sono estremamente lunghi, il primo di 273 anni ed il secondo di 239 anni; le loro ampiezze sono rispettivamente di 27,4<nowiki>''</nowiki> e 23,2<nowiki>''</nowiki> ([[arcosecondo|arcosecondi]]). Ne vediamo un commento nelle parole di Sir John Hershel in una prolusione alla Royal Astronomical Society:

«Queste sono quantità significative in paragone ad alcune delle ineguaglianze già riconosciute nel moto della [[Luna]] ... la loro scoperta può essere considerata un completamento di fatto della Teoria della [[Luna]], almeno nel nostro tempo, e stabilisce la conformità assoluta della teoria di [[Isaac Newton|Newton]] e delle sue applicazioni analitiche a questo [[satellite naturale|satellite]] ''ribelle''»

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{en}} Hugh Godfray, [https://archive.org/details/elementarytreati032646mbp ''An Elementary Treatise on the Lunar Theory'']. M.A., Fourth Edition - London & New York - ''MacMillan and Co.'', (1885).
*Isaac Newton, a cura di Ludovico Geymonat, ''Principi Matematici della Filosofia Naturale''. Classici della Scienza, UTET, 1989.
* {{en}} ''Lunar Tables and Programs from 4000 B.C. to A.D. 8000'' M.Chapront-Touzé, ''Willmann-Bell'', 1991.
* {{fr}} J. Chapront, M. Chapront-Touzé, G. Francou, ''Introduction dans ELP 2000-82B de nouvelles valeurs des paramètres de la Lune et du barycentre Terre-Lune''. Parigi, gennaio 1998.
* {{en}} ''Astronomical Algorithms'' Jean Meeus - ''William-Bell, Inc'', 1998

==Voci correlate==
{{Colonne}}
*[[Accelerazione secolare della Luna]]
*[[Afelio]]
*[[Anomalia eccentrica]]
*[[Anomalia media]]
*[[Anomalia vera]]
*[[Apside]]
*[[Argomento del perielio]]
{{Colonne spezza}}
*[[Eccentricità orbitale]]
*[[Ellitticità]]
*[[Elongazione]]
*[[Evezione]]
*[[Leggi di Keplero]]
*[[Mese siderale]]
*[[Mese sinodico]]
{{Colonne spezza}}
*[[Perielio]]
*[[Periodo di rivoluzione]]
*[[Perturbazione (astronomia)]]
*[[Piano orbitale]]
*[[Precessione]]
*[[Problema dei due corpi]]
*[[Problema dei tre corpi]]
{{Colonne spezza}}
*[[Quadratura (astronomia)]]
*[[Retrogradazione dei nodi]]
*[[Risonanza orbitale]]
*[[Rotazione sincrona]]
*[[Semiasse maggiore]]
*[[Sizigia]]
*[[Velocità orbitale]]
{{Colonne fine}}

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/planetfact.html|NASA Planetary Fact Sheets|lingua=en}}

{{Portale|astronomia|matematica}}

[[Categoria:Meccanica celeste]]