Visualizza wikitesto di Interazione spin-orbita

In [[chimica]] e [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], l''''interazione spin-orbita''', anche detta '''accoppiamento spin-orbita''', è il fenomeno secondo il quale lo [[spin]] di una particella risente del moto della particella stessa. L'osservazione più diffusa di tale fenomeno riguarda lo spin dell'[[elettrone]] di un [[atomo]], che risente del [[campo magnetico]] generato dal suo stesso moto orbitale attorno al [[nucleo atomico]]: tale interazione è spiegata attraverso la [[composizione di momenti angolari (meccanica quantistica)|composizione di momenti angolari]] in meccanica quantistica.

Il fenomeno può essere spiegato utilizzando la [[meccanica classica]] giustificando il [[momento magnetico]] atomico con la rotazione degli elettroni intorno al nucleo e supponendo che il momento magnetico di spin sia generato da una rotazione dell'elettrone intorno al proprio asse<ref>Tuttavia questa spiegazione non è soddisfacente nemmeno in termini classici, perché per giustificare il valore del momento magnetico di spin, l'elettrone dovrebbe ruotare con una velocità tangenziale superiore a quella della luce, contraddicendo la [[relatività speciale]].</ref>.

Tenendo conto del [[Struttura fine|termine di Darwin]] e di altri effetti relativistici, l'interazione spin-orbita contribuisce alle spiegazione delle [[struttura fine]] dei livelli energetici atomici, ossia la rimozione della degenerazione di tali livelli energetici nella [[risonanza paramagnetica elettronica]]: tale effetto viene rilevato dallo sdoppiamento delle linee spettrali nell'analisi [[spettroscopia|spettroscopica]]. Tuttavia, solo la [[teoria quantistica dei campi]] può calcolare correttamente il valore del [[rapporto giromagnetico]] per l'elettrone, circa pari a 2.

==Energia del momento magnetico==
{{vedi anche|Momento magnetico}}
L'energia del momento magnetico in un [[campo magnetico]] è data da

:<math>H_{magn} =-\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{B},</math>

dove '''μ''' è il momento magnetico della particella e '''B''' il campo magnetico.

Un elettrone in movimento in un [[campo elettrico]] risente, nel [[sistema di riferimento]] solidale con esso, di un campo magnetico dato da

:<math>\mathbf{B} = - {\mathbf{v} \times \mathbf{E}\over c^2},</math>

dove '''v''' è la velocità dell'elettrone e '''E''' il campo elettrico che attraversa. Essendo quest'ultimo un campo radiale, possiamo riscrivere
:<math>\mathbf{E} =\left | {E\over r}\right| \mathbf{r} </math>

Essendo il momento dell'elettrone
:<math>\mathbf{p} =m_e \mathbf{v} </math>

sostituendo nella precedente e cambiando l'ordine del prodotto si ottiene:

:<math>\mathbf{B} = {\mathbf{r}\times\mathbf{p}\over m_ec^2} \left | {E\over r}\right|. </math>

Essendo, poi,

:<math>\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}V</math>

nell'approssimazione di campo centrale si può scrivere:

:<math>\left | E\right| = \left |{\partial V \over \partial r}\right|={1\over e}{\partial U(r) \over \partial r},</math>

dove <math>U=Ve</math> è l'[[energia potenziale]] dell'elettrone in tale campo.<br />
Sapendo che il [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare]] è

:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>

si ottiene in definitiva

:<math>\mathbf{B} = {1\over m_eec^2}{1\over r}{\partial U(r) \over \partial r} \mathbf{L}. </math>

Si noti che ''B'' è un numero positivo moltiplicato per ''L'', ovvero il campo magnetico è parallelo al momento angolare orbitale.

===Momento magnetico===
Il momento magnetico dell'elettrone è

:<math>\mathbf{\mu} = -\frac{g_s\mu_B\mathbf{S}}{\hbar},</math>

dove <math>\mathbf{S}</math> è lo spin, <math>\mu_B</math> il [[magnetone di Bohr]] e <math>g_s\approx 2</math> la costante ''g''. Dalla definizione di <math>\mathbf{\mu}</math> risulta che il momento magnetico è antiparallelo rispetto allo spin.

L'energia di interazione è poi

:<math>H_{magn} = -\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{B}</math>

Sostituendo nella precedente espressione:

:<math>-\mathbf{\mu}\cdot\mathbf{B} = {2\mu_B\over \hbar m_e e c^2}{1\over r}{\partial U(r) \over \partial r} (\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}) </math>

==Spostamento dei livelli energetici==
Grazie alle approssimazioni precedenti è possibile valutare lo spostamento dei livelli energetici; in particolare si trova una base di autostati che diagonalizza sia ''H<sub>0</sub>'', l'[[operatore hamiltoniano|Hamiltoniana]] non perturbata, che ''ΔH''. Per trovare tale base è necessario definire l'[[operatore momento angolare totale]]

:<math>\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}.</math>

che moltiplicato scalarmente per se stesso fornisce:

:<math>J^2=L^2+S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}</math>

dal momento che '''L''' e '''S''' commutano, e quindi

:<math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)</math>

si dimostra che i cinque operatori ''H<sub>0</sub>'', ''J''², ''L''², ''S''², e ''J<sub>z</sub>'' commutano fra loro e con ''ΔH'', e quindi hanno una base comune di autostati nella quale sono diagonali, che è la base cercata. Gli elementi di tale base hanno cinque [[numero quantico|numeri quantici]]: il [[numero quantico principale]] ''n'', il numero quantico del momento angolare totale ''j'', il [[numero quantico azimutale]] ''l'', il [[numero quantico di spin]] ''s'' ed il [[numero quantico magnetico]] ''j<sub>z</sub>'', componente del [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]] lungo l'asse ''z''.

Per valutare i livelli energetici per le funzioni d'onda idrogenoidi si nota che

:<math>\left \langle {1\over r^3} \right \rangle = \frac{2}{a^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}</math>

dove

:<math>a = \frac {\hbar}{Z \alpha m_e c}</math>

è il [[raggio di Bohr]] diviso per la carica nucleare, e

:<math>\left \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \right \rangle={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) = {\hbar^2\over 2}(j(j+1) - l(l+1) -s(s+1))</math>

In conclusione si ottiene

:<math>\Delta E = {\beta\over 2}(j(j+1) - l(l+1) -s(s+1))</math>

dove

:<math>\beta = {-\mu_B\over m_eec^2}\left\langle{1\over r}{\partial U(r) \over \partial r}\right\rangle</math>

Per l'[[atomo di idrogeno]] il risultato esplicito è:

:<math>\beta (n,l) = {\mu_0\over 4\pi}g_s\mu_B^2{1\over n^3a_0^3l(l+1/2)(l+1)}</math>

Per un atomo con numero atomico Z ed una singola ionizzazione:

:<math>\beta (n,l) = Z^4{\mu_0\over 4\pi}g_s\mu_B^2{1\over n^3a_0^3l(l+1/2)(l+1)}</math>

==Accoppiamento spin-orbita==
{{vedi anche|Composizione di operatori momento angolare}}
L'accoppiamento spin-orbita descrive la debole interazione tra il momento angolare orbitale totale e lo spin totale degli elettroni di un atomo: a seconda che l'atomo considerato sia leggero ([[numero atomico]] Z inferiore a 10) o pesante (maggiore di 10) l'accoppiamento tra diversi momenti angolari all'interno dell'atomo può manifestarsi in due modi diversi, rispettivamente attraverso l'accoppiamento di Russell-Saunders e l'accoppiamento jj.

===Accoppiamento di Russell-Saunders===
{{vedi anche|accoppiamento di Russell-Saunders}}
L'accoppiamento di Russell-Saunders è uno schema di accoppiamento spin-orbita che descrive l'interazione tra il momento angolare orbitale totale e lo spin totale basato sul modello vettoriale dell'atomo. Esso prevede che l'accoppiamento nel caso vi siano atomi leggeri sia efficace solo quando i momenti orbitali agiscono cooperativamente: i momenti di spin '''s'''<sub>''i''</sub> interagiscono fra di loro formando un momento angolare di spin totale '''S'''; la stessa cosa avviene per i momenti angolari orbitali che si sommano ottenendo il momento angolare orbitale totale '''L'''. L'interazione tra '''L''' e '''S''', anche detta ''accoppiamento LS'', è formalmente definita dal momento angolare totale '''J''' dato da:

:<math>\mathbf J = \mathbf L + \mathbf S = \sum_i \mathbf{l}_i + \sum_i \mathbf{s}_i</math>

Questa approssimazione è valida finché il campo magnetico è debole; nel caso contrario i due momenti si disaccoppiano dando luogo alla separazione dei livelli energetici: tale fenomeno è noto come ''effetto Paschen-Back''.

===Accoppiamento jj===
{{vedi anche|Accoppiamento jj}}
L'accoppiamento jj è uno schema di accoppiamento spin-orbita valido quando si considerano atomi pesanti: in tali atomi l'interazione spin-orbita diventa tanto grande quanto l'interazione spin-spin o tra momenti angolari orbitali, ed ogni momento angolare orbitale tende ad accoppiarsi con ogni proprio spin individuale, originando un momento angolare totale dato da

:<math>\mathbf J = \sum_i \mathbf j_i = \sum_i (\mathbf{l}_i + \mathbf{s}_i)</math>

da cui il nome ''accoppiamento jj''.

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro|Albert|Messiah|Mécanique quantique, tome 1|1966|Dunod}}
* {{cita libro|Paul|Dirac|I principi della meccanica quantistica|1971|Bollati Boringhieri}}
* {{cita libro|John|von Neumann|Mathematical foundations of Quantum Mechanics|1955|Princeton University Press}}
* {{cita libro|Stephen|Gustafson|Mathematical concepts of quantum mechanics|2006|Springer||coautori=Israel M. Sigal}}
* {{cita libro|Franz|Schwabl|Quantum mechanics|2002|Springer}}
* {{cita libro|Franco|Strocchi|An introduction to the mathematical structure of quantum mechanics, a short course for mathematicians|2005|World Scientific Publishing}}
* {{cita libro|Lev D. Landau;|Evgenij M. Lifsits|Meccanica Quantistica Teoria non relativistica|II Edizione marzo 1994|Editori riuniti|Roma|}}
* L. Pauling ed E. B. Wilson ''[https://www.archive.org/details/introductiontoqu031712mbp Introduction To Quantum Mechanics With Applications To Chemistry]'' (McGrawHill, New York, 1935)
* S. Dushman ''[https://www.archive.org/details/elementsofquantu031067mbp The Elements of Quantum Mechanics]'' (John Wiley & Sons, New York, 1938)
* M. Planck, L. Silberstein e H. T. Clarke ''[https://www.archive.org/details/origindevelopmen00planrich The origin and development of the quantum theory]'' (Clarendon Press, Oxford, 1922)
* F. Reiche, H. Hatfield, e L. Henry ''[https://www.archive.org/details/quantumtheory00reiciala The quantum theory ]'' (E. P. Dutton & co., New York, 1922)
* J. F. Frenkel ''[https://www.archive.org/details/wavemechanics030681mbp Wave Mechanics: Advanced General Theory]'' (Clarendon Press, Oxford, 1934)
* N. F. Mott ''[https://www.archive.org/details/elementsofwaveme031632mbp Elements of Wave Mechanics]'' (Cambridge University Press, 1958)
* {{cita libro|Gian Carlo|Ghirardi|Un'occhiata alle carte di Dio|1997|Net}}
* V. Moretti ''[https://www.springer.com/math/applications/book/978-88-470-1610-1 Teoria Spettrale e Meccanica Quantistica. Operatori in Spazi di Hilbert]'' (Springer-Verlag, 2010)

== Voci correlate ==
*[[Composizione di momenti angolari (meccanica quantistica)|Composizione di momenti angolari]]
*[[Accoppiamento di Russell-Saunders]]
*[[Accoppiamento jj]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|commons=Category:Quantum mechanics|commons_preposizione=sulla|b=Meccanica quantistica|b_preposizione=sulla|q|q_preposizione=sulla|wikt=meccanica quantistica|etichetta=meccanica quantistica}}

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web | 1 = http://people.na.infn.it/~pq-qp/notes/nicodemi.pdf | 2 = Appunti sulla meccanica quantistica ''(formato pdf)'' | accesso = 29 agosto 2013 | dataarchivio = 11 gennaio 2012 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20120111192132/http://people.na.infn.it/~pq-qp/notes/nicodemi.pdf | urlmorto = sì }}
* {{cita web|1=http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html|2=Raccolta di simulazioni interattive sulla meccanica quantistica|lingua=en|accesso=29 agosto 2013|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20141006050823/http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html|dataarchivio=6 ottobre 2014|urlmorto=sì}}
* Sigfrido Boffi [http://www.pv.infn.it/~boffi/libro.html Da Laplace a Heisenberg] ([[Università di Pavia]])
* Furio Ercolessi e Stefano de Gironcoli [https://web.archive.org/web/20160304104805/http://www.fisica.uniud.it/~ercolessi/MQ/mq/ appunti di meccanica quantistica] ([[Università di Udine]] e [[SISSA]])
* E. Bodo [https://web.archive.org/web/20130718070235/http://w3.uniroma1.it/bodo/dispense/appl.pdf Applicazioni di meccanica quantistica] (Università [[Sapienza Università di Roma]])
* [https://web.archive.org/web/20140806222957/http://theory.fi.infn.it/ademollo/Fondamenti.pdf I fondamenti della meccanica quantistica] ([[Università di Firenze]])
* {{cita web | 1 = http://dl.getdropbox.com/u/714247/quantistica.pdf | 2 = Appunti di Meccanica Quantistica non relativistica | urlmorto = sì }}

{{Portale|chimica|quantistica}}

[[Categoria:Fisica atomica]]
[[Categoria:Chimica quantistica]]
[[Categoria:Spintronica]]