Visualizza wikitesto di Instabilità di Saffman-Taylor


[[File:Viscous_fingers_in_a_TiO2_sol-gel_thin_film_formed_from_a_Saffman-Taylor_instability._200x_magnification_reflected_light.tif|miniatura| Esempio di fingering viscoso in una cella di Hele-Shaw.]]
L''''instabilità di Saffman-Taylor''', nota anche come '''fingering viscoso''', è un processo di formazione di pattern (con una forma che ricorda delle dita) causato da un'[[instabilità fluidodinamica]] in un'[[Interfaccia (chimica)|interfaccia]] tra due fluidi con [[viscosità]] differente all'interno di un [[mezzo poroso]], descritta matematicamente da [[Philip Saffman]] e [[Geoffrey Ingram Taylor|G. I. Taylor]] in un articolo del 1958.<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|autore=Saffman, P. G.|autore2=Taylor, G. I.|data=1958-06-24|titolo=The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid|rivista=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|volume=245|numero=1242|pp=312-329|lingua=en|accesso=2024-10-02|doi=10.1098/rspa.1958.0085|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1958.0085}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=G M|cognome=Homsy|data=1987-01|titolo=Viscous Fingering in Porous Media|rivista=Annual Review of Fluid Mechanics|volume=19|numero=1|pp=271-311|lingua=en|accesso=2024-10-02|doi=10.1146/annurev.fl.19.010187.001415|url=https://www.annualreviews.org/doi/10.1146/annurev.fl.19.010187.001415}}</ref> 

Il processo avviene quando un fluido meno viscoso viene iniettato all'interno del mezzo, spostando un preesistente fluido più viscoso, mentre nel caso opposto l'interfaccia fra i due fluidi è stabile. Un fenomeno analogo, dovuto però alla differenza di [[densità]] (sotto l'effetto della gravità) è l'[[instabilità di Rayleigh-Taylor]], nel caso in cui un fluido più pesante è posto al di sopra di uno più leggero.

Ciò si verifica quando viene iniettato un fluido meno viscoso, che ne sposta uno più viscoso; nella situazione inversa, in cui il fluido più viscoso sposta l'altro, l'interfaccia è stabile e non si osserva alcuna instabilità. In sostanza, lo stesso effetto si verifica sotto la spinta della gravità (senza iniezione) se l'interfaccia è orizzontale e separa due fluidi di densità diversa, con quello più pesante sopra l'altro: questo fenomeno è noto come [[instabilità di Rayleigh-Taylor]].

La maggior parte degli studi sperimentali sul fingering viscoso vengono condotti utilizzando [[Hele-Shaw cell|celle di Hele-Shaw]], costituite da due lastre di vetro parallele e ravvicinate, contenenti un fluido viscoso. Le due configurazioni più comuni sono la configurazione a canale, in cui il fluido meno viscoso viene iniettato ad un'estremità, e la configurazione radiale, in cui il fluido meno viscoso invece viene iniettato al centro della cella. Nella configurazione rettangolare il sistema evolve fino a formare un singolo dito, mentre nella configurazione radiale il pattern si evolve formando sempre più "dita" mediante successive divisioni delle punte.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=E.|cognome=Lajeunesse|nome2=Y.|cognome2=Couder|data=2000-09|titolo=On the tip-splitting instability of viscous fingers|rivista=Journal of Fluid Mechanics|volume=419|pp=125-149|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.1017/S0022112000001324|url=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/on-the-tipsplitting-instability-of-viscous-fingers/C174B7B4E8F0D20C6426A00C7ECEF846}}</ref>

Il fenomeno si può verificare ad esempio nel suolo durante processi di [[Drenaggio sottosuperficiale|drenaggio]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Shuoqi|cognome=Li|nome2=Mingchao|cognome2=Liu|nome3=Dorian|cognome3=Hanaor|coautori=Yixiang Gan|data=2018-11-01|titolo=Dynamics of Viscous Entrapped Saturated Zones in Partially Wetted Porous Media|rivista=Transport in Porous Media|volume=125|numero=2|pp=193-210|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.1007/s11242-018-1113-3|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s11242-018-1113-3}}</ref> Instabilità analoghe al fingering viscoso possono anche essere osservate in contesti biologici.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=William|cognome=Mather|nome2=Octavio|cognome2=Mondragón-Palomino|nome3=Tal|cognome3=Danino|coautori=Jeff Hasty e Lev S. Tsimring|data=2010-05-19|titolo=Streaming Instability in Growing Cell Populations|rivista=Physical Review Letters|volume=104|numero=20|lingua=en|accesso=2024-11-02|doi=10.1103/PhysRevLett.104.208101|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.104.208101}}</ref>

== Derivazione matematica nel caso di interfaccia planare ==
Il caso più semplice è quello di un'interfaccia [[Piano (geometria)|planare]], che fu l'oggetto del lavoro originale di Saffman e Taylor,<ref name=":0" /> anche se era già stato oggetto di studio in precedenza.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=S.|cognome=Hill|nome2=F. Inst.|cognome2=P|data=1952-01-01|titolo=Channeling in packed columns|rivista=Chemical Engineering Science|volume=1|numero=6|pp=247-253|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.1016/0009-2509(52)87017-4|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0009250952870174}}</ref> Un fluido con viscosità <math>\mu_1</math> viene spinto nella direzione <math>x</math> all'interno di un altro fluido con viscosità <math>\mu_2</math> con una certa velocità <math>V</math>. Ipotizzando che il mezzo poroso abbia una [[permeabilità]] <math>\Pi</math> costante e isotropa, dalla [[legge di Darcy]] (per la quale la velocità è proporzionale al [[Gradiente (matematica)|gradiente]] della pressione) si ottiene il campo di pressione, nel caso non perturbato, nei due fluidi <math>i=1,\,2</math>:<math display="block">p^{(0)}_i = p_{\text{int}} - \frac{V \mu_i}{\Pi}x,</math>dove <math>p_{\text{int}}</math> è la pressione all'interfaccia, assumendo un [[sistema di riferimento]] in cui essa è posta a <math>x=0</math>. Se tale interfaccia viene perturbata con <math>x=\eta_0 \exp{\left(\mathrm{i}ky + \sigma t\right)}</math> (assumendo ampiezza <math>\left|\eta_0\right| \ll 1</math> infinitesima, e decomposizione in modi normali nel piano <math>x-y</math> con <math>k</math> il [[vettore d'onda]] nella direzione <math>y</math> e <math>\sigma</math> il tasso di crescita dell'instabilità), il campo di pressione diventa:<math display="block">p_i = p^{(0)}_i + p'_i\left(x\right)\exp{\left(\mathrm{i}ky+\sigma t\right)}.</math>Combinando l'incompressibilità del campo di velocità con la legge di Darcy, si trova che il campo di pressione deve essere [[Funzione armonica|armonico]] (ossia soddisfare l'[[equazione di Laplace]] <math>\nabla^2 p'_i = 0</math>), e richiedendo come [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]] che la perturbazione vada a zero per <math>x \to \pm \infty</math>, si trovano <math>p'_1 = \tilde{p}_1 e^{kx}</math> e <math>p'_2 = \tilde{p}_2 e^{-kx}</math>, con <math>\tilde{p}</math> delle costanti da ricavare imponendo la condizione di [[Continuità (matematica)|continuità]] della pressione all'interfaccia. Linearizzando, imponendo che la velocità del fluido nella direzione <math>x</math> corrisponda alla velocità dell'interfaccia, e combinando con la legge di Darcy si trova:<math display="block">-\frac{\Pi}{\mu_i}\left.\frac{\partial p'_i}{\partial x}\right|_{x=0} = \sigma \eta_0,</math>da cui <math>\tilde{p}_1 = -\frac{\sigma\eta_0\mu_1}{\Pi k}</math> e <math>\tilde{p}_2 = \frac{\sigma\eta_0\mu_2}{\Pi k}</math>. 

Imponendo che i due campi di pressione siano uguali all'interfaccia:<math display="block">-V \mu_1 - \frac{\sigma \mu_1}{k} = -V \mu_2 + \frac{\sigma \mu_2}{k},</math>da cui <math>\sigma = kV\left(\mu_2 - \mu_1\right)/\left(\mu_1 + \mu_2\right)</math>, il che significa che la perturbazione cresce (e quindi il sistema è instabile) quando <math>\mu_2 > \mu_1</math>, ossia quando il fluido iniettato è meno viscoso del fluido preesistente. 

Tale trattazione semplificata ha il problema di avere la perturbazione non limitata in <math>k</math>, ossia il modo più instabile è quello con <math>k \to \infty</math>. Il problema può essere risolto introducendo effetti di [[tensione superficiale]] (per i quali si ha un salto di pressione all'interfaccia, come descritto dalla [[Relazione di Laplace|legge di Young-Laplace]]),<ref>{{Cita pubblicazione|nome=R.L.|cognome=Chuoke|nome2=P.|cognome2=van Meurs|nome3=C.|cognome3=van der Poel|data=1959-12-01|titolo=The Instability of Slow, Immiscible, Viscous Liquid-Liquid Displacements in Permeable Media|rivista=Transactions of the AIME|volume=216|numero=01|pp=188-194|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.2118/1141-G|url=https://onepetro.org/TRANS/article/216/01/188/161271/The-Instability-of-Slow-Immiscible-Viscous-Liquid}}</ref> per i quali, se <math>\gamma</math> è la tensione superficiale e <math>H_f</math> la [[curvatura media]] dell'interfaccia, si ha:<math display="block">\sigma = \frac{kV\left(\mu_2 - \mu_1\right) - \gamma H_f k^3}{\mu_1 + \mu_2}.</math>Tali termini sopprimono dunque la perturbazione a piccola scala ([[numero d'onda]] elevato) e l'instabilità si osserva al numero d'onda <math>k</math> per cui il tasso di crescita <math>\sigma</math> è massimo.

Nel caso di geometria radiale, il principio di base dell'instabilità rimane lo stesso, e la selezione del numero d'onda più instabile corrisponde a selezionare un dato numero (intero) di "dita".<ref>{{Cita pubblicazione|nome=S. D. R|cognome=Wilson|data=1975-06-01|titolo=A note on the measurement of dynamic contact angles|rivista=Journal of Colloid and Interface Science|volume=51|numero=3|pp=532-534|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.1016/0021-9797(75)90151-4|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0021979775901514}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Lincoln|cognome=Paterson|data=1981-12|titolo=Radial fingering in a Hele Shaw cell|rivista=Journal of Fluid Mechanics|volume=113|pp=513-529|lingua=en|accesso=2024-11-10|doi=10.1017/S0022112081003613|url=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/radial-fingering-in-a-hele-shaw-cell/17685AC1EA92429CFC7B4E94CD824B04}}</ref>

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==

* [[Legge di Darcy]]
* [[Instabilità di Rayleigh-Taylor]]
* [[Instabilità di Kelvin-Helmholtz]]
* [[Instabilità di Rayleigh-Plateau]]
{{Portale|fisica|chimica}}

[[Categoria:Fluidodinamica]]
[[Categoria:Scienza delle superfici]]