Visualizza wikitesto di Implicazione inversa

Nella [[logica]] e nella [[matematica]], la '''inversione''' di un'affermazione categoriale o implicazionale è il risultato dell'inversione delle sue due affermazioni costituenti. Per l'[[implicazione logica|implicazione]] ''P'' &rarr; ''Q'', il '''contrario''' è ''Q'' &rarr; ''P''. Per la proposizione categorica "Ogni S è P", il contrario è "Ogni P è S". In ogni caso, la verità del contrario è generalmente indipendente da quella dell'affermazione originale.<ref name="Audi">Robert Audi, ed. (1999), ''The Cambridge Dictionary of Philosophy'', 2nd ed., Cambridge University Press: "converse".</ref>

==Inversione implicita==
[[File:Venn1101.svg|thumb|[[Diagramma di Venn]] di <math>A \leftarrow B</math> <br/> (l’area di colore bianco mostra dove la proposizione è falsa)]]

Sia S una proposizione della forma P ''implica'' Q (P → Q). Allora l'inverso di S è l'affermazione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo inverso<ref>{{Cita web|url=https://www.thoughtco.com/converse-contrapositive-and-inverse-3126458|titolo=What Are the Converse, Contrapositive, and Inverse?|cognome=Taylor|nome=Courtney|sito=ThoughtCo|lingua=en }}</ref>, a meno che l'[[Antecedente (matematica)|antecedente]] P e la [[conseguente]] Q non siano logicamente equivalenti.

Ad esempio, si consideri la vera affermazione "Se sono un umano, allora sono mortale". Il contrario di tale affermazione è "Se sono mortale, allora sono un umano", il che non è [[verità logica|necessariamente vero]].

Resta invece vero il contrario di un enunciato quando i termini si includono a vicenda, data la verità della proposizione originaria. Ciò equivale a dire che è vero il contrario di una definizione. Pertanto, l'affermazione "Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati" è logicamente equivalente a "Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo", perché la definizione di "triangolo" è "poligono a tre lati". I due termini intermedi "[[triangolo]]" e  "[[poligono]] a tre lati" si appartengono reciprocamente e sono quindi tra loto equivalenti.

Una [[tavola di verità]] chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:

{| class="wikitable" style="text-align:center; background-color: #ddffdd;"
|- bgcolor="#ddeeff"
| <math> P </math> || <math> Q </math> || <math> P \rightarrow Q</math> || <math> P \leftarrow Q </math> (inversione)
|-
| Vero || Vero || Vero || Vero
|-
| Vero || Falso || Falso || Vero
|-
| Falso || Vero || Vero || Falso
|-
| Falso || Falso || Vero || Vero
|}

L'errore di [[affermazione del conseguente|affermare il conseguente]] consiste nel passare da un enunciato al suo contrario. Tuttavia, se l'affermazione S e il suo inverso sono equivalenti (cioè, P è vero [[se e solo se]] anche Q è vero), allora sarà valido affermare anche il conseguente.

L'implicazione inversa è logicamente equivalente alla [[disgiunzione logica|disgiunzione]] di <math>P</math> e <math>\neg Q</math>:

{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
|-
| <math>P \leftarrow Q</math>
| &emsp;&emsp;<math>\Leftrightarrow</math>&emsp;&emsp;
| <math>P</math>
| <math>\lor</math>
| <math>\neg Q</math>
|-
| [[File:Venn1101.svg|50px]]
| &emsp;&emsp;<math>\Leftrightarrow</math>&emsp;&emsp;
| [[File:Venn0101.svg|50px]]
| <math>\lor</math>
| [[File:Venn1100.svg|50px]]
|}

Nel [[linguaggio naturale]], questo potrebbe essere reso "non Q senza P ".

==Inversione di un teorema==
In matematica, l'inverso di un [[teorema]] della forma P → Q sarà Q → P. Il contrario può o non può essere vero, e anche qualora sia vero, la dimostrazione può risultare difficile. Ad esempio, il [[teorema dei quattro vertici]] è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.<ref>{{Cita web|url=https://www.math.colostate.edu/~clayton/research/talks/FourVertexPrint.pdf|titolo=The Four Vertex Theorem and its Converse|cognome=Shonkwiler|nome=Clay|data=6 ottobre, 2006 }}</ref>

In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell'antecedente possono essere assunti per stabilire il contesto: il contrario di "Dato P, se Q allora R "sarà "Dato P, se R allora Q". Ad esempio, il [[teorema di Pitagora]] può essere affermato come:

:Dato un triangolo con i lati ''a'' e ''b'', e lunghezza ''c'', se l'angolo opposto al lato della lunghezza ''c'' è un [[angolo retto]], allora <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.

Il contrario, che appare anche negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi di Euclide]]'' (Libro I, proposizione 48), può essere affermato come:

:Dato un triangolo con i lati di lunghezza ''a'' e ''b'' e base di lunghezza ''c'', ''se'' <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, allora l'angolo opposto al lato della lunghezza c'' è un angolo retto.

===Inversione di una relazione===
[[File:An example of converse property.png|thumb|Inversione di una semplice relazione matematica]]

Se <math>R</math> è una [[relazione binaria]] con <math>R \subseteq A \times B</math>, allora la [[relazione inversa]] <math>R^T = \{ (b,a) : (a,b) \in R</math> è detta '''trasposta'''.<ref>Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) ''Relations and Graphs'', p. 9, Springer books</ref>

==Notazione==
La inversione di un’implicazione ''P'' &rarr; ''Q'' può essere scritta <math>P \leftarrow Q</math>, ma può anche esser denotata come <math>P \subset Q</math>, oppure "B''pq''" (nella notazione di [[Józef Maria Bocheński]]).

==Inversione di una proposizione categorica==
Nella logica tradizionale, si dice inversione il processo che porta a sostituire il termine [[Soggetto (filosofia)|soggetto]] con il termine [[predicato]].  Ad esempio, "Nessun S è P" si inverte in "Nessun P è S".  Nelle parole di [[Asa Mahan]]:

{{citazione|La proposizione originaria si chiama "''exposita''"; una volta invertita, si chiama "inversa". L'inversione è valida quando, e solo quando, nulla è affermato nell{{'}}inversa che non sia affermato o implicito nell'<nowiki />''exposita''.<ref>Asa Mahan (1857) ''The Science of Logic: or, An Analysis of the Laws of Thought'', [https://books.google.com/books?id=J_wtAAAAMAAJ&pg=PA82 p. 82].</ref> }}

L'"exposita" è più comunemente chiamata ''invertenda'' (lett. [[Proposizione (logica)|proposizione]] che deve essere invertita). Nella sua forma semplice, la inversione vale solo per le proposizioni di tipo '''E''' ed '''I'''<ref>William Thomas Parry and Edward A. Hacker (1991), ''Aristotelian Logic'', SUNY Press, [https://books.google.com/books?id=3Sg84H6B-m4C&pg=PA207 p. 207].</ref>:

{| class="wikitable"
! Tipo || ''Invertenda'' || Inversione semplice || Inversione ''per accidens'' (valida se ''P'' esiste)
|-
|  '''A''' || Ogni S è P || ''non valida'' || Qualche P è S
|-
|  '''E''' || Nessun S è P || Nessun P è S || Qualche P è non-S
|-
|  '''I''' || Qualche S è P || Qualche P è S || –
|-
|  '''O''' || Qualche S è non- P || ''non valida'' || –
|}

La validità della semplice inversione solo per le proposizioni '''E''' e '''I''' può essere espressa dalla restrizione che "Nessun termine deve essere distribuito nell{{'}}inversa che non sia già distribuito nella ''invertenda''".<ref>James H. Hyslop (1892), ''The Elements of Logic'', C. Scribner's sons, p. 156.</ref> Per le proposizioni di tipo '''E''' sia il soggetto che l predicato sono distribuiti<ref>Il soggetto si dice distribuito al predicato e, viceversa, il predicato si dice distribuito al soggetto, se tutti i membri della classe del termine sono inclusi in quella dell’altro. Ad esempio, nella frase “tutti gli uomini sono mortali” il soggetto è distribuito al predicato, mentre non è vero il contrario poiché i mortali non sono necessariamente umani”.</ref>, mentre nelle proposizioni di tipo '''I''' non lo sono né il soggetto né il predicato.

Per le proposizioni di tipo '''A''', il soggetto è distribuito mentre il predicato non lo è, e quindi l'[[inferenza immediata|inferenza]] da un'affermazione A al suo contrario non è valida. Ad esempio, per la proposizione '''A''' "Tutti i gatti sono mammiferi", il contrario "Tutti i mammiferi sono gatti" è ovviamente falso. Tuttavia, l'affermazione più debole "Alcuni mammiferi sono gatti" è vera. I logici definiscono inversione ''per accidens'' il processo di produzione di questa affermazione più debole. L'inferenza da un'affermazione al suo inverso ''per accidens'' è generalmente valida. Tuttavia, come per i [[sillogismo|sillogismi]], questo passaggio dall'universale al particolare causa problemi con le [[insieme vuoto|categorie vuote]]: "Tutti gli [[unicorno|unicorni]] sono mammiferi" è spesso considerato vero, mentre l'inversione ''per accidens'' "Alcuni mammiferi sono unicorni" è chiaramente falsa.

Nel [[Teoria del primo ordine|calcolo dei predicati del primo ordine]], la proposizione "Ogni S è P" può essere rappresentata come <math>\forall x. S(x) \to P(x)</math>.<ref>Gordon Hunnings (1988), ''The World and Language in Wittgenstein's Philosophy'', SUNY Press, [https://books.google.com/books?id=5XXz7B2PLRsC&pg=PA42 p. 42].</ref> È quindi chiaro che l'inverso categoriale è strettamente correlato all'inverso implicazionale e che S e P non sono intercambiabili nella proposizione "Ogni S è P".

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
; Ulteriori letture
* [[Aristotele]]. ''Organon''.
* Copi, Irving. ''Introduction to Logic''.  MacMillan, 1953.
* Copi, Irving. ''Symbolic Logic''.  MacMillan, 1979, fifth edition.
* [[Susan Stebbing|Stebbing, Susan]]. ''A Modern Introduction to Logic''. Cromwell Company, 1931.

==Voci correlate==
* [[Aristotele]]
* [[Inferenza]]
* [[Connettivo logico]]
* [[Sillogismo]]
* [[Non-implicazione inversa]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|converse|converse}}

{{Connettivi logici}}
{{portale|filosofia|matematica}}

[[Categoria:Connettivi logici]]
[[Categoria:Logica filosofica]]