Visualizza wikitesto di Funzioni integrali trigonometriche

In [[matematica]] l'espressione '''funzioni integrali trigonometriche''' fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante [[Integrale|integrali]] di [[funzioni trigonometriche]]. 

==Seno==
[[Image:Sine integral.svg|thumb|right|Grafico di '''Si(''x'')''' per 0 ≤ ''x'' ≤ 8 ''π''.]]
Esistono due definizioni del [[Seno (matematica)|seno]] integrale:

:<math>\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math>
:<math>\operatorname{si}(x) = -\int_x^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt </math>

Per definizione <math>\operatorname{Si} (x) </math> è la [[Primitiva (matematica)|primitiva]] della [[funzione sinc]] <math>\sin(x) /x</math> che si annulla nell'origine, mentre <math>\operatorname{si}(x) </math> è la primitiva che si annulla all'infinito. La loro differenza è data dall'integrale di Dirichlet,

::<math>\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} ~.</math>

Poiché la funzione <math>\mathrm{sinc}(x)</math> è una funzione pari e [[Funzione intera|intera]] (cioè [[Funzione olomorfa|olomorfa]] nell'intero piano complesso), <math>\operatorname{Si}(x)</math> è anch'essa intera, dispari e l'integrale nella sua definizione può essere valutato lungo ogni percorso che connette gli estremi.

Se si considera il seno integrale come la [[convoluzione]] della funzione sinc con la [[funzione gradino di Heaviside]], ciò corrisponde a troncare la [[serie di Fourier]], ed è pertanto un modo per descrivere il [[fenomeno di Gibbs]].

==Coseno==
[[Image:Cosine integral.svg|thumb|right|Grafico di '''Ci(''x'')''' per 0&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;8π.]]
Vi sono diverse definizioni del [[coseno]] integrale:
:<math>\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^{+\infty} \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\,dt</math>
:<math>\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt</math>

dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]]. Qualche testo usa <math>\operatorname{ci}(x)</math> invece di <math>\operatorname{Ci}(x)</math>.

La funzione <math>\operatorname{Ci}(x)</math> è la primitiva di <math>\cos(x) /x</math> (che si annulla all'infinito). Le due definizioni sono legate dalla relazione:

:<math>\operatorname{Cin}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Ci}(x)</math>

<math>\operatorname{Ci}(x)</math> è una funzione pari intera.

==Seno iperbolico==
Il [[Funzioni iperboliche|seno iperbolico]] integrale ha la forma:

:<math>\operatorname{Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = \operatorname{shi}(x)</math>
:<math>\operatorname{Shi}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}=x+\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}+\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots</math>

È legata alla precedente funzione seno integrale dalla relazione
::<math>\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).</math>

==Coseno iperbolico==
Il [[Funzioni iperboliche|coseno iperbolico]] integrale è:

::<math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad (|{\rm Arg}(x)|<\pi)</math>

dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]].

Ha come espansione in serie <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {1}{4} x^2 + \frac {1}{96} x^4 + \frac {1}{4320} x^6 + \frac {1}{322560} x^8 + \frac{1}{36288000} x^{10} + O(x^{12})</math>.

==Scrittura alternativa==
Utilizzando le funzioni:
:<math>f(x) 
\equiv \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t+x} dt = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} dt 
= \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x) 
</math>
:<math>
g(x)
\equiv \int_0^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t+x} dt = \int_0^{+\infty} \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} dt 
= -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)
</math>

l'integrale trigonometrico può essere riscritto come:<ref>[http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_232.htm Exponential Integral and Related Functions]</ref>

:<math>
\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &=& \displaystyle\frac{\pi}{2} - f(x) \cos(x) - g(x) \sin(x) \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x) \\
\end{array}
</math>

==Espansioni==
L'espansione dell'integrale trigonometrico in serie [[Sviluppo asintotico|asintotica]]:

:<math>\operatorname{Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)</math>
:<math>\operatorname{Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) </math>

è una serie divergente, utilizzata per valutare l'integrale per <math>\mathrm{Re}(x) \gg 1</math>.

L'espansione:
:<math>\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
:<math>\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

è invece convergente per ogni <math>x \in \Complex</math>, sebbene per <math>|x| \gg 1</math> la serie converga inizialmente in modo lento, richiedendo molti termini per una stima precisa.

==Esponenziale integrale==
{{vedi anche|Funzione integrale esponenziale}}
La funzione integrale esponenziale:

:<math> \operatorname{E}_1(z) = \int_1^{+\infty} \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad \mathrm{Re}(z) \ge 0</math>

è strettamente legata con <math>\operatorname{Si}(x)</math> e <math>\operatorname{Ci}(x)</math>:

:<math>
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad x>0</math>

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{de}} Niels Nielsen (1906): ''[https://www.archive.org/details/theoriedesinteg00nielgoog Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten]'', Teubner
* {{en}} Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover, ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm (Chapter 5)]''
* {{en}} Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." ''Appl. Numer. Math.'' '''34''', 95-98, 2000.
* {{en}} Havil, J. Gamma, ''Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ.'' Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.

== Voci correlate ==
* [[Coseno]]
* [[Costante di Eulero-Mascheroni]]
* [[Funzione integrale esponenziale]]
* [[Funzioni iperboliche]]
* [[Seno (matematica)]]
* [[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche]]

==Collegamenti esterni==
* {{Collegamenti esterni}}
*{{springerEOM|titolo=Integral sine|autore=A.B. Ivanov}}
*{{springerEOM|titolo=Integral cosine|autore=A.B. Ivanov}}
*{{mathworld|SineIntegral|Sine Integral}}
*{{mathworld|CosineIntegral|Cosine Integral}}
* {{en}} Sine Integral Taylor series proof from Dan Sloughter's [http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf Difference Equations to Differential Equations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151105185931/http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf |date=5 novembre 2015 }}.

{{Funzioni speciali}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Trigonometria]]
[[Categoria:Funzioni ipergeometriche speciali|Integrali trigonometriche]]