Visualizza wikitesto di Funzione zeta di Riemann

[[Image:Zeta 0-3 x 0.1-200.jpg|thumb|upright=2|Grafico della funzione di Riemann <math>\zeta(a + ib)</math> per <math>0 \le a \le 3</math> e <math>0,1 \le b \le 200</math>.]]
In [[matematica]], la '''funzione zeta di Riemann''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] che riveste una fondamentale importanza nella [[teoria analitica dei numeri]] e ha notevoli risvolti in [[fisica]], [[teoria della probabilità]] e [[statistica]].

I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da [[Eulero|Leonhard Euler]] nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da [[Bernhard Riemann]], che nel testo ''[[Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse]]'', pubblicato nel [[1859]], mostrò che vi è una relazione tra gli [[zero (analisi complessa)|zeri]] della funzione e la [[teorema dei numeri primi|distribuzione dei numeri primi]]. Riemann in particolare osservò che una [[congettura]] sulla posizione degli zeri (la celebre [[Ipotesi di Riemann]]) implicherebbe che i primi sono distribuiti con una certa regolarità.<ref name=Bombieri>{{Cita web|cognome=Bombieri|nome=Enrico|url=https://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf|titolo=The Riemann Hypothesis - official problem description|editore=[[Istituto matematico Clay|Clay Mathematics Institute]]|accesso=25 ottobre 2008|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20081030111830/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf|dataarchivio=30 ottobre 2008|urlmorto=sì}}</ref>

== Definizione e prime proprietà ==
La funzione zeta di Riemann è definita [[Prolungamento analitico|prolungando analiticamente]] la [[serie di Dirichlet]]

:<math>\zeta(s) =\frac 1{1^s}+\frac1{2^s}+\frac 1{3^s}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},</math>

convergente per ogni [[numero complesso]] <math>s</math> di [[parte reale]] <math>\mathrm{Re}(s)</math> maggiore di <math>1</math>. Tramite il prolungamento provato da Riemann, la serie di Dirichlet è estesa a una [[funzione olomorfa]] su tutto il [[piano complesso]] a eccezione di <math>1</math>, dove ha un [[Polo (analisi complessa)|polo semplice]] di [[residuo (analisi complessa)|residuo]] 1.

La funzione zeta possiede [[zero (analisi complessa)|zeri semplici]] negli interi pari negativi, detti "zeri banali",  mentre tutti gli altri zeri sono disposti simmetricamente rispetto alla retta <math>\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}</math>, detta "retta critica",  e all'asse reale (ossia, il [[Complesso coniugato|coniugato]] di uno zero è ancora uno zero). Inoltre tutti gli zeri sono tutti contenuti nella striscia {{tutto attaccato|<math>0 < \mathrm{Re}(s) < 1</math>}}, detta "striscia critica".

== Storia ==
[[File:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|Bernhard Riemann fu il primo ad evidenziare la connessione tra gli zeri della funzione zeta di Riemann e la distribuzione dei numeri primi.]]
Il primo a notare l'importanza della funzione zeta nello studio dei [[numero primo|numeri primi]] fu [[Eulero]] che, nel [[1737]], dimostrò l'identità, nota come [[Formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]]:

:<math>\zeta(x):=\sum_{n=1}^\infty\frac1 {n^x}=\prod_{p\text{ primo}}\frac1{1-p^{-x}},</math>

dove <math>x</math> è un [[numero reale]] maggiore di <math>1</math>. Grazie a questa formula, Eulero dedusse che la serie

:<math>\sum_{p\text{ primo}}\frac1p</math>

[[serie divergente|diverge]], e quindi che i numeri primi sono ''piuttosto frequenti'' nell'insieme dei [[Numero naturale|numeri naturali]], più dei [[quadrato perfetto|quadrati perfetti]]. Si può inoltre notare come il ragionamento di Eulero fornisca anche una diversa dimostrazione del [[teorema dell'infinità dei numeri primi]], già elegantemente dimostrato dalla [[Matematica greco-ellenistica|matematica greca]].

Nel secolo seguente [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Čebyšëv]] e altri matematici si dedicarono allo studio della comprensione della [[Teorema dei numeri primi|distribuzione dei numeri primi]], utilizzando per lo più metodi di [[combinatoria]] e la formula prodotto di Eulero, senza tuttavia riuscire a dimostrare la [[Stima asintotica|relazione asintotica]]

:<math>\pi (x):=\text{ numero di primi minori o uguali a } x\sim\frac x{\ln x},</math>

congetturata da [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] e ora nota come [[teorema dei numeri primi]].

Fu però con [[Bernhard Riemann]] che la funzione zeta iniziò ad assumere un ruolo centrale nella [[teoria dei numeri]]. Nel suo unico articolo sull'argomento, ''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Riemann considerò la funzione zeta non più solo per una [[funzione di variabile reale|variabile reale]] <math>x</math>, ma per una [[funzione di variabile reale|variabile complessa]] <math>s</math>, e la studiò utilizzando metodi di [[analisi complessa]]. I risultati principali ottenuti da Riemann furono:<ref>{{Cita|Edwards|Appendice}}.</ref>
*la dimostrazione del fatto che la funzione <math>\zeta</math> si possa [[prolungamento analitico|prolungare analiticamente]] su tutto il piano complesso, ad eccezione di <math>1</math>, in cui la funzione ha un [[Polo (analisi complessa)|polo]] semplice;
*la scoperta di un'[[equazione funzionale]] (dimostrata in due diversi modi) che permette di mettere in relazione i valori della funzione zeta a destra e a sinistra della retta [[Parte reale|Re]](''s'')=1/2;<ref group="N">Un'equazione funzionale equivalente a quella ottenuta da Riemann era stata congetturata oltre un secolo prima da Eulero per la [[funzione eta di Dirichlet]].</ref>
*una ''formula esatta'' che mostra la dipendenza della [[funzione enumerativa dei primi]] dagli zeri della funzione zeta.
*l'introduzione di una nuova [[funzione intera|funzione olomorfa intera]], ξ(''s''), strettamente legata alla ζ(''s''), e un abbozzo di dimostrazione di una formula prodotto per ξ(s) (questa formula fu dimostrata rigorosamente solo 34 anni dopo, da [[Jacques Hadamard]]).

Oltre a questi risultati, Riemann diede alcune formule senza dimostrazione, tra cui una formula con una [[stima asintotica]] del numero di zeri ''non banali'' della funzione zeta, e scrisse che è "molto probabile" che tutti questi zeri abbiano parte reale uguale a 1/2. Questa congettura ha preso il nome di [[ipotesi di Riemann]] ed è tuttora uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica (fa parte ad esempio dei ventitré [[problemi di Hilbert]] e dei sette [[problemi per il millennio]]), per le conseguenze che implicherebbe sulla distribuzione dei numeri primi.<ref name=Bombieri/>

Negli anni a seguire, vari matematici svilupparono ulteriormente le idee di Riemann, e fornirono dimostrazioni rigorose per alcune sue formule. In particolare i risultati più importanti furono ottenuti da [[Hans von Mangoldt|von Mangoldt]] e soprattutto da [[Jacques Hadamard|Hadamard]] e [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]]. Questi ultimi infatti riuscirono a dimostrare che la funzione zeta non ha zeri nella retta <math>\mathrm{Re}(s)=1</math> e da questo ottenere come corollario il [[teorema dei numeri primi]].<ref>{{Cita|Titchmarsh|Capitolo 3}}.</ref>

Da allora, grossi sforzi sono stati fatti per dimostrare l'ipotesi di Riemann, ma sono stati ottenuti solo risultati parziali che restano molto lontani da quanto congetturato da Riemann. Nell'impossibilità di fare ulteriori progressi in questa direzione, lo sforzo dei teorici dei numeri si è spostato su altri importanti problemi relativi alla funzione zeta: lo studio della crescita della funzione zeta lungo la ''retta critica'', lo studio dei suoi ''momenti'' e sulla [[numero trascendente|trascendenza]] o [[numero razionale|razionalità]] dei suoi valori sui numeri naturali dispari.

== Proprietà principali ==
[[File:ZetaRiemann 2.gif|thumb|upright=1.8|Il grafico cartesiano della funzione zeta per i numeri reali tra -18,5 e 10]]

=== Il prodotto di Eulero ===
{{vedi anche|Formula prodotto di Eulero}}
Una delle proprietà fondamentali della funzione zeta di Riemann, è il prodotto di Eulero,

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s} = \prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}},</math>

valida per <math>\mathrm{Re}(s) > 1</math>, e dove il [[produttoria|prodotto]] è effettuato su tutti i numeri primi <math>p</math>. La dimostrazione di questa identità si basa sulla formula per la somma della [[serie geometrica]] e il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]]. Infatti, per <math>\mathrm{Re}(s) > 0</math>, si può calcolare la somma geometrica

:<math>\sum_{m=0}^\infty \left(p^{-s}\right)^m = \frac{1}{1-p^{-s}},</math>

per ogni primo <math>p</math>. Moltiplicando tra loro queste identità per tutti i primi <math>p</math>, {{tutto attaccato|per <math>\mathrm{Re}(s) > 1</math>}} (questa ulteriore restrizione serve per assicurare la convergenza assoluta, necessaria anche per le successive manipolazioni) si ha:

<math>
\begin{align}
\prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}} &= \prod_{p\text{ primo}}\left(\sum_{m=0}^\infty \left(p^{-s}\right)^m\right)\\
&=\left(1+2^{-s}+(2^2)^{-s}+(2^3)^{-s}+\cdots\right)\cdot\left(1+3^{-s}+(3^2)^{-s}+(3^3)^{-s}+\cdots\right)\cdot\left(1+5^{-s}+(5^2)^{-s}+(5^3)^{-s}+\cdots\right)\cdots\\
&=1+2^{-s}+3^{-s}+(2^2)^{-s}+5^{-s}+(2\cdot3)^{-s}+\cdots\\
&=\zeta(s),
\end{align}
</math>

dato che per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero naturale si può decomporre in maniera unica come prodotto di potenze di primi.

È interessante notare che la [[formula di Eulero]] ha come conseguenza che vi sono [[Teorema dell'infinità dei numeri primi|infiniti numeri primi]]. Infatti, se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per <math>s=1</math>, mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo. Sebbene possa sembrare esageratamente complicata per un teorema di cui esistono dimostrazioni elementari, questa dimostrazione è molto importante in quanto una sua generalizzazione è stata usata da [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] per dimostrare il [[Teorema di Dirichlet|teorema dell'infinità dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche]].

Questo prodotto è all'origine del collegamento tra funzione zeta e [[numero primo|numeri primi]].

=== Alcune serie correlate ===
Oltre alla serie che viene solitamente usata per definirla, la funzione zeta di Riemann è strettamente collegata anche con alcune altre [[serie di Dirichlet]]. Tra queste, è di fondamentale importanza la serie per la [[derivata logaritmica]] della funzione zeta,

:<math>\frac{\zeta' }{\zeta }(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s},\qquad\mathrm{Re}(s)>1,</math>

che si ottiene [[derivata|derivando]] il [[logaritmo]] del prodotto di Eulero. La funzione <math>\Lambda</math> è la [[Funzione di von Mangoldt]], una funzione che è diversa da zero solo nelle potenze dei numeri primi. Da questa identità si può ricavare facilmente, attraverso l'uso della [[Sommazione per parti|somma per parti]], la formula

:<math>\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=-s\int_{1}^{+\infty}\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx,\qquad\mathrm{Re}(s)>1,</math>

dove

:<math>\psi(x):=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)</math>

è la [[funzione di Čebyšëv|funzione &psi; di Čebyšëv]], sostanzialmente una versione pesata della [[funzione enumerativa dei primi]], <math>\pi(x)</math>.

Altre serie di Dirichlet importanti collegate con la funzione zeta sono

:<math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s},\qquad\mathrm{Re}(s)>1,</math>

dove <math>\mu</math> è la [[funzione di Möbius]], e

:<math>\zeta^k(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d_k(n)}{n^s},\qquad\mathrm{Re}(s)>1,</math>

dove <math>d_k(n)</math> è il numero di rappresentazioni di <math>n</math> come prodotto di <math>k</math> interi maggiori di <math>1</math>. In particolare,

:<math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)}{n^s},\qquad\mathrm{Re}(s)>1,</math>

dove <math>d</math> è la [[Funzione tau sui positivi|funzione divisore]].

Anche la [[funzione eta di Dirichlet]]

:<math>\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s},\qquad\mathrm{Re}(s)>0,</math>

è legata alla funzione zeta di Riemann, tramite la relazione

:<math>\eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s),</math>

e può essere usata per [[prolungamento analitico|prolungare analiticamente]] la funzione zeta sul semipiano <math>\mathrm{Re}(s)>0</math>.

=== Equazione funzionale ===
Una delle proprietà più importanti della funzione zeta di Riemann è che soddisfa la seguente [[equazione funzionale]]:

:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s),</math>

ove <math>\Gamma(s)</math> è la [[funzione Gamma]]. Questa formula è un'uguaglianza tra [[funzione meromorfa|funzioni meromorfe]] valida su tutto il [[piano complesso]]. Per <math>s</math> di parte reale negativa, tutte le funzioni a destra dell'uguaglianza non hanno [[polo (analisi complessa)|poli]]. Quindi, dato che negli interi pari la [[seno (matematica)|funzione seno]] ha [[zero (analisi complessa)|zeri semplici]], segue che la funzione zeta ha zeri semplici (detti '''zeri banali''') negli interi negativi.<ref group="N">Si noti che negli interi positivi la funzione &Gamma;(1-''s'') ha poli semplici; in ''s''{{sp}}={{sp}}1 questo polo corrisponde al polo della zeta nell'altro lato dell'equazione, mentre per gli interi maggiori di 1 i poli sono cancellati dagli zeri del seno e dagli zeri banali di &zeta;(1-''s'') a seconda che l'intero sia, rispettivamente, pari o dispari.</ref>

Questa equazione può essere vista come una formula di riflessione rispetto a ''s''{{sp}}={{sp}}1/2 e permette di esprimere la funzione zeta a sinistra della retta Re(''s''){{sp}}={{sp}}1/2 in termine della funzione zeta a destra di tale retta e di alcune funzioni ben note. La funzione zeta di Riemann si può "completare", andando a formare la [[funzione Xi di Riemann]],

:<math>\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s),</math>

che è [[funzione olomorfa|olomorfa intera]] e ha gli zeri esattamente sugli zeri non banali della funzione zeta. Inoltre soddisfa l'equazione funzionale simmetrica

:<math>\xi(s) = \xi(1-s).</math><ref group="N">Si noti che anche la funzione ottenuta rimuovendo <math>\frac{1}{2} s(s-1)</math> dalla definizione di &xi;(s) soddisfa l'equazione funzionale nella forma simmetrica. La funzione ottenuta tuttavia non è intera avendo due poli semplici in ''s''{{sp}}={{sp}}1 e ''s''{{sp}}={{sp}}0.</ref>
<!--Dato che l'espressione della funzione zeta come serie di Dirichlet e come prodotto di Eulero consentono una buona comprensione della funzione zeta per Re(''s''){{sp}}>{{sp}}1, l'equazione funzionale implica una buona comprensione della funzione zeta anche nel semipiano Re(''s''){{sp}}<{{sp}}0; la striscia rimanente (estremi esclusi), 0<{{sp}}Re(''s''){{sp}}<{{sp}}1, è pertanto nota come '''striscia critica''' e la retta Re(''s''){{sp}}={{sp}}1/2 è nota come ''retta critica''.-->

== Gli zeri e l'ipotesi di Riemann ==
{{vedi anche|Ipotesi di Riemann}}
[[File:Zero-free_region_for_the_Riemann_zeta-function.svg|thumb|upright=1.4|A parte gli zeri "banali", presenti negli interi pari negativi, la funzione zeta non ha zeri a destra di &sigma;=1 e a sinistra di &sigma;=0 (né possono esserci zeri "vicini" a tali due rette). Inoltre, gli zeri non banali sono simmetrici rispetto alle rette &sigma;=1/2 e ''t''=0 e, secondo quanto ipotizzato da Riemann, appartengono tutti alla retta &sigma;=1/2.]]
Il prodotto di Eulero ha come immediata conseguenza che la funzione zeta non ha zeri nel semipiano Re(''s''){{sp}}>{{sp}}1. Inoltre, grazie all'equazione funzionale, da ciò segue che gli unici zeri che la funzione zeta ha nel semipiano Re(''s''){{sp}}<{{sp}}0 sono gli zeri banali. Gli zeri restanti possono quindi essere solo nella striscia 0{{sp}}≤{{sp}}Re(''s''){{sp}}≤{{sp}}1 e, sempre grazie all'equazione funzionale, sono simmetrici rispetto a ''s''{{sp}}={{sp}}1/2 e anche rispetto alla retta Im(''s''){{sp}}={{sp}}0.<ref group="N">Ciò è conseguenza del fatto che <math>\overline{\zeta(s)}=\zeta(\overline{s})</math>, ove <math>\overline{a}</math> indica il [[complesso coniugato]] di ''a''.</ref> Di conseguenza, per ogni zero non banale σ{{sp}}+{{sp}}''it'' ve n'è un altro in σ{{sp}}-{{sp}}''it'' ed altri due in 1{{sp}}-σ{{sp}}±{{sp}}''it'' (questi zeri coincidono con i precedenti se σ{{sp}}={{sp}}1/2). Inoltre, nelle loro dimostrazioni del [[teorema dei numeri primi]], [[Jacques Hadamard|Hadamard]] e [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] mostrarono che la funzione zeta non ha zeri neanche nella retta Re(''s''){{sp}}={{sp}}1 (e dunque, per l'equazione funzionale, neanche in Re(''s''){{sp}}={{sp}}0). In particolare, tutti gli zeri non banali della funzione zeta sono nella striscia 0{{sp}}<{{sp}}Re(''s''){{sp}}<{{sp}}1, che viene dunque detta '''striscia critica'''. Nella sua memoria del [[1859]], Riemann ha espresso la sua convinzione che gli zeri siano disposti proprio al centro di tale striscia, nella retta Re(''s''){{sp}}={{sp}}1/2 (la '''retta critica'''); questa congettura è tuttora aperta ed ha preso il nome di ''[[ipotesi di Riemann]]'' (in inglese ''Riemann hypothesis'' o ''RH'').

[[File:Riemann zeta function absolute value.png|left|thumb|I valori assoluti della funzione zeta nel [[piano complesso]]. A un valore più scuro corrisponde un valore assoluto più piccolo]]

L'ipotesi di Riemann è molto lontana dall'essere dimostrata e non è ancora noto se esista un ε{{sp}}>{{sp}}0 tale che tutti gli zeri σ{{sp}}+{{sp}}''it'' di ζ stiano in σ{{sp}}{{sp}}<1-ε (l'ipotesi di Riemann corrisponde a ε{{sp}}={{sp}}1/2). Tuttavia, qualche risultato parziale è stato ottenuto; il primo ad estendere la regione priva di zeri (''zero-free region'') è stato de la Vallée Poussin, che nel [[1899]] ha provato che gli zeri della funzione zeta di Riemann soddisfano la disequazione

:<math>\sigma<1-\frac{C}{\log(|t|+2)},</math>

per una costante <math>C>0</math>. Questo risultato è stato leggermente migliorato nel corso degli anni, con progressi portati da [[John Edensor Littlewood]], [[Nikolai Chudakov]], [[Nikolai Mikhailovich Korobov]] e [[Ivan Matveevič Vinogradov]]. Quest'ultimo nel [[1958]] ha dimostrato che

:<math>\sigma<1-\frac{C}{(\log|t|)^\frac23 (\log\log|t|)^\frac13},</math>

per <math>t>3</math> e per una costante <math>C>0.</math> Se si eccettua per alcuni miglioramenti alla costante <math>C</math> (il più recente dei quali è dovuto a Ford, che ha dimostrato che si può prendere <math>C=\tfrac{1}{57,54}</math>), il teorema di Vinogradov è tuttora la migliore disuguaglianza nota per la regione priva di zeri.<ref>{{cita pubblicazione | cognome = Ford | nome = Kevin | anno = 2002 | titolo = Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function | rivista = [[Proceedings of the London Mathematical Society]]. Third Series  | volume = 85 | numero = 3 | pp = 565-633 | doi = 10.1112/S0024611502013655 | lingua = inglese }}</ref>

=== La formula di Riemann-von Mangoldt ===
Nella memoria di Riemann è presente una [[stima asintotica]] per il numero di zeri non banali con parte immaginaria compresa tra <math>0</math> e <math>T</math> per <math>T</math> che [[limite (matematica)|tende]] all'infinito. Definito

:<math>N(T):=\#\left\{\sigma+it\mid\ \zeta(\sigma+it)=0,\ 0<t<T, 0<\sigma<1 \right\},</math>

dove <math>\#</math> denota la [[cardinalità]] dell'insieme, si ha

:<math>N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac T{2\pi e}+\frac 78+S(T)+O\left(\frac1T\right),</math>

dove <math>O</math> denota il [[O-grande|simbolo di Landau]] e

:<math>S(T):=\frac1\pi\arg\left(\zeta\left(\frac12+iT\right)\right)=O(\log T)</math>

e <math>\arg</math> indica l'[[Numero complesso#Geometria|argomento]]. Questa formula, enunciata da Riemann, è stata dimostrata da [[Hans von Mangoldt|von Mangoldt]] nel [[1905]] ed è nota come [[formula di Riemann-von Mangoldt]].

È chiaro che l'ipotesi di Riemann è vera se e solo se <math>N(T)</math> coincide con

:<math>N_0(T):=\#\left\{\frac12+it\mid\ \zeta\left(\frac12+it\right)=0,\ 0<t<T \right\}.</math>

Il primo risultato rilevante in questa direzione è dovuto a [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] e [[John Edensor Littlewood|Littlewood]], che hanno provato che

:<math>N_0(T)\gg T.</math>

Successivamente [[Atle Selberg|Selberg]] ha migliorato questa stima dimostrando che

:<math>N_0(T)\geq \kappa N(T)</math>

per una qualche costante ''κ''{{sp}}>{{sp}}0. Successivamente ci sono stati vari miglioramenti a questa costante, tra i quali i più rilevanti sono quelli di [[Norman Levinson|Levinson]] e [[Brian Conrey|Conrey]] che hanno dimostrato rispettivamente che si può prendere ''κ''{{sp}}={{sp}}1/3 e ''κ''{{sp}}={{sp}}2/5.<ref name=percentage>{{cita pubblicazione |autore= [[Brian Conrey]] |anno= 1989 |titolo= More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|rivista= Journal für die reine und angewandte
Mathematik|volume= 399 |pp= 1-26|lingua= inglese }}</ref><ref>Il valore di ''κ'' è stato successivamente leggermente migliorato, si vedano [[arxiv:1003.0059|Zeros of the Riemann zeta function on the critical line]] di Shaoji Feng e [[arxiv:1002.4127|More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line]] di Brian Conrey, Hung Bui e [[Matthew Young]].</ref>

Un'altra importante congettura sulla funzione zeta di Riemann (detta ''congettura degli zeri semplici'' o, in inglese, ''Simple Zeros Conjecture'') asserisce che tutti gli zeri della funzione sono [[Zero (analisi complessa)#Molteplicit.C3.A0 di uno zero|semplici]]. I risultati ottenuti a proposito della [[densità asintotica|percentuale]] degli zeri semplici sono molto simili a quelli per la percentuale degli zeri sulla retta critica ed anche in questo caso è stato provato che

:<math>N_0^*(T):=\#\left\{\frac12+it\mid\ \zeta\left(\frac12+it\right)=0,\zeta'\left(\frac12+it\right)\neq0,\ 0<t<T \right\}\geq \kappa^* N_0(T).</math>

per una costante ''κ''*{{sp}}>{{sp}}2/5.<ref name=percentage/><ref>Si vedano [[arxiv:1003.0059|Zeros of the Riemann zeta function on the critical line]] di Shaoji Feng e [[arxiv:1002.4127|More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line]] di Brian Conrey, Hung Bui e [[Matthew Young]].</ref>

=== Correlazione tra gli zeri ===
Dalla formula asintotica per ''N''(''T'') è facile dimostrare che, assumendo l'ipotesi di Riemann, la distanza media tra due zeri consecutivi di ζ(''s'') ad altezza ''T'' è 2Π/log''T''. Ci possono però essere intervalli insolitamente lunghi ed insolitamente corti senza zeri ed infatti, assumendo l'ipotesi di Riemann ed indicando con <math>\frac12+\gamma_{n}</math> l{{'}}''n''-esimo zero non banale (di parte immaginaria positiva) della funzione zeta di Riemann, si ha che esistono due costanti λ<sub>1</sub>{{sp}}<{{sp}}1 e λ<sub>2</sub>{{sp}}>{{sp}}1 tali che

:<math>\liminf\frac{\gamma_{n+1}-\gamma_n}{2\pi/\log \gamma_n}<\lambda_1</math>

e

:<math>\limsup\frac{\gamma_{n+1}-\gamma_n}{2\pi/\log \gamma_n}>\lambda_2.</math><ref>{{cita|Titchmarsh|pp. 385-3866}}.</ref><ref>I migliori valori noti per &lambda;<sub>1</sub> e &lambda;<sub>2</sub> (assumendo l'ipotesi di Riemann), sono &lambda;<sub>1</sub>{{sp}}={{sp}}0,5155 e &lambda;<sub>2</sub>{{sp}}={{sp}}2,6950. Si veda {{cita pubblicazione|autore= H. M. Bui |coautori=  M. B. Milinovich; N. C. Ng|anno= 2010|titolo= A note on the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function|rivista= [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/journaldoc.html?cn=Proc_Amer_Math_Soc  ''Proc. Amer. Math. Soc.'']|volume= 138|numero= 12 |lingua= inglese}}</ref>

Un'importante congettura sugli zeri della funzione zeta di Riemann è la ''congettura della correlazione delle coppie'' di [[Hugh Montgomery]] (in inglese, ''[[pair correlation conjecture]]''). Questa congettura afferma che, per ogni β{{sp}}>{{sp}}α{{sp}}>{{sp}}0, si ha

:<math>\left\{\gamma,\gamma'\in[0,T]\mid\zeta\left(\frac12+\gamma\right)=0,\zeta\left(\frac12+\gamma'\right)=0,\ \frac{2\pi\alpha}{\log T}\leq\gamma-\gamma'\leq \frac{2\pi \beta}{\log T}\right\}\sim N(T)\int_\alpha^\beta\left(1-\left(\frac{\sin\pi u}{u}\right)^2\right)\,du,</math>

per <math>T</math> che tende all'infinito.<ref>{{cita|Titchmarsh|sezione 14.34}}.</ref>

== Serie di Laurent ==
La funzione zeta di Riemann ha un polo semplice in <math>s=1,</math> la sua [[serie di Laurent]] in tale punto è

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^n},</math>

dove le costanti sono chiamate [[costanti di Stieltjes]] e sono definite come:

:<math> \gamma_k = \frac{(-1)^k}{k!} \lim_{N \rightarrow \infty} \left(\sum_{m \le N} \frac{\ln^k m}{m} - \frac{\ln^{k+1}N}{k+1}\right).</math>

La costante <math>\gamma_0</math> è dunque la [[costante di Eulero-Mascheroni]].

== Prodotto di Hadamard ==
Sulla base del [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]], [[Jacques Hadamard]] dimostrò che:

:<math> \zeta(s) = \frac{e^{s\left(\ln(2\pi)- 1 +\frac{\gamma}{2}\right)}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \cdot \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho},</math>

dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]] e <math>\rho</math> sono gli zeri non banali della funzione zeta.

== Relazione con la funzione digamma ==
La funzione zeta compare nello sviluppo in [[serie di Taylor]] della [[funzione digamma]]:

:<math>\psi_0(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \zeta(k+1) z^k.</math>

=== Relazione con la trasformata di Mellin ===
{{vedi anche|trasformata di Mellin}}
La [[trasformata di Mellin]] di una funzione <math>f(x)</math> è definita come:

:<math>\{ \mathcal{M} f \}(s) = \int_0^{+\infty} f(x)x^{s-1} dx.</math>

Essa è collegata alla funzione zeta. Infatti:

:<math>\Gamma(s)\zeta(s) =\left\{ \mathcal{M} \left(\frac{1}{e^{x}-1}\right) \right\}(s).</math>

dove <math>\Gamma(s)</math> è la [[funzione Gamma]] di Eulero.

Ciò equivale a dire che:

:<math>\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx.</math>

Questa rappresentazione converge per <math>\mathrm{Re}(s)>1</math> e non può essere dunque usata per estendere il dominio della funzione.

Se [[Funzione enumerativa dei primi|π(''x'')]] è il numero di numeri primi compresi tra <math>0</math> e <math>x</math> allora possiamo scrivere che:

:<math>\ln \zeta(s) = s \int_0^{+\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,dx.</math>

E considerando la funzione <math>J(x)</math> come <math>J(x) = \sum \frac{\pi(x^{1/n})}{n}</math> abbiamo che:

:<math>\frac{\ln \zeta(s)}{s} = \left\{\mathcal{M} J \right\}(-s).</math>

== I valori della funzione zeta ==
{{vedi anche|Costanti zeta}}
[[File:ZetaRiemann 3.gif|thumb|upright=2.5|L'immagine mostra i valori per la parte reale ed immaginaria di <math>\zeta(1/2+i y)</math> con ''y'' che varia tra 0 e 50.]]

Il calcolo dei valori esatti della funzione zeta è stato un compito piuttosto difficile: [[Eulero]] riuscì nel [[1735]] ad avere una formula esatta per la funzione zeta di <math>2</math>. Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli <math>s</math> [[Numeri pari e dispari|pari]]:

:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1,645</math>; la dimostrazione di questo fatto è la soluzione del [[problema di Basilea]].

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1,0823</math>

:<math>\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945} \approx 1,0173 </math>

Più in generale è stato dimostrato che:

:<math>\zeta(2n)= \frac{2^{2n-1}\pi^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!},</math>

dove <math>B_n</math> è l'<math>n</math>-esimo [[Numeri di Bernoulli|numero di Bernoulli]]. Non sono note formule analoghe, per i valori della funzione zeta in corrispondenza di <math>s=3</math> né per altri valori dispari (e maggiori di <math>1</math>) di <math>s</math>. Sommando i primi termini della serie che definisce la funzione zeta si possono però ottenere valori approssimati:

:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1,202, </math>

:<math>\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots \approx 1,0369, </math>

:<math>\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots \approx 1,0083. </math>

La [[numero razionale|razionalità]] e la [[numero trascendente|trascendenza]] di questi valori è da molti anni al centro dell'interesse di molti studiosi di [[teoria dei numeri trascendenti]]. Al [[2014]], non è noto se essi siano trascendenti o meno, mentre l'irrazionalità è stata dimostrata solo per la [[costante di Apéry]] ζ(3) da [[Roger Apéry]] nel [[1978]]. Ci sono inoltre altri risultati parziali sull'irrazionalità di queste costanti; ad esempio, è stato dimostrato che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9), e ζ(11) è irrazionale.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=W. Zudilin |titolo=One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational |rivista=Russ. Math. Surv. |anno=2001 |volume=56 |numero=4 |pp=774-776}}</ref>

=== Altri valori ===
:<math>\zeta(3/2) \approx 2,612</math>

:<math>\zeta(5/2) \approx 1,341</math>

:<math>\zeta(7/2) \approx 1,127</math>

:<math>\zeta(-1) = - \frac{1}{12}</math>

:<math>\zeta(0) = - \frac{1}{2}</math>

=== Il lavoro di Riemann ===
Molto prima che Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrassero il [[teorema dei numeri primi]], [[Bernhard Riemann]] pubblicò nel [[1859]] (come accennato) un articolo in cui trattava la funzione zeta. Oltre a estendere il dominio della funzione tramite [[prolungamento analitico|prolungamenti analitici]] Riemann, partendo dal [[Formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]], dimostrò una formula straordinaria che esprimeva appieno la correlazione tra numeri primi e funzione zeta

:<math>\pi(x)=\sum_{m=1}^\infty{\mu(m)\frac{J(x^{1/m})}{m}},</math>

dove

:<math>J(x)=\mathrm{li}(x)-\sum_{\rho}{\mathrm{li}(x^\rho)}-\log 2+\int_x^{+\infty}{\frac{1}{u^2-1}\cdot\frac{du}{u\ln u}},</math>

con <math>\mathrm{li}(x)</math> che è il [[logaritmo integrale]] e la serie sulla destra è sommata su tutti gli zeri non banali <math>\rho</math> della funzione zeta di Riemann. La formula dà sempre un valore numerico reale anche se i <math>\rho</math> sono [[numero complesso|numeri complessi]]. Questo è dovuto al fatto che le parti immaginarie degli zeri sono simmetriche rispetto all'origine. In altre parole se <math>\zeta(a+bi)=0</math> anche <math>\zeta(a-bi)=0</math> e questa proprietà si estende anche a <math>\mathrm{li}(x^\rho)</math>. Sommando dunque queste quantità la parte immaginaria si annulla.

==Citazioni in letteratura==

La funzione Zeta di Riemann è il tema della Tesi di Laurea discussa dal personaggio di Mattia Balossino, protagonista del romanzo [[Premio Strega]] e [[Premio Campiello]] nel 2008, [[La solitudine dei numeri primi]] del noto scrittore torinese [[Paolo Giordano (scrittore)]] e da cui il regista [[Saverio Costanzo]] nel 2010 ha tratto l'omonimo film.

==Note==
;Annotazioni
<references group="N"/>
;Fonti
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | autore= [[Milton Abramowitz]] |coautori= [[Irene Stegun]]| titolo= [[Handbook of Mathematical Functions]]| editore= Dover| città= New York| anno= 1964|capitolo=23|lingua= en}}
* {{Cita libro| Tom M. | Apostol |wkautore=Tom M. Apostol| Introduction to Analytic Number Theory| 1976 | Springer-Verlag | New York |cid=Apostol|isbn=0-387-90163-9|lingua=en}}
* {{Cita libro| H. M. | Edwards|wkautore=Harold Edwards| Riemann's Zeta Function| 1974| Academic Press|cid=Edwards|isbn=0-486-41740-9|lingua=en}}
* {{Cita libro| Albert Edward | Ingham |wkautore=Albert Ingham| The Distribution of Prime Numbers| 1932| Cambridge Mathematical Library | New York |cid=Ingham|isbn=0-521-39789-8|lingua=en}}
*{{cita libro| autore=[[Edward Charles Titchmarsh]]|coautori=riveduto da [[Roger Heath-Brown]]| titolo=The theory of the Riemann zeta-function | anno=1986 | editore=Oxford University Press | città=New York|ed=2|cid=Titchmarsh|isbn=0-19-853369-1|lingua=en}} ([https://www.archive.org/details/zetafunctionofri032076mbp Edizione originale])

== Voci correlate ==
* [[Funzione Gamma|Funzione gamma di Eulero]]
* [[Funzione eta di Dirichlet]]
* [[Serie armonica]]
* [[Problema di Basilea]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

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