Visualizza wikitesto di Funzione a quadrato sommabile

In [[analisi matematica]], una [[funzione (matematica)|funzione]] <math> f(x) </math> [[funzione di variabile reale|di una variabile reale]] a valori [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]] si dice '''a quadrato sommabile''', o anche '''a quadrato integrabile''', in un determinato [[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>I = [a,b]</math> se l'[[integrale]] del quadrato del suo [[norma (matematica)|modulo]] in <math>I</math> è finito:

:<math>\int_a^b |f(x)|^2\mathrm dx ~<~ \infty</math>

La nozione si estende a funzioni definite su di uno [[spazio di misura]] a valori in uno [[spazio vettoriale topologico]].

L'insieme di tutte le [[Funzione misurabile|funzioni misurabili]] su un dato dominio, che in esso sono a quadrato sommabile, forma uno [[spazio di Hilbert]], il cosiddetto [[spazio Lp|spazio L<sup>2</sup>]].

== Applicazioni nella meccanica quantistica ==
La condizione di quadrato sommabilità è necessaria particolarmente nella [[meccanica quantistica]], in quanto costituisce una richiesta basilare per le [[funzione d'onda|funzioni d'onda]] che descrivono il comportamento delle particelle elementari e, in particolare, la probabilità di osservare il sistema in un certo [[stato quantico]]. Ad esempio, lo stato di una particella (senza [[spin]]) associata a un [[campo scalare]] è una [[funzione d'onda]] della forma <math>\psi(x,y,z)</math>, dove l'integrale:

:<math>p(V) = \int_V |\psi(x,y,z)|^2 \mathop{\mathrm dx}\mathop{\mathrm dy}\mathop{\mathrm dz} </math>

rappresenta la probabilità di trovare la particella nel volume <math>V</math>.

Per questo motivo, dato che la probabilità deve essere necessariamente finita e normalizzabile, si richiede che esista e abbia valore finito un integrale della forma:

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm dx \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm dy \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm dz |\psi(x,y,z)|^2</math>

Questa nozione si generalizza in quella di [[Spazio Lp|funzione "p-sommabile"]] per p [[numero reale]] positivo; la quadrato-sommabilità corrisponde al caso particolare p=2.

==Bibliografia==
* {{Cita libro|titolo= Orthogonal Functions
 |url= https://archive.org/details/orthogonalfuncti00sans
 |autore= [[Giovanni Sansone]]
 |editore= Dover Publications
 |anno= 1991
 | isbn = 978-0-486-66730-0
 |pp= [https://archive.org/details/orthogonalfuncti00sans/page/n5 1]-2
 |lingua= en
 }}

==Voci correlate==
*[[Funzione integrabile]]
*[[Spazio Lp]]
*[[Spazio l²]]

==Collegamenti esterni==
* {{cita web|http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node33.html|Normalization of the wave-function|lingua=en}}

{{Portale|fisica|matematica}}

[[Categoria:Calcolo integrale]]
[[Categoria:Meccanica quantistica]]