Visualizza wikitesto di Estremo superiore e estremo inferiore

In [[matematica]], l''''estremo superiore''' di un insieme <math>E</math> contenuto in un [[Relazione d'ordine|insieme ordinato]] <math>X</math> è il più piccolo elemento dei [[Maggiorante e minorante|maggioranti]] di <math>E</math>.

In modo [[Dualità (matematica)|duale]], l''''estremo inferiore''' di <math>E</math> è definito come il più grande elemento dei [[minorante|minoranti]] di <math>E</math>.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad <math>E</math> oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli [[insieme ordinato|insiemi ordinati]], per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di [[Numero complesso|numeri complessi]].

== Definizione ==
Siano <math>(X,\leq)</math> un [[ordine totale|insieme totalmente ordinato]], <math>E\subseteq X</math>.  Se esiste un elemento <math>y\in X</math> tale che:
* <math>y</math> è un [[maggiorante]] di <math>E</math>
* <math>\nexists z \in X</math> tale che <math>z</math> è un maggiorante di <math>E</math> e <math> z<y </math> (cioè il maggiorante più piccolo è <math>y</math> stesso)
si dice che <math>y</math> è ''estremo superiore'' di <math>E</math>, in simboli <math>y=\sup E</math>.

Se invece esiste un elemento <math>x\in X</math> tale che:
* <math>x</math> è un [[minorante]] di <math>E</math>
* <math>\nexists a \in X</math> tale che <math>a</math> è un minorante di <math>E</math> e <math> a>x </math> (cioè il minorante più grande è <math>x</math> stesso)
si dice che <math>x</math> è ''estremo inferiore'' di <math>E</math>, in simboli <math>x=\inf E</math>.
Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente.
Un [[insieme limitato]] superiormente e inferiormente si dice limitato.

== Sottoinsiemi della retta reale ==
Se si considera un insieme <math>E\subseteq \R^*</math> della [[Numero reale#Insieme reale esteso|retta reale estesa]], questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'[[assioma di Dedekind]], che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di <math>\mathbb{R}</math> è [[Completezza (logica matematica)|completo]] e dalla convenzione che, se <math>E</math> non è limitato superiormente (inferiormente) in <math>\mathbb{R}</math>, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: <math>\sup E=+\infty</math> e/o <math>\inf E=-\infty</math>.

=== Esempi ===
Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.
* <math>\sup\{1,2,3\} = 3</math>
In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che <math>3</math> è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di <math>3</math> non è maggiorante dell'insieme;
* <math>\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}=\inf (0,1)=0</math>
L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti <math>0</math> non appartiene all'insieme;
* <math>\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \}=\sup [0,1]=1</math>
L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;
* <math>\inf \{y\in\mathbb{R}: y=1/x, x>0\}=\inf(0,\infty)=0</math>
anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della [[funzione monotona]] <math>1/x</math> per <math>x\to \infty</math>
* <math>\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 4\}=2</math>
l'estremo superiore coincide con il massimo;
* <math>\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2<4\}=2</math>
come prima ma l'insieme non ha massimo;
* <math>\sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}=\sqrt{2}</math>
in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

== Completezza ed esistenza ==
Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia <math>E\subseteq\mathbb{Q}</math> definito come:

:<math>\{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}</math>

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se <math>x\in\mathbb{Q}</math> e <math>x\geq 2</math>, <math>x</math> è maggiorante di <math>E</math>. L'insieme però non ha estremo superiore (<math>\sqrt{2}</math> non appartiene a <math>\mathbb{Q}</math>). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, <math>\mathbb{R}</math>, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

== Notazioni ==
Spesso si incontrano notazioni del tipo:

:<math>y=\inf_{x\in A} f(x)</math>

dove <math>f</math> è una [[funzione (matematica)|funzione]] a valori reali su un dominio qualsiasi e <math>A</math> è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

:<math>y=\inf\{z=f(x), x\in A\}</math>

indica cioè l'estremo inferiore dell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>A</math> mediante <math>f</math>.

=== Esempi ===
Un primo esempio è

:<math>\sup_{x\in\mathbb{R}} x^2 = +\infty</math>

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

:<math>\inf_{x\in[0,1]} x^2 = 0</math>

e anche:

:<math>\inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0</math>

in questo caso però <math>0</math> non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

:<math>\sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0 \qquad \sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1</math>

== Funzioni monotone ==
Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia <math>f:(a,b)\to\mathbb{R}</math> una [[funzione monotona]] in <math>(a,b)</math>. Allora esistono:

:<math>\lim_{x\to b_-} f(x) \qquad \lim_{x\to a_+} f(x)</math>

e si ha (nel caso sia <math>f</math> non decrescente):

:<math>\lim_{x\to b_-} f(x)=\sup_{x\in(a,b)} f(x)</math> e <math>\lim_{x\to a_+} f(x)=\inf_{x\in(a,b)} f(x)</math>

con risultati speculari se <math>f</math> è invece non crescente.

==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Principi di analisi matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | anno= 1991| isbn= 88-386-0647-1|cid =rudin}}

== Voci correlate ==
* [[Funzione monotona]]
* [[Limite superiore e limite inferiore]]
* [[Maggiorante e minorante]]
* [[Relazione d'ordine]]

== Altri progetti==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{springerEOM|titolo=Upper and lower bounds|autore=  L.D. Kudryavtsev }}
* {{planetmath|supremum|supremum}}

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Calcolo infinitesimale]]
[[Categoria:Teoria degli ordini]]