Visualizza wikitesto di Esperimento di Hafele-Keating

[[File:HP 5061A Cesium Beam Frequency Standard.JPG|thumb|Uno degli orologi atomici al cesio HP 5061A usati nell'esperimento di Hafele–Keating]]
L{{'}}'''esperimento di Hafele-Keating''', eseguito nell'[[anno]] [[1971]] da Joseph C. Hafele e Richard E. Keating, fu un [[esperimento]] grazie al quale fu possibile verificare con estrema precisione (come si legge nell'articolo della rivista ''[[Science]]'' pubblicato nel [[1972]]<ref name="paper1">{{Cita pubblicazione |cognome1= Hafele |nome1= J. C. |wkautore1= Joseph C. Hafele |cognome2= Keating |nome2= R. E. |wkautore2= Richard E. Keating |doi= 10.1126/science.177.4044.166 |titolo= Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains |rivista= [[Science]] |volume= 177 |numero= 4044 |pp= 166-168 |data= 14 luglio 1972 |pmid= 17779917 |bibcode= 1972Sci...177..166H |cid= Hafele Keating, 1972a |url= http://www.personal.psu.edu/rq9/HOW/Atomic_Clocks_Predictions.pdf |accesso= 6 ottobre 2018 |dataarchivio= 31 marzo 2017 |urlarchivio= https://web.archive.org/web/20170331121014/http://www.personal.psu.edu/rq9/HOW/Atomic_Clocks_Predictions.pdf |urlmorto= sì }}</ref><ref name="paper2">{{Cita pubblicazione |cognome1= Hafele |nome1= J. C. |wkautore1= Joseph C. Hafele |cognome2= Keating |nome2= R. E. |wkautore2= Richard E. Keating |doi= 10.1126/science.177.4044.168 |titolo= Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains |rivista= [[Science]] |volume= 177 |numero= 4044 |pp= 168-170 |data= 14 luglio 1972 |pmid= 17779918 |bibcode= 1972Sci...177..168H |cid= Hafele Keating, 1972b |url= http://www.personal.psu.edu/rq9/HOW/Atomic_Clocks_Experiment.pdf |accesso= 6 ottobre 2018 |dataarchivio= 31 marzo 2017 |urlarchivio= https://web.archive.org/web/20170331121107/http://www.personal.psu.edu/rq9/HOW/Atomic_Clocks_Experiment.pdf |urlmorto= sì }}</ref>) le predizioni delle teorie della [[Relatività ristretta]] e della [[Relatività generale]]. In particolare lo scopo fu quello di verificare gli effetti del [[campo gravitazionale]] terrestre sullo scorrere del [[tempo]] che risultano difficili da misurare in quanto estremamente brevi. La verifica fu possibile grazie all'utilizzo di tre [[Orologio atomico|orologi atomici]] in grado di apprezzare intervalli di tempo dell'ordine del [[nanosecondo]] e di due [[Aereo di linea|aerei di linea]] di una tratta commerciale.

== L'esperimento ==
[[File:Hafele–Keating.jpg|thumb|upright=1.6|Esperimento di Hafele-Keating ([[1971]])]]
Secondo la teoria della [[Relatività ristretta]], per un [[orologio]] che si trova all'[[equatore]] il [[tempo]] è dilatato e dunque scorre più lentamente rispetto ad un orologio fermo ad uno dei due [[Polo geografico|poli terrestri]]<ref>{{Cita pubblicazione|nome=A. |cognome=Einstein |wkautore=Albert Einstein |titolo=On the electrodynamics of moving bodies |rivista=[[Annalen der Physik]] |volume=17 |numero=10 |p=891 |data=1923 |datapubblicazione=1905 |url=https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/|bibcode=1905AnP...322..891E |doi=10.1002/andp.19053221004 }}</ref>. Questo effetto è dovuto al fatto che un orologio all'equatore ha una [[velocità]] dovuta alla [[rotazione]] della [[terra]] che nei poli è assente. Se inoltre si pone un terzo orologio su un aereo che si muove con una certa velocità rispetto alla [[superficie terrestre]] ci si aspetta che anche per questo il tempo scorra diversamente rispetto ai due orologi citati prima. In particolare le differenze nello scorrere del tempo dell'orologio sull'aereo saranno dovute a due effetti: da un lato la dilatazione dei tempi dovuta alla relatività ristretta e dall'altro l'effetto opposto di accelerazione dei tempi rispetto ad un orologio a terra dovuto alla minore intensità del [[campo gravitazionale terrestre]] previsto dalla [[relatività generale]]<ref>{{Cita web|url=https://physics.stackexchange.com/questions/126919/does-time-move-slower-at-the-equator|titolo=Does time move slower at the equator?|sito=physics.stackexchange.com|accesso=4 marzo 2018}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Drake|nome=S.P.|data=gennaio 2006|titolo=The equivalence principle as a stepping stone from special to general relativity|url=http://newt.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/2006AJP.pdf|rivista=Am. J. Phys.|volume=74|pp=22-25|arxiv=gr-qc/0501034|bibcode=2006AmJPh..74...22D|doi=10.1119/1.2135316}}</ref>.
L'esperimento consente così di verificare, tramite il confronto dei tre orologi, sia la teoria della Relatività generale che la teoria della Relatività ristretta. Si può trovare una descrizione più esaustiva dell'esperimento nell'articolo scritto dallo stesso<ref name=":0">{{Cita conferenza|cognome=Hafele|nome=J. C.|wkautore=Joseph C. Hafele|titolo=Performance and results of portable clocks in aircraft|conferenza=PTTI, 3rd Annual Meeting|anno=1971|urlconferenza=http://tycho.usno.navy.mil/ptti/ptti1971.html|url=http://tycho.usno.navy.mil/ptti/1971papers/Vol%2003_17.pdf|accesso=7 ottobre 2018|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170126213131/http://tycho.usno.navy.mil/ptti/1971papers/Vol%2003_17.pdf|urlmorto=sì}}</ref>.

== Verifica della Relatività ristretta ==
Usando le [[trasformazioni di Lorentz]] è possibile calcolare con esattezza le differenze nello scorrere dei tempi di questi orologi. Usiamo l'orologio al polo come orologio di riferimento in quanto fermo. Chiameremo <math>\tau_{ref}</math> il [[tempo proprio]] dell'orologio situato in uno dei due poli, <math>\tau_0</math>il tempo dell'orologio a terra misurato nel [[sistema di riferimento]] fermo ai poli e <math>\tau</math> il tempo misurato dall'orologio sull'aereo.

Chiamiamo <math>R</math> il [[Raggio terrestre|raggio della terra]] e <math>\Omega
</math> la sua [[velocità angolare]].

Applicando le [[trasformazioni di Lorentz]] declinate nella formula di [[Dilatazione del tempo|dilatazione dei tempi]]<ref>{{Cita libro|titolo=Astrophysical Formulae: Space, Time, Matter and Cosmology|edizione=3rd, illustrated|nome1=Kenneth|cognome1=Lang|editore=Springer|anno=2013|isbn=978-3-662-21639-2|p=152|url=https://books.google.com/books?id=Nq_1CAAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=Nq_1CAAAQBAJ&pg=PA152 Extract of page 152]</ref> e approssimando tramite lo [[sviluppo in serie di Taylor]] (in quanto <math>\frac{R\Omega}{c} << 1</math>) possiamo scrivere:

<math>\tau_0=\tau_{ref}\sqrt{1-\Biggl( \frac{R\Omega}{c}\Biggr)^2 }\approx\tau_{ref}\left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega}{c}\Biggr)^2\right ] \quad (1)</math>

e siccome l'aereo viaggia a velocità <math>v</math> rispetto alla superficie terrestre e ad altezza <math>h</math> vale che la velocità dell'aereo rispetto al polo sarà <math>v_{aereo} = \Omega (R+h) + v</math> dove la velocità <math>v </math> sarà positiva se l'aereo viaggia ad Est e negativa se l'aereo viaggia ad Ovest.  In altri termini avremo: <math>v_{aereo_{est}} = \Omega (R+h) + |v|</math> e <math>v_{aereo_{ovest}} = \Omega (R+h) - |v|</math>.

Siccome <math>h<<R</math> possiamo approssimare <math>v_{aereo} = \Omega (R+h) + v \approx \Omega R + v</math> e dunque otteniamo, sostituendo nelle trasformazioni di Lorentz e approssimando tramite lo sviluppo in serie di Taylor:

<math>\tau
=\tau_{ref}\sqrt{1-\Biggl( \frac{R\Omega \pm v}{c}\Biggr)^2 }\approx\tau_{ref}\left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega \pm v}{c}\Biggr)^2\right ]</math>

Possiamo ora valutare la differenza <math>\tau - \tau_{0}</math> che rappresenta la differenza fra il tempo trascorso per l'orologio situato sulla superficie terrestre all'equatore e il tempo misurato a bordo dell'aereo. Una volta valutata questa quantità possiamo confrontarla con i tempi indicati dai due orologi atomici e verificare se essi indicano la stessa quantità (ovviamente in questa verifica terremo debitamente conto degli effetti previsti dalla relatività generale per poi confrontare i ritardi dovuti unicamente agli effetti cinematici della relatività ristretta<ref name=":0" />).

<math>\tau - \tau_{0} = \tau_{ref}\left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega \pm v}{c}\Biggr)^2\right ] - \tau_{0} \quad (2) </math>

ora dalla <math>(1)</math> si ricava

<math>\tau_{ref} = \tau_0 \left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega}{c}\Biggr)^2\right ]^{-1}
 </math>

e dunque, sostituendo in <math>(2)
 </math>e sviluppando in serie di Taylor otteniamo:

<math> \tau - \tau_{0} =\tau_0 \left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega \pm v}{c}\Biggr)^2\right ]\left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega}{c}\Biggr)^2\right ]^{-1} - \tau_0 \approx \tau_0 \left [1 - \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega \pm v}{c}\Biggr)^2\right ]\left [1 + \frac{1}{2}\Biggl( \frac{R\Omega}{c}\Biggr)^2\right ] - \tau_0 \approx  -\frac {1}{2c^2} \left [ 2R \Omega v + v^2\right] \tau_0
 </math>

Dunque avremo che l'orologio sulla Terra sarà in ritardo o in anticipo rispetto a quello sull'aereo a seconda del segno di <math>\tau - \tau_{0}</math>:

* se  <math>\tau - \tau_{0} < 0</math>  l'orologio sull'aereo sarà in ritardo (perde tempo, sull'aereo il tempo scorre più lentamente);
*se  <math>\tau - \tau_{0} > 0</math>  l'orologio sull'aereo sarà in anticipo (guadagna tempo, sull'aereo il tempo scorre più velocemente).

Osserviamo immediatamente che se l'aereo viaggia verso est, cioè <math>v>0
 </math>, avremo sicuramente <math>\tau - \tau_0 < 0
 </math> e dunque l'orologio sull'aereo sarà in ritardo rispetto a quello sulla terra.

Se l'aereo viaggia verso ovest, cioè <math>v<0
 </math>, il segno di <math>\tau - \tau_0

 </math> può essere positivo o negativo a seconda della velocità dell'aereo. Supponendo che la velocità media di un aereo di linea sia di circa <math>850 Km/h
 </math> e sapendo che <math>R = 6.371 km
 </math> è il raggio della Terra e <math>\Omega = \frac{2 \pi }{24h} </math> è la sua velocità angolare otteniamo <math>\tau - \tau_0 >0
 </math> e dunque ci si aspetta che l'orologio a bordo guadagni tempo, cioè anticipi rispetto all'orologio a terra.

Riassumendo ci aspettiamo di ottenere i seguenti risultati:

* se l'orologio viaggia verso est  <math>\tau - \tau_{0} < 0</math> l'orologio sull'aereo sarà in ritardo;
* se l'orologio viaggia verso ovest  <math>\tau - \tau_{0} > 0</math> l'orologio sull'aereo sarà in anticipo.

== Risultati sperimentali ==
I risultati sperimentali complessivi, che includono gli effetti dovuti sia alla relatività ristretta sia a quella generale, vennero pubblicati sulla rivista [[Science]] nel [[1972]]<ref name="paper1" /><ref name="paper2" />:
{| class="wikitable" style="text-align: center"
| rowspan="2" |
! colspan="3" |Scarto temporale atteso (ns)
! rowspan="2" |Scarto temporale misurato (ns)
! rowspan="2" |Discrepanza teoria/esperimento
|-
!Gravitazionale
([[relatività generale]])
!Cinematico
([[relatività ristretta]])
!Totale
|-
!Est
| +144 ±14
|−184 ±18
|−40 ±23
|−59 ±10
|{{#expr:(-40 - -59)/sqrt(23*23 + 10*10) round 2}} σ
|-
!Ovest
| +179 ±18
| +96 ±10
| +275 ±21
| +273 ±7
|{{#expr:(275 - 273)/sqrt(21*21 + 7*7) round 2}} σ
|}
Le perdite e i guadagni di tempo rilevati erano compatibili con quelli attesi, con un alto livello di confidenza<ref>{{Cita libro|titolo=Fundamentals of Physics, Part 4|edizione=7th, illustrated|nome1=David|cognome1=Halliday|nome2=Robert|cognome2=Resnick|nome3=JearlWalker|cognome3=Walker|editore=Wiley|anno=2004|isbn=978-0-471-42964-7|p=1030|url=https://books.google.com/books?id=um8JIopmWKUC}}</ref>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | titolo=Relatività ristretta | anno=2018 | editore=Wikitolearn | url=https://it.wikitolearn.org/Corso:Relativit%C3%A0_ristretta/Paradossi_ed_esperimenti/Esperimento_di_Hafele-Keating | accesso=6 ottobre 2018 | dataarchivio=7 ottobre 2018 | urlarchivio=https://web.archive.org/web/20181007040238/https://it.wikitolearn.org/Corso:Relativit%C3%A0_ristretta/Paradossi_ed_esperimenti/Esperimento_di_Hafele-Keating | urlmorto=sì }}

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamento interrotto|1=[https://it.wikitolearn.org/Corso:Relativit%C3%A0_ristretta/Paradossi_ed_esperimenti/Esperimento_di_Hafele-Keating, '' Esperimento di Hafele-Keating'', October 6, 2018] |date=maggio 2019 |bot=InternetArchiveBot }}.

{{Portale|fisica}}

[[Categoria:Relatività generale]]
[[Categoria:Relatività ristretta]]