Visualizza wikitesto di Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un''''equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo''' è un'[[equazione differenziale lineare]] in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

==Definizione==
Un'equazione differenziale lineare di ordine ''n'' completa a coefficienti variabili ha la forma:

:<math>y^{(n)} + a_1 (x) \cdot y^{(n-1)} + a_2 (x) \cdot y^{(n-2)} + \cdots + a_{n-1} (x) \cdot y' + a_n (x) \cdot y = f(x)</math>

Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono [[Funzione costante|funzioni costanti]]:

:<math>\, y^{(n)} + a_1 \cdot y^{(n-1)} + a_2 \cdot y^{(n-2)} + \cdots + a_{n-1} \cdot y' + a_n \cdot y = f(x)</math>

l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente [[problema di Cauchy]]:

:<math>\begin{cases} y(x=x_0) =y_0 \\ y'(x=x_0) =y_1 \\ \vdots \\ y^{(n)} (x=x_0) = y_n \end{cases}</math>

è allora risolvibile e fornisce una e una sola soluzione.

===Esempio===
Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine ''n'' è:

:<math>y^{(n)} = f(x)</math>

il cui integrale è facilmente ricavabile:

:<math>y = \int_{n} f(x) \, dx^n + c_1 x^{n-1} + c_2 x^{n-2} + \cdots + c_{n-1} x + c_n</math>

Si tratta di integrare n volte la <math>f(x)</math>.

Un esempio numerico è <math>y''' = \sin x</math>, dove integrando tre volte successivamente si ha:

:<math>y'' = - \cos x + c_{1}^{''} \qquad y' = - \sin x + c_{1}^{'} \cdot x + c_{2}^{'} \qquad y = \cos x + c_{1} \cdot x^2 + c_{2} x + c_3</math>

==Equazione omogenea==
Si può dimostrare che il [[wronskiano]] delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le [[equazione differenziale lineare del secondo ordine|equazioni differenziali lineari del secondo ordine]] a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:

:<math>\lambda^{n} + a_1 \cdot \lambda^{n-1} + a_2 \cdot \lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \cdot \lambda + a_n = 0</math>

* Se le radici <math>\lambda_i</math> sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:

:<math>y = e^{\lambda_i \cdot x}</math>

* Se una radice, ad esempio <math>\lambda_1</math>, è soluzione multipla di [[molteplicità algebrica|molteplicità]] <math>s</math>, allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:

:<math>e^{\lambda_1 \cdot x} \quad x e^{\lambda_1 x} \quad x^2 e^{\lambda_1 x} \quad \cdots \quad x^{s-1} e^{\lambda_1 x}</math>

* Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero <math>\lambda_{1,2} = c \pm id</math>, allora:

:<math>e^{c x} \cos (d x), e^{c x} \sin (d x)</math>

* Se la radice complessa coniugata <math>\lambda = c \pm id</math> è multipla con molteplicità <math>r</math> si ha:

:<math>e^{c x} \cos (d x) \quad x e^{c x} \cos (d x) \quad x^2 e^{c x} \cos (d x) \quad \cdots \quad x^{r-1} e^{c x} \cos (d x)</math>

:<math>e^{c x} \sin (d x) \quad x e^{c x} \sin (d x) \quad x^2 e^{c x} \sin (d x) \quad \cdots \quad  x^{r-1} e^{c x} \sin (d x)</math>

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle ''n'' costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

==Equazione completa==
{{Vedi anche|Metodo delle variazioni delle costanti}}
In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il [[metodo delle variazioni delle costanti]] o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:

* Sia:

:<math>f(x)= P(x)</math>

:dove <math>P(x)</math> è un [[polinomio]] di grado ''m''. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo <math>u(x) = P_1 (x)</math>, dove <math>P_1(x)</math> è un polinomio formale di grado ''m''. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:

:<math>u(x) = x^r P_1 (x)</math>

* Sia:

:<math>f(x)= A \cdot e^{\alpha x}</math>

:dove <math>A</math> è una costante data. Se <math>\alpha</math> non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

:<math>u(x) = B \cdot e^{\alpha x}</math>

:dove <math>B</math> è una costante da determinare. Nel caso <math>\alpha</math> sia radice di molteplicità <math>r</math> si cerca una soluzione del tipo:

:<math>u(x) = x^r \cdot B \cdot e^{\alpha x}</math>

* Sia:

:<math>f(x)= P(x) \cdot e^{\alpha x}</math>

:dove <math>P(x)</math> è un polinomio di grado ''m''. Se <math>\alpha</math> non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

:<math>u(x) = P_1 (x) \cdot e^{\alpha x}</math>

:dove <math>P_1</math> è un polinomio formale di grado ''m''. Nel caso <math>\alpha</math> sia radice di molteplicità <math>r</math> si cerca una soluzione del tipo:

:<math>u(x) = x^r \cdot P_1 (x) \cdot e^{\alpha x}</math>

* Se <math>f</math> possiede una delle seguenti espressioni:

:<math>f(x)= A \cdot \cos (\beta x) \qquad f(x)= B \cdot \sin (\beta x) \qquad f(x)= A \cdot \cos (\beta x) + B \sin (\beta x)</math>

:dove <math>A</math> e <math>B</math> sono costanti date, allora se <math>i\beta</math> non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:

:<math>f(x)= C \cdot \cos (\beta x) + D \sin (\beta x)</math>

:dove <math>C</math> e <math>D</math> sono costanti da determinare. Nel caso <math>i\beta</math> sia radice di molteplicità <math>r</math> si cerca una soluzione del tipo:

:<math>f(x)= x^r \left( C \cdot \cos (\beta x) + D \sin (\beta x) \right)</math>

* Sia:

:<math>f(x)= f_1(x) + f_2(x) + ... + f_m(x)</math>

:Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:

:<math>y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f_i (x) \qquad i=1,...,m</math>

:e successivamente sommare le <math>u_i (x)</math> soluzioni:

:<math>u = u_{1} + u_2 + \cdots + u_m </math>

==Bibliografia==
* Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp.&nbsp;467–480, 1985.
* Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. ''Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems'', 4th ed. New York: Wiley, 1986.
* Morse, P. M. and Feshbach, H. ''Methods of Theoretical Physics, Part I''. New York: McGraw-Hill, pp.&nbsp;667–674, 1953.

==Voci correlate==
*[[Equazione differenziale lineare del secondo ordine]]
*[[Equazione differenziale lineare]]
*[[Equazione differenziale ordinaria]]
*[[Wronskiano]]
*[[Metodo delle variazioni delle costanti]]
*[[Equazione omogenea di Eulero]]

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Equazioni differenziali ordinarie|Lineari di ordine superiore al primo]]