Visualizza wikitesto di E6 (matematica)

{{F|matematica|luglio 2017}}
{{Titolo errato|E<sub>6</sub> (matematica)}}

In [[matematica]], '''E<sub>6</sub>''' è la sigla che contraddistingue un [[gruppo di Lie]] e la sua [[algebra di Lie]] <math>\mathfrak{e}_6</math>. Il gruppo E6 è uno dei cinque [[gruppo di Lie semplice|gruppi di Lie semplici]] eccezionali e uno dei [[gruppo semplicemente allacciato|gruppi semplicemente allacciati]].

''E''<sub>6</sub> ha rango 6 e dimensione 78. Il suo [[Centro di un gruppo|centro]] è il [[gruppo ciclico]] '''Z'''<sub>3</sub>. Il suo [[gruppo di automorfismo esterno]] è il gruppo ciclico '''Z'''<sub>2</sub>. La sua [[rappresentazione fondamentale]] ha 27 dimensioni (complesse) e la sua [[ rappresentazione duale]], che non è equivalente alla precedente, ha anch'essa 27 dimensioni.

Nella [[fisica delle particelle]] ''E''<sub>6</sub> gioca un ruolo di rilievo in alcune [[Teoria della grande unificazione|grandi teorie unificate]].

== Algebra ==

===Diagramma di Dynkin===

<div align="center">[[File:Dynkin diagram E6 2.png|Diagramma di Dynkin dell'E6]]</div>

=== Radici di E<sub>6</sub> ===

Sebbene generino uno [[spazio vettoriale|spazio]] a sei [[dimensione|dimensioni]], possono essere considerati meglio e in modo più simmetrico come [[Vettore (matematica)|vettori]] di un [[sottospazio vettoriale|sottospazio]] a sei dimensioni di uno spazio di dimensione nove:

:(1,-1,0;0,0,0;0,0,0), (-1,1,0;0,0,0;0,0,0),

:(-1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,-1;0,0,0;0,0,0),

:(0,1,-1;0,0,0;0,0,0), (0,-1,1;0,0,0;0,0,0),

:(0,0,0;1,-1,0;0,0,0), (0,0,0;-1,1,0;0,0,0),

:(0,0,0;-1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,-1;0,0,0),

:(0,0,0;0,1,-1;0,0,0), (0,0,0;0,-1,1;0,0,0),

:(0,0,0;0,0,0;1,-1,0), (0,0,0;0,0,0;-1,1,0),

:(0,0,0;0,0,0;-1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,-1),

:(0,0,0;0,0,0;0,1,-1), (0,0,0;0,0,0;0,-1,1),

Tutte le 27 combinazioni di <math>(\mathbf{3};\mathbf{3};\mathbf{3})</math> dove <math>\mathbf{3}</math> è una delle terne  <math>(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})</math>, <math>(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})</math>,
<math>(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3})</math>

Tutte le 27 combinazioni of <math>(\mathbf{\bar{3}};\mathbf{\bar{3}};\mathbf{\bar{3}})</math> dove  <math>\mathbf{\bar{3}}</math> è una delle terne  <math>(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>, <math>(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3})</math>,
<math>(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})</math>

'''Radici semplici'''

:(0,0,0;0,0,0;0,1,-1)

:(0,0,0;0,0,0;1,-1,0)

:(0,0,0;0,1,-1;0,0,0)

:(0,0,0;1,-1,0;0,0,0)

:(0,1,-1;0,0,0;0,0,0)

:<math>(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3};-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3};-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})</math>

=== Gruppo di Weyl/Coxeter ===

Il suo [[gruppo di Weyl]]/[[gruppo di Coxeter|Coxeter]] è il gruppo di simmetria del [[politopo E6]].

=== Matrice di Cartan ===
:<math>
\begin{pmatrix}
2&-1&0&0&0&0\\
-1&2&-1&0&0&0\\
0&-1&2&-1&-1&0\\
0&0&-1&2&0&0\\
0&0&-1&0&2&-1\\
0&0&0&0&-1&2
\end{pmatrix}
</math>

<!-- {{Exceptional_Lie_groups}} -->

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Gruppi di Lie]]