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In [[algebra]], un '''dominio d'integrità''' è un [[anello commutativo]] con unità tale che <math>0 \neq 1</math> in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli [[numeri interi|interi]] e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un '''dominio d'integrità''' è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'[[anello (algebra)|anello]] <math>(A;+,\cdot)</math> è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
* <math>a\cdot b=b\cdot a \ \ \forall a,b \in A</math>
* <math>a\cdot b=0 \Rightarrow a=0\ \lor \ b=0</math>
</div>

La seconda legge viene detta [[legge di annullamento del prodotto]]. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'[[ideale nullo]] <math>\{0\}</math> è [[Ideale primo|primo]], o come [[sottoanello]] di un qualche [[Campo (matematica)|campo]].

La condizione che <math>0\neq 1</math> serve all'unico scopo di escludere l'anello banale <math>\{0\}</math> con un solo elemento.

== Esempi==
=== Domini d'integrità ===

* L'esempio tipico è l'anello <math>\Z</math> degli interi.
* Ogni [[campo (matematica)| campo]] è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità [[Anello artiniano|artiniano]] è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i [[Campo finito|campi finiti]]. 
* L'anello <math>D[x]</math> dei polinomi in <math>x</math> a coefficienti in un dominio di integrità <math>D</math> è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello <math>\Z[x]</math> dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello <math>\R[x,y]</math> dei polinomi in due variabili a coefficienti [[numero reale|reali]].
* L'insieme di tutti i [[numero reale|numeri reali]] della forma <math>a+b\sqrt{2}</math> con <math>a</math> e <math>b</math> [[intero|interi]] è un sottoanello di <math>\R</math> e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei [[numero complesso|numeri complessi]] della forma <math>a+bi</math> con <math>a</math> e <math>b</math> interi (gli [[Intero gaussiano|interi gaussiani]]).
* Gli [[numeri p-adici|interi p-adici]].
* Se <math>U</math> è un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] [[spazio connesso|connesso]] del [[numero complesso|piano complesso]] <math>\Complex</math>, allora l'anello <math>H(U)</math> delle [[Funzione olomorfa|funzioni olomorfe]] <math>f\colon U \to \Complex</math> è un dominio d'integrità.
* Se <math>A</math> è un anello commutativo e <math>P</math> è un [[Ideale (teoria degli anelli)|ideale]] in <math>A</math>, allora l'[[anello quoziente]] <math>A/P</math> è un dominio d'integrità se e solo se <math>P</math> è un [[ideale primo]].

=== Anelli che non sono domini d'integrità ===
* Il [[gruppo ciclico]] finito con <math>n</math> elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se <math>n</math> è un [[numero primo]], questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece <math>n</math> non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché <math>n</math> non è primo esistono <math>a<n</math> e <math>b<n</math> tali che <math>n=ab</math>, e tale uguaglianza nel gruppo diventa <math>0=ab</math>, con <math>a</math> e <math>b</math> diversi da zero.
* Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici <math>n\times n</math> generalmente non è commutativo.

== Campo delle frazioni ==
{{vedi anche|campo dei quozienti}}
Se <math>A</math> è un dominio d'integrità, il più piccolo campo <math>\mathrm{Quot}(A)</math> che contiene <math>A</math> come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato '''campo delle frazioni''' o '''campo quoziente''' di <math>A</math>. 

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, [[insieme quoziente|quozientando]] l'insieme delle [[coppia ordinata|coppie]] del [[prodotto cartesiano]] di <math>A</math>, scritte nella forma <math>a/b</math>, con <math>a</math> e <math>b</math> in <math>A</math> e <math>b\neq 0</math>, tramite la [[relazione di equivalenza]] <math>a/b \sim c/d</math> [[se e solo se]] <math>ad=bc</math> e munendolo delle operazioni
:<math>a/b+c/d=(ad+bc)/bd</math>
:<math>(a/b)(c/d)=ac/bd</math>.

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei [[numero razionale|numeri razionali]]: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui <math>4/3</math> e <math>8/6</math> sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

== Altre proprietà ==
Sia <math>A</math> un dominio d'integrità.
* Se <math>a</math> e <math>x</math> sono due elementi di <math>A</math> tali che <math>ax=a</math> e <math>a</math> è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se <math>a</math> non è invertibile, e ottenere <math>x=1</math>: infatti abbiamo <math>a(x-1)=0</math> e quindi <math>x=1</math> perché <math>A</math> è un dominio d'integrità.
* La [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>A</math> è zero o un [[numero primo]].
* Se <math>A</math> ha caratteristica prima <math>p</math>, allora <math>f(x)=x^p</math> definisce un [[omomorfismo|omomorfismo fra anelli]] [[funzione iniettiva|iniettivo]] <math>f\colon A\to A</math>, detto ''[[omomorfismo di Frobenius]]''.

== Divisibilità, elementi primi e irriducibili ==
{{vedi anche|Fattorizzazione (teoria degli anelli)}}
In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in <math>\Z</math>: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in <math>\Z</math>. 

=== Divisibilità ===
Se <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di un anello commutativo <math>A</math>, diciamo che ''<math>a</math> divide <math>b</math>'' o ''<math>a</math> è un [[divisore]] di <math>b</math>'' o ''<math>b</math> è un multiplo di <math>a</math>'' se e solo se esiste un elemento <math>x</math> in <math>A</math> tale che <math>ax=b</math>. In questo caso scriviamo <math>a|b</math>. Abbiamo le seguenti proprietà:
* se <math>a|b</math> e <math>b|c</math>, allora <math>a|c</math>;
* se <math>a</math> divide <math>b</math>, allora <math>a</math> divide ogni multiplo di <math>b</math>;
* se <math>a</math> divide due elementi, allora <math>a</math> divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono <math>1</math> sono le '''unità''' di <math>A</math>, e sono precisamente gli elementi invertibili di <math>A</math>. Le unità dividono ogni altro elemento.

Se <math>a|b</math> e <math>b|a</math>, allora diciamo che <math>a</math> e <math>b</math> sono '''elementi associati'''; <math>a</math> e <math>b</math> sono associati se e solo se esiste un'unità <math>u</math> tale che <math>au=b</math>.

=== Elementi primi e irriducibili ===
Nel tentativo di estendere una definizione di [[numero primo]] da <math>\Z</math> ad un anello commutativo <math>A</math> qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in <math>\Z</math> possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi ''irriducibili'' e ''primi''.

* Un elemento <math>a</math> di <math>A</math> è '''irriducibile''' se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità. 
* Un elemento <math>p</math> che non sia un'unità e diverso da zero di <math>A</math> è '''primo''' se <math>p|ab</math> implica <math>p|a</math> oppure <math>p|b</math>, per ogni <math>a</math> e <math>b</math> in <math>A</math>.

Le due definizioni coincidono su <math>\Z</math>: un numero <math>n</math> è irriducibile (o primo) se e solo se <math>n</math> oppure <math>-n</math> è un numero primo.

Se <math>A</math> è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che <math>p=ab</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>A</math>. Allora <math>p</math> divide <math>ab</math>. Quindi <math>p|a</math> oppure <math>p|b</math> perché <math>p</math> è primo. Supponiamo <math>p|a</math>, cioè <math>a=pq</math>. Quindi <math>p=pqb</math>, ovvero <math>p(1-qb)=0</math>. Poiché <math>A</math> è un dominio di integrità e <math>p</math> non è lo zero, abbiamo <math>qb=1</math> e quindi <math>b</math> è un'unità. Quindi <math>p</math> è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se <math>A</math> è un [[dominio a fattorizzazione unica]] i due concetti sono equivalenti.

== Bibliografia ==
*  [[Michael Artin]]: ''Algebra'', Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 8833955869

== Altri progetti ==
{{interprogetto|b=en:Abstract algebra/Integral domains}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{algebra}}
{{algebra commutativa}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli anelli]]
[[Categoria:Strutture algebriche]]