Visualizza wikitesto di Diagramma di Coxeter-Dynkin

[[Image:Finite coxeter.svg|400px|right|thumb|Diagrammi di Coxeter-Dynkin per i gruppi di Coxeter finiti fondamentali<ref name="grp" /><ref name="haze">{{Cita pubblicazione|pp=257-307|anno=1977|formato=pdf|url=https://math.ucr.edu/home/baez/hazewinkel_et_al.pdf|accesso=20 marzo 2024|etal=sì|nome=H.|cognome=Hazewinkel|titolo=The ubiquity of Coxeter-Dynkin diagrams|rivista=Nieuw Archief voor Wiskunde|volume=25}}</ref>]]
[[File:Affine coxeter.svg|400px|right|thumb|Diagrammi di Coxeter-Dynkin per i gruppi di Coxeter affini fondamentali<ref name="grp" /><ref name="ter">{{Cita pubblicazione|formato=pdf|url=https://sites.math.rutgers.edu/~jjs435/garts/Terence%203.21%20notes.pdf|data=marzo 2021|accesso=20 marzo 2024|nome=Terence|cognome=Coelho|editore=Rutgers, The State University of New Jersey|titolo=Finite and Affine Reflection Groups}}</ref><ref name="nl">{{Cita pubblicazione|formato=pdf|url=https://www.math.ru.nl/~heckman/CoxeterGroups.pdf
|p=79|accesso=20 marzo 2024|nome=Gert|cognome= Heckman|editore=Radboud Universiteit|titolo=Coxeter Groups}}</ref>]]
In [[geometria]], un '''diagramma di Coxeter-Dynkin''' (talvolta chiamato anche '''diagramma di Coxeter''' o '''grafo di Coxeter'''<ref name="grp">{{Cita pubblicazione|formato=pdf|capitolo= Arrangiamenti per gruppi di
 riflessione finiti |titolo=Gruppi di riflessione finiti e teorema di Deligne|editore=[[Università degli Studi di Pisa]]|url=https://www.phc.pisa.it/~lbruni/TesiLaurea.pdf|accesso=24 marzo 2024|nome=Luca|cognome=Bruni|anno=2018}}</ref>) è un [[grafo]] rappresentante un [[gruppo di Coxeter]],<ref>{{Cita libro|accesso=20 marzo 2024|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-011-0924-6_2|titolo=Polytopes: Abstract, Convex and Computational|curatore=T. Bisztriczky|anno=1994|nome=H. M. S.|cognome=Coxeter|capitolo=The Evolution of Coxeter-Dynkin Diagrams|pp=21-42|editore=Springer Nature}}</ref> avente gli archi etichettati con numeri che rappresentano le relazioni spaziali tra un insieme di [[Iperpiano|iperpiani]] riflettenti, detti specchi. Tale diagramma descrive di fatto una costruzione [[Caleidoscopio|caleidoscopica]] dove ogni nodo del grafo rappresenta uno specchio (ossia una [[Facet (geometria)|facet]] del dominio) e l'etichetta posta su un arco rappresenta l'ampiezza dell'[[angolo diedro]] formato da due specchi, e in particolare il valore per cui tale ampiezza deve essere moltiplicata per arrivare al valore di 180°. Un arco privo di etichetta rappresenta per definizione l'esistenza di un angolo di 60° tra i due specchi rappresentati dai nodi da lui connessi, mentre due nodi adiacenti non connessi da alcun arco implicano l'esistenza di un angolo di 90° tra i due specchi che essi rappresentano.<ref>{{cita libro|nome=Norman W. |cognome=Johnson |wkautore=Norman Johnson |titolo=Geometries and transformations |anno=2018 |url= https://books.google.it/books?redir_esc=y&hl=it&id=J7NavgAACAAJ&q=coxeter#v=snippet&q=coxeter%20diagram&f=false|editore=[[Cambridge University Press]]|isbn=9781107103405|cid=Johnson|accesso=20 marzo 2024 }}</ref>

I [[Diagramma di Dynkin|diagrammi di Dynkin]] sono fortemente correlati ai diagrammi di Coxeter-Dynkin, da cui differiscono per pochi aspetti: innanzitutto i diagrammi di Coxeter-Dynkin sono grafi non orientati, mentre nei diagrammi di Dynkin gli archi etichettati con un numero maggiore o uguale a 4 sono orientati, inoltre i diagrammi di Dynkin devono soddisfare un'ulteriore restrizione, ossia che le uniche etichette possibili per i loro archi sono 2, 3, 4 e 6.

== Descrizione ==
Gli archi di un diagramma di Coxeter-Dynkin sono etichettati con un [[numero razionale]] ''p'', per cui l'angolo diedro tra i due specchi rappresentati dai due nodi connessi dall'arco è pari a 180°/''p''. Nel caso in cui ''p'' sia uguale a 2 e quindi in cui l'ampiezza del suddetto angolo sia pari a 90°, allora gli specchi non hanno interazione e l'arco può essere omesso dal diagramma. Se un arco è invece privo di etichetta, allora si assume che ''p'' sia uguale a 3 e quindi che l'ampiezza dell'angolo sia pari a 60°.<ref name="haze" /> Due specchi paralleli sono rappresentati da due nodi connessi da un arco etichettato con "&infin;". In teoria, ''n'' specchi possono essere rappresentati da un [[grafo completo]] in cui sono disegnati tutti gli ''n''(''n'' − 1) / 2 archi. In pratica, quasi tutte le configurazioni significative di specchi includono casi in cui sono presenti specchi disposti ad [[angolo retto]], così che gli archi del diagramma a loro corrispondenti sono omessi.

I diagrammi possono essere classificati in base alla loro struttura. Le prime forme studiate da [[Ludwig Schläfli]], detti "ortoschemi", sono grafi lineari che rappresentano [[Politopo|politopi]] e [[Tassellatura dello spazio|tassellature spaziali]] regolari; i "plagioschemi" sono invece [[Simplesso|simplessi]] rappresentati da grafi ramificati e i "cicloschemi" sono simplessi rappresentati da grafi ciclici.

== Matrice di Schläfli ==
Ogni diagramma di Coxeter-Dynkin ha una matrice di Schläfli corrispondente avente elementi ''a<sub>i,j</sub>'' = ''a<sub>j,i</sub>'' = -2cos (''π'' / ''p''), dove ''p'' è l'ordine dell'arco che unisce una coppia di specchi. Essendo i loro vettori radice normalizzati, tutte le matrici di Schläfli dei gruppi di Coxeter sono simmetriche. Tali matrici, che risultano essere [[Matrice di Gram|matrici di Gram]], sono strettamente correlate alle [[Matrice di Cartan|matrici di Cartan]], usate nei diagrammi di Dynkin nei casi limitati a valori di ''p'' pari a 2, 3, 4 e 6, le quali generalmente non sono mai simmetriche.

Il determinante della matrice di Schläfli e il suo segno determinano se il gruppo sia finito (valore positivo), affine (valore pari a zero) o indefinito (valore negativo),<ref>{{Cita libro|nome=Alexandre V|nome2=Anna|cognome=Borovik|cognome2=Borovik|accesso=11 marzo 2024|url=https://books.google.it/books?redir_esc=y&hl=it&id=bVdzDL8KW3wC&q=indefinite#v=onepage&q=indefinite&f=false|editore=Springer Science & Business Media|capitolo=Classification of Finite Reflection Groups|anno=2009|pp=118-119|titolo=Mirrors and Reflections: The Geometry of Finite Reflection Groups}}</ref> mentre i suoi [[autovalore|autovalori]] determinano se il gruppo di Coxeter è di tipo finito (tutti autovalori positivi), detto anche "ellittico", di tipo affine (tutti autovalori non-negativi, con almeno uno pari a zero), detto anche "parabolico", o di tipo indefinito (tutti gli altri casi). Talvolta, in letteratura, all'interno dei gruppi di tipo indefinito si individuano dei gruppi di Coxeter definiti "iperbolici", tuttavia non esiste una definizione universalmente accettata per definire un gruppo come iperbolico. In questa voce si utilizza la definizione per cui un gruppo di Coxeter con un diagramma connesso è iperbolico se non è né di tipo finito, né di tipo affine, ma ogni sottodiagramma connesso è di tipo finito o affine. Ogni gruppo di Coxeter iperbolico, detto anche "gruppo di Lannér", così definito è poi definito anche "compatto" se tutti i suoi sottogruppi sono finiti (vale a dire le matrici a essi corrispondenti hanno tutte determinante positivo) o "paracompatto" (o "di Koszul") se tutti i suoi sottogruppi sono finiti o affini.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Folke|cognome=Lannér|titolo=On complexes with transitive groups of automorphisms|anno=1950|pp=1-71|volume=11|rivista=Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.}}</ref>

=== Gruppi di Coxeter di rango 2 ===
Il tipo dei gruppi di Coxeter di [[Rango (algebra lineare)|rango]] 2 è pienamente determinato dal determinante della matrice di Schläfli, che è dato dal semplice prodotto degli autovalori, e risulta quindi finito, se il determinante è positivo, affine, se è pari a zero, o iperbolico, se è negativo. Come sostituto dei diagrammi nodo-arco, Coxeter sviluppò una notazione equivalente, detta appunto [[notazione di Coxeter]], nella quale viene enumerata la sequenza degli ordini degli archi. Esistono anche ordini del tipo [p/q], {{DCD|node|p|rat|q|node}}, con [[massimo comun divisore]] (p,q)=1, che definiscono domini fondamentali che si sovrappongono, ad esempio: 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 e 6/5.
{| class=wikitable
!Tipo
!colspan=5|Finito
!Affine
!colspan=2|Iperbolico
|- align=center
!Geometria
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_1.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_2.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_3.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_4.png|80px]]
|...
|[[File:Dihedral_symmetry_domains_infinity.png|80px]]
|[[File:Horocycle_mirrors.png|80px]]
|[[File:Dihedral_symmetry_ultra.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{DCD|node_c1}}<br />[ ]
|{{DCD|node_c1|2|node_c3}}<br />[2]
|{{DCD|node_c1|3|node_c1}}<br />[3]
|{{DCD|node_c1|4|node_c3}}<br />[4]
|{{DCD|node|p|node}}<br />[p]
|{{DCD|node_c1|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|ultra|node_c3}}<br />[i&pi;/&lambda;]
|-
!Ordine
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9|Le linee dello specchio sono colorate in corrispondenza dei nodi del diagramma di Coxeter.<br />I domini fondamentali sono colorati in modo alternato.
|}
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="width:720px;"
!colspan=8| Diagrammi di gruppi di Coxeter di rango 2
|-
!rowspan=2|Ordine<br />''p''
!rowspan=2|Gruppo
!rowspan=2 colspan=2|Diagramma di Coxeter
!colspan=2|Matrice di Schläfli
|-
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Determinante<br />(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|Finiti (Determinante > 0)

|- align=center
!2
!I<sub>2</sub>(2) = A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{DCD|node|2|node}}||[2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4

|- align=center
!3
!I<sub>2</sub>(3) = A<sub>2</sub>
|{{DCD|node|3|node}}||[3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|3

|- align=center
!3/2
!
|{{DCD|node|3x|rat|2x|node}}||[3/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!4
!I<sub>2</sub>(4) = B<sub>2</sub>
|{{DCD|node|4|node}}||[4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|2
|- align=center
!4/3
!
|{{DCD|node|4|rat|3x|node}}||[4/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!5
!I<sub>2</sub>(5) = H<sub>2</sub>
|{{DCD|node|5|node}}||[5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5-\sqrt{5})/2</math><br />~1,38196601125
|- align=center
!5/4
!
|{{DCD|node|5|rat|4|node}}||[5/4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi\\\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!5/2
!
|{{DCD|node|5-2|node}}||[5/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1-\phi\\1-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5+\sqrt{5})/2</math><br />~3,61803398875
|- align=center
!5/3
!
|{{DCD|node|5-3|node}}||[5/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi-1\\\phi-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!6
!I<sub>2</sub>(6) = G<sub>2</sub>
|{{DCD|node|6|node}}||[6]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|1
|- align=center
!6/5
!
|{{DCD|node|6|rat|5|node}}||[6/5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{3}\\\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|- align=center
!8
!I<sub>2</sub>(8)
|{{DCD|node|8|node}}||[8]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt2}\\-\sqrt{2+\sqrt2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{2}</math><br />~0,58578643763
|- align=center
!10
!I<sub>2</sub>(10)
|{{DCD|node|10|node}}||[10]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}\\-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>(3-\sqrt{5})/2</math>

~0,38196601125
|- align=center
!12
!I<sub>2</sub>(12)
|{{DCD|node|12|node}}||[12]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt3}\\-\sqrt{2+\sqrt3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math><br />
~0,26794919243
|- align=center
!''p''
!I<sub>2</sub>(p)
|{{DCD|node|p|node}}||[p]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|- align=center
!colspan=6|Affine (Determinante = 0)
|- align=center
!∞
!I<sub>2</sub>(∞) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{DCD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!colspan=6|Iperbolico (Determinante ≤ 0)
|- align=center
!∞
!
|{{DCD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!∞
!
|{{DCD|node|ultra|node}}||[i&pi;/&lambda;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cosh(2\lambda)\\-2\cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>-4\sinh^2(2\lambda) \le 0</math>
|}

=== Visualizzazioni geometriche ===
Un diagramma di Coxeter-Dynkin può essere visto come la descrizione grafica di un dominio fondamentale di specchi, dove ogni specchio rappresenta un [[iperpiano]] all'interno di un dato spazio sferico, euclideo o iperbolico.

Le seguenti visualizzazioni mostrano i domini fondamentali per gruppi euclidei bi- e tridimensionali e per gruppi sferici bidimensionali. Per ognuno di essi, il diagramma di Coxeter può essere ricavato identificando gli iperpiani-specchio e calcolando le loro connessioni, ricordando di ignorare gli angoli diedri di 90° tra due specchi.

{| class="wikitable" style="width:720px;"
|colspan=2|[[Image:Coxeter-dynkin plane groups.png|720px]]<br />I gruppi di Coxeter nel piano euclideo con i loro diagrammi corrispondenti. Le riflessioni sono indicate come nodi di grafo ''R''1, ''R''2, ecc., colorati in base al grado di riflessione. Essendo inattive, le riflessioni a 90° non sono indicate nel diagramma, mentre gli specchi paralleli sono connessi da un ramo etichettato con ∞. Il gruppo prismatico <math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math> è mostrato come raddoppiamento del <math>{\tilde{C}}_2</math>, ma può anche essere ottenuto come dominio rettangolare raddoppiando i triangoli <math>{\tilde{G}}_2</math>. Il <math>{\tilde{A}}_2</math> è un raddoppiamento del triangolo <math>{\tilde{G}}_2</math>.
|- valign=top
|colspan=2|[[File:Hyperbolic kaleidoscopes.png|720px]]<br />Molti gruppi di Coxeter nel piano iperbolico possono essere ottenuti estendendo i casi del piano euclideo come serie di soluzioni iperboliche.
|- valign=top
|[[Image:Coxeter-Dynkin 3-space groups.png|360px]]<br />Gruppi di Coxeter in uno spazio tridimensionale con i relativi diagrammi. Le facce triangolari, che fungono da specchi, sono etichettate dal loro vertice opposto 0, ..., 3. Gli archi sono colorati a seconda del loro grado di riflessione.<br /><math>{\tilde{C}}_3</math> riempie 1/48 di un cubo. <math>{\tilde{B}}_3</math> riempie 1/24 di un cubo. <math>{\tilde{A}}_3</math> riempie 1/12 di un cubo.
|[[Image:Coxeter-Dynkin sphere groups.png|360px]]<br />Gruppi di Coxeter in uno spazio tridimensionale con i relativi diagrammi. Si vede, evidenziato in giallo, un dominio fondamentale, i cui vertici sono colorati a seconda del loro grado di riflessione.
|}

== Gruppi di Coxeter finiti ==
*Per gli stessi gruppi sono date tre diverse rappresentazioni: come numero/lettera, come un insieme di numeri con parentesi, come un diagramma di Coxeter-Dynkin.
*I gruppi biforcati D<sub>''n''</sub> sono versioni "alternate" o "a metà" dei gruppi regolari C<sub>''n''</sub>.
*I gruppi biforcati D<sub>''n''</sub> ed E<sub>''n''</sub> sono etichettati con un apice di forma [3<sup>''a'',''b'',''c''</sup>] dove ''a'', ''b'' e ''c'' sono i numeri dei segmenti di ognuno dei 3 rami del grafo.

{| class="wikitable"
|+ Diagrammi di finite Coxeter-Dynkin connessi ai gruppi finiti (rango da 1 a 9)
|- align=center
!rowspan=2|Rango
!colspan=3|[[Gruppo semplice di Lie|Gruppi semplici di Lie]]
!colspan=3|[[Gruppo eccezionale di Lie|Gruppi eccezionali di Lie]]
!colspan=2|&nbsp;
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{B}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
![[En (algebra di Lie)|<math>{E}_{3-8}</math>]]
![[F4 (matematica)|<math>{F}_{3-4}</math>]]
![[G2 (matematica)|<math>{G}_{2}</math>]]
!<math>{H}_{2-4}</math>
!<math>{I}_{2}(p)</math>
|- align=center
!1
|A<sub>1</sub>=[ ]<br />{{DCD|node}}
|colspan=7|&nbsp;
|- align=center
!2
|A<sub>2</sub>=[3]<br />{{DCD|node|3|node}}
|B<sub>2</sub>=[4]<br />{{DCD|node|4|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodes}}
|colspan=2|&nbsp;
|G<sub>2</sub>=[6]<br />{{DCD|node|6|node}}
|H<sub>2</sub>=[5]<br />{{DCD|node|5|node}}
|I<sub>2</sub>[p]<br />{{DCD|node|p|node}}
|- align=center
!3
|A<sub>3</sub>=[3<sup>2</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub>=[3,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br />{{DCD|nodes|split2|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea}}&nbsp;{{DCD|nodeb}}
|F<sub>3</sub>=B<sub>3</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node}}
|rowspan=8|
|H<sub>3</sub>&nbsp;<br />{{DCD|node|5|node|3|node}}
|rowspan=8|
|- align=center
!4
|A<sub>4</sub>=[3<sup>3</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub>=[3<sup>2</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub>=[3<sup>1,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|F<sub>4</sub><br />{{DCD|node|3|node|4|node|3|node}}
|H<sub>4</sub>&nbsp;<br />{{DCD|node|5|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!5
|A<sub>5</sub>=[3<sup>4</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub>=[3<sup>3</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub>=[3<sup>2,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|rowspan=6|&nbsp;
|rowspan=6|&nbsp;
|- align=center
!6
|A<sub>6</sub>=[3<sup>5</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub>=[3<sup>4</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub>=[3<sup>3,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub>=[3<sup>2,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!7
|A<sub>7</sub>=[3<sup>6</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub>=[3<sup>5</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub>=[3<sup>4,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub>=[3<sup>3,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!8
|A<sub>8</sub>=[3<sup>7</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub>=[3<sup>6</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub>=[3<sup>5,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub>=[3<sup>4,2,1</sup>]<br />{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!9
|A<sub>9</sub>=[3<sup>8</sup>]<br />{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub>=[3<sup>7</sup>,4]<br />{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub>=[3<sup>6,1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|rowspan|&nbsp;
|- align=center
!10+
|..
|..
|..
|..
|}

== Applicazione ai politopi uniformi ==
{| class=wikitable align=right width=480
|- valign=top
|[[File:Coxeter_diagram_elements.png|240px]]<br />Nella costruzione di politopi uniformi, i nodi sono indicati come "attivi" dalla presenza di un anello se il punto generatore è lontano dallo specchio, portando così alla generazione di un nuovo spigolo tra il punto stesso e la sua immagine riflessa. Un nodo privo di anello rappresenta invece uno specchio inattivo che non genera alcun nuovo punto. Un anello privo di nodo al suo interno è invece definito "buco".
|[[File:Kaleidoscopic_construction_of_square.png|240px]]<br />Due specchi ortogonali possono essere utilizzati per generare un quadrato, {{DCD|node_1|2|node_1}}, mostrato qui con un punto generatore rosso e 3 sue copie virtuali attorno agli specchi. In questo caso, per generare un punto interno ai due specchi ortogonali è necessario che il punto generatore sia lontano da entrambi gli specchi. La presenza dell'anello fa supporre che il punto generatore abbia una certa distanza da entrambi gli specchi, e che quindi la figura generata sia un quadrato, nel caso in cui tale distanza sia la stessa, o un [[rettangolo]], che rappresentare una soluzione non uniforme di un simile diagramma.
|}
I diagrammi di Coxeter-Dynkin possono esplicitamente enumerare quasi tutte le classi esistenti di politopi e [[Tassellatura|tassellature]] uniformi. Ogni politopo uniforme, tranne quei pochi aventi una pura simmetria riflessiva, può infatti essere rappresentato da un diagramma di Coxeter-Dynkin grazie alla permutazione di alcuni indicatori ed essere generato utilizzando gli specchi e un singolo punto generatore: le immagini riflesse costituiscono infatti nuovi punti che possono essere a loro volta riflessi, portando alla generazione di tutti gli spigoli di un politopo, i quali, a loro volta riflessi, portano alla generazione delle facce. La forma finale, o comunque ogni altra [[Facet (geometria)|facet]] di [[Dimensione#Dimensioni matematiche|dimensione]] superiore, è poi ottenuta dalla riflessione delle facce.

Per specificare quale sia il vertice generatore, uno o più nodi sono circondati con anelli, a significare che il vertice non è sullo specchio (o sugli specchi) rappresentato da tale nodo (o nodi). In pratica, se due o più specchi sono rappresentati da nodi anellati, significa che il vertice generatore è distante da entrambi, anche se non necessariamente alla stessa distanza. Uno specchio è definito "attivo", ossia crea riflessioni, solamente di punti non direttamente posti sopra di esso, ciò implica che un diagramma necessiti di almeno un nodo attivo per poter rappresentare un politopo. Un diagramma sconnesso, ossia i cui sottogruppi siano separati da archi di ordine 2, a indicare specchi ortogonali, richiedono almeno un nodo attivo in ogni sottografo.

Tutti i [[Politopo regolare|politopi regolari]], rappresentati in [[notazione di Schläfli]] come {<math>p, q, r, ...</math>}, possono avere i loro domini fondamentali rappresentati da un insieme di ''n'' specchi con un relativo diagramma di Coxeter-Dynkin costituito da una serie di nodi e archi etichettati come <math>p, q, r, ...,</math> con il primo nodo circondato da un anello.

La rappresentazione di politopi uniformi con un diagramma di Coxeter-Dynkin avente un solo nodo con anello implica che i loro punti generatori siano agli angoli del dominio fondamentale. La presenza di due anelli implica che il punto generatore è su uno degli spigoli del simplesso del dominio fondamentale, con la posizione a metà dello spigolo che rappresenta l'unica possibile per ottenere un politopo con spigoli di uguale lunghezza. In generale, la presenza di ''k'' nodi con anello implica che il punto generatore è sulla (''k''-1)-[[Facet (geometria)|facet]] del simplesso del dominio fondamentale e, se tutti i nodi sono dotati di anello, allora il punto generatore è all'interno del simplesso.

Il caso speciale di politopi uniformi con simmetria non speculare è rappresentato da un anello vuoto, chiamato "buco" o "lacuna". Tali politopi, creati attraverso l'eliminazione alternata di vertici da un altro politopo, ad esempio un [[tetraedro]] così creato a partire da un cubo, hanno una sottosimmetria del [[gruppo di Coxeter]] del politopo originario.

In definitiva:
* Un nodo unico rappresenta un unico specchio, e ciò è chiamato gruppo A<sub>1</sub>. La presenza di un anello attorno al nodo sta a rappresentare la presenza di un segmento perpendicolare allo specchio, rappresentato come {}.
* Due nodi separati rappresentano due specchi perpendicolari. Se entrambi i nodi sono dotati di anello, allora essi possono rappresentare un rettangolo o, se il punto generatore è equidistante dai due specchi, un quadrato.
* Due nodi attaccati di un arco di ordine ''n'' possono rappresentare un [[Poligono|''n''-gono]] se il punto generatore giace su uno degli specchi, o un 2''n''-gono se il punto è lontano da entrambi gli specchi rappresentati dai nodi. Questi casi costituiscono il gruppo I<sub>1</sub>(n).
* Due specchi paralleli possono rappresentare un poligono infinito ed il gruppo I<sub>1</sub>(∞), chiamato anche Ĩ<sub>1</sub>.
* Tre specchi possono generare poliedri uniformi.
* Tre specchi di cui uno perpendicolare agli altri due possono generare [[Prisma (geometria)|prismi uniformi]].

{| class=wikitable width=800
|- valign=top
|[[File:Wythoffian construction diagram.svg|400px]]<br />In un qualunque triangolo sono possibili 7 costruzioni speculari uniformi basate su 7 diverse posizioni del punto generatore nel dominio fondamentale. Ogni specchio attivo genera un bordo, con il numero di specchi attivi che sale a due se il punto generatore giace su un bordo del dominio fondamentale, e a tre se il punto generatore giace all'interno del dominio fondamentale.
|[[File:Polyhedron truncation example italian.png|400px]]<br />Poliedri generati dalle 7 diverse posizioni del punto generatore viste nella figura di sinistra, su un dominio fondamentale triangolare (4 3 2), con un'ottava forma, la camusa, generata tramite un'[[Alternazione (geometria)|alternazione]].
|}

Talvolta i [[Poliedro duale|politopi duali]] dei politopi uniformi sono rappresentati con una [[barra verticale]] al posto dell'anello. Ad esempio, mentre {{DCD|node_1|2|node_1}} rappresenta un rettangolo (lo si vede dai due specchi ortogonali attivi), {{DCD|node_f1|2|node_f1}} rappresenta il suo duale, ossia un [[Rombo (geometria)|rombo]].

=== Esempi di poliedri e tassellature ===
Il [[gruppo di Coxeter]] B<sub>3</sub> è rappresentato dal diagramma: {{DCD|node|4|node|3|node}}.

Esistono 7 poliedri uniformi convessi che possono essere costruiti a partire da questo gruppo di simmetria e 3 dalle sue sottosimmetrie, ognuno dei quali è rappresentato da un diagramma di Coxeter-Dynkin unico. La [[notazione di Wythoff]] costituisce un caso speciale del diagramma di Coxeter per grafi di grado 3, in cui vengono rappresentati gli ordini di tutti gli archi del grafo, invece che tralasciare quello degli archi di ordine 2.

{{Troncamenti ottaedrici}}
Le stesse costruzioni possono essere condotte su gruppi di Coxeter disgiunti, come i prismi uniformi e possono essere visualizzate più chiaramente come tassellature [[Diedro (poliedro)|diedriche]] e [[Osoedro|osoedriche]] di una sfera, come quella della famiglia [6]×[] o [6,2]:

{{Troncamenti diedrici esagonali}}
In confronto, la famiglia [6,3], {{DCD|node|6|node|3|node}}, produce un insieme di 7 tassellature uniformi sul piano euclideo, con le loro duali, a cui se ne aggiungono altre 3 risultanti da alternazioni e alcune versioni con simmetria dimezzata.

{{Tassellature esagonali}}
Nel piano iperbolico la famiglia [7,3], {{DCD|node|7|node|3|node}}, genera un insieme di tassellature uniformi e loro duali, a cui se ne aggiunge solo una risultante dalle alternazioni, poiché tutti gli archi hanno ordine dispari.

{{Tassellature ettagonali}}
== Gruppi di Coxeter affini ==
Le famiglie di tassellature euclidee uniformi convesse sono definite dai gruppi affini di Coxeter, i quali sono identici ai gruppi finiti con l'inclusione di un nodo aggiuntivo e sono indicati con le stesse lettere sovrastate però da una "[[Tilde|~]]". L'indice si riferisce al gruppo finito, quindi il rango del gruppo è pari all'indice più 1. Nella tabella sottostante vengono riportati anche i simboli di Ernst Witt per i gruppi affini.

#<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>: i diagrammi di questo tipo sono ciclici. (Come anche ''P''<sub>''n''</sub>)
#<math>{\tilde{C}}_{n-1}</math> è associato con la famiglia di [[Tassellatura dello spazio ipercubica|tassellature ipercubiche regolari]] <math>(4, 3, ..., 4)</math>. (Come anche ''R''<sub>''n''</sub>)
#<math>{\tilde{B}}_{n-1}</math> correlato  ''C'' dalla rimozione di uno specchio. (Come anche ''S''<sub>''n''</sub>)
#<math>{\tilde{D}}_{n-1}</math> correlato a C dalla rimozione di due specchi. (Come anche ''Q''<sub>''n''</sub>)
#<math>{\tilde{E}}_6</math>, <math>{\tilde{E}}_7</math>, <math>{\tilde{E}}_8</math>. (Anche ''T''<sub>7</sub>, ''T''<sub>8</sub>, ''T''<sub>9</sub>)
#<math>{\tilde{F}}_4</math> forma la tassellatura regolare {3, 4, 3, 3}. (Come anche ''U''<sub>5</sub>)
#<math>{\tilde{G}}_2</math> forma i domini fondamentali triangolari 30-60-90. (Come anche ''V''<sub>3</sub>)
#<math>{\tilde{I}}_1</math> sono due specchi paralleli. (<math>{}=\tilde{A}_1 = \tilde{C}_1</math>) (Come anche ''W''<sub>2</sub>)

{| class="wikitable"
|+ Diagrammi di Coxeter-Dynkin affini, da 2 a 10 nodi
!Rango
!<math>\tilde{A}_{1+}</math> (''P''<sub>2+</sub>)
!<math>\tilde{B}_{3+}</math> (''S''<sub>4+</sub>)
!<math>\tilde{C}_{1+}</math> (''R''<sub>2+</sub>)
!<math>\tilde{D}_{4+}</math> (''Q''<sub>5+</sub>)
! <math>\tilde{E}_n (T_{n+1})/\tilde{F}_4  (U_5)/\tilde{G}_2 \, (V_3)</math>
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_1</math>=[∞]<br>{{DCD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|<math>{\tilde{C}}_1</math>=[∞]<br>{{DCD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|&nbsp;
|- align=center valign=top
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math>=[3<sup>[3]</sup>]<br>[[:File:DynkinA2Affine.svg|*]] {{DCD|branch|split2|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>=[4,4]<br>[[:File:DynkinC2Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|4|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>=[6,3]<br>[[:File:DynkinG2Affine1.svg|*]] {{DCD|node|6|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math>=[3<sup>[4]</sup>]<br>[[:File:DynkinA3Affine.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>=[4,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:File:DynkinB3Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math>=[4,3,4]<br>[[:File:DynkinC3Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{3}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>−1</sup>,3<sup>1,1</sup>]<BR>{{DCD|node|split1|nodes|split2|node}} = <math>{\tilde{A}}_{3}</math>
|
|- align=center valign=top
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math>=[3<sup>[5]</sup>]<br />[[:File:DynkinA4Affine.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math>=[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br />[[:File:DynkinB4Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math>=[4,3<sup>2</sup>,4]<br>[[:File:DynkinC4Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>=[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br>[[:File:DynkinD4Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>=[3,4,3,3]<br>[[:File:DynkinF4Affine.svg|*]] {{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math>=[3<sup>[6]</sup>] <br>[[:File:DynkinA5Affine1.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math>=[4,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:File:DynkinB5Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math>=[4,3<sup>3</sup>,4]<br>[[:File:DynkinC5Affine.svg|*]] {{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:File:DynkinD5Affine.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes}}
|&nbsp;
|- align=center valign=top
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math>=[3<sup>[7]</sup>]<br />[[:File:AffineA6.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math>=[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br />{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math>=[4,3<sup>4</sup>,4]<br>{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>=[3<sup>2,2,2</sup>]<br>{{DCD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math>=[3<sup>[8]</sup>]<br>[[:File:AffineA7.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math>=[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:File:AffineB7.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math>=[4,3<sup>5</sup>,4]<br>{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>[[:File:AffineD7.svg|*]] {{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math>=[3<sup>3,3,1</sup>]<br>[[:File:AffineE7.svg|*]] {{DCD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math>=[3<sup>[9]</sup>]<br>[[:File:AffineA8.svg|*]] {{DCD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math>=[4,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math>=[4,3<sup>6</sup>,4]<br>{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math>=[3<sup>5,2,1</sup>]<br>[[:File:E9-AffineE8.svg|*]] {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center valign=top
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math>=[3<sup>[10]</sup>]<br>[[:File:AffineA9.svg|*]] {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math>=[4,3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math>=[4,3<sup>7</sup>,4]<br>{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br>{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|- align=center valign=top
!11
|...
|...
|...
|...
|}

== Folding ==
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ Ripiegamenti finiti e affini<ref>{{Cita libro|curatore=John Cossey|capitolo=Injective maps between Artin groups|nome=John|cognome=Crisp|url=https://books.google.it/books?id=RpgZuF7do8kC|titolo=Geometric Group Theory Down Under: Proceedings of a Special Year in Geometric Group Theory, Canberra, Australia, 1996|editore=Walter de Gruyter|accesso=20 marzo 2024|pp=119-134|anno=1999}}</ref>
|-
!colspan=4|φ<sub>A</sub> : A<sub>Γ</sub> --> A<sub>Γ'</sub> per tipi finiti
|- valign=top
!Γ
!Γ'
!Descrizione del ripiegamento
!Diagrammi di Coxeter-Dynkin
|- align=center valign=top
|I<sub>2</sub>([[Numero di Coxeter|h]])
|Γ(h)
|Ripiegamento diedrale
|rowspan=9|[[File:Geometric folding Coxeter graphs.png|201px]]
|- align=center
|rowspan=2|B<sub>n</sub>
|A<sub>2n</sub>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|D<sub>n+1</sub>, A<sub>2n-1</sub>
|(A<sub>3</sub>,+/-ε)
|- align=center
|F<sub>4</sub>
|E<sub>6</sub>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>4</sub>
|E<sub>8</sub>
|rowspan=3|(A<sub>4</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>3</sub>
|D<sub>6</sub>
|- align=center
|H<sub>2</sub>
|A<sub>4</sub>
|- align=center
|rowspan=2|G<sub>2</sub>
|A<sub>5</sub>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|D<sub>4</sub>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|-
!colspan=4|φ: A<sub>Γ</sub><sup>+</sup> --> A<sub>Γ'</sub><sup>+</sup> per tipi affini
|- align=center valign=top
|<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{kn-1}</math>
|Localmente banale
|rowspan=14|[[File:Geometric folding Coxeter graphs affine.png|212px]]
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{B}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{D}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{B}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{C}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (I,s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n-1}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (A<sub>3</sub>,ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{n+2}</math>
|(A<sub>3</sub>,-ε) & (A<sub>3</sub>,-ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>
|(I,s<sub>1</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>, <math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|(B<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>, <math>{\tilde{E}}_{6}</math>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|}

Un diagramma di Coxeter-Dynkin semplicemente connesso, sia esso relativo a un gruppo finito, affine o iperbolico, dotato di una simmetria, può essere trasformato in un nuovo diagramma solitamente multiconnesso, attraverso un processo chiamato "folding", letteralmente "ripiegamento".<ref>{{Cita pubblicazione|url=https://arxiv.org/pdf/hep-th/9707046|titolo = Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding |formato=pdf|rivista = [[Topological Field Theory]] | nome = Jean-Bernard|cognome= Zuber | pp = 28-30 | bibcode = 1998tftp.conf..453Z | anno= 1998 |accesso=24 marzo 2024| arxiv = hep-th/9707046 }}</ref><ref>{{Cita pubblicazione| arxiv = 1110.5228 | titolo = Affine extensions of non-crystallographic Coxeter groups induced by projection | rivista = [[Journal of Mathematical Physics]] | volume = 54 |numero = 9 | p = 093508 | nome = Pierre-Philippe|cognome = Dechant | nome2 = Celine | cognome2= Boehm |nome3 = Reidun |cognome3 = Twarock | anno = 2013 | doi = 10.1063/1.4820441 | bibcode = 2013JMP....54i3508D | accesso=10 marzo 2024}}</ref>

Per esempio, nel ''folding'' da D<sub>4</sub> su G<sub>2</sub>, il bordo in G<sub>2</sub> punta dalla classe dei 3 nodi esterni di ordine 1, al nodo centrale di ordine 3.

Geometricamente, questo corrisponde alla proiezione ortogonale di politopi e tassellature uniformi. In particolare, qualsiasi diagramma di Coxeter-Dynkin può essere "ripiegato" su I<sub>2</sub>(''h''), dove ''h'' è il numero di Coxeter, che geometricamente corrisponde a una proiezione sul [[piano di Coxeter]].
{| class=wikitable
|-
|[[File:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png]]<br />Alcuni piegamenti iperbolici
|}

== Note ==
<references />

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}
{{portale|matematica}}

[[Categoria:Diagrammi|Coxeter-Dublin]]
[[Categoria:Teoria dei grafi]]
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]