Visualizza wikitesto di Cubo perfetto

Un '''cubo perfetto''' è un qualsiasi [[numero naturale]] la cui ''radice cubica'' corrisponde ad un [[numero intero]].

[[File:CubeChart.svg|thumb|upright=1.4|y=x³, per valori interi 1≤x≤25.]]

In [[aritmetica]] e [[algebra]], il '''cubo''' di un numero ''n'' è la sua terza [[Potenza (matematica)|potenza]], cioè il risultato della moltiplicazione del numero per sé stesso tre volte:

:''n''<sup>3</sup> = ''n'' &times; ''n'' &times; ''n''.

Si tratta anche della formula per calcolare il [[volume]] di un [[cubo]] il cui lato ha una lunghezza pari a ''n''. Da qui il nome.

La [[funzione inversa]] di trovare il numero il cui cubo è ''n'' è detta "estrazione della [[Radicale (matematica)|radice cubica]] di ''n''". Restituisce il lato di un cubo dato il volume.

==Primi 21 cubi perfetti==
*[[0 (numero)|0]] = [[0 (numero)|0]] elevato al cubo.
*[[1 (numero)|1]] = [[1 (numero)|1]] elevato al cubo.
*[[8 (numero)|8]] = [[2 (numero)|2]] elevato al cubo.
*[[27 (numero)|27]] = [[3 (numero)|3]] elevato al cubo.
*[[64 (numero)|64]] = [[4 (numero)|4]] elevato al cubo.
*[[125 (numero)|125]] = [[5 (numero)|5]] elevato al cubo.
*[[216 (numero)|216]] = [[6 (numero)|6]] elevato al cubo.
*[[343 (numero)|343]] = [[7 (numero)|7]] elevato al cubo.
*[[512 (numero)|512]] = [[8 (numero)|8]] elevato al cubo.
*[[729 (numero)|729]] = [[9 (numero)|9]] elevato al cubo.
*[[1000 (numero)|1000]] = [[10 (numero)|10]] elevato al cubo.
*[[1331 (numero)|1331]] = [[11 (numero)|11]] elevato al cubo.
*[[1728 (numero)|1728]] = [[12 (numero)|12]] elevato al cubo.
*[[2197 (numero)|2197]] = [[13 (numero)|13]] elevato al cubo.
*[[2744 (numero)|2744]] = [[14 (numero)|14]] elevato al cubo.
*[[3375 (numero)|3375]] = [[15 (numero)|15]] elevato al cubo.
*[[4096 (numero)|4096]] = [[16 (numero)|16]] elevato al cubo.
*[[4913 (numero)|4913]] = [[17 (numero)|17]] elevato al cubo.
*[[5832 (numero)|5832]] = [[18 (numero)|18]] elevato al cubo.
*[[6859 (numero)|6859]] = [[19 (numero)|19]] elevato al cubo.
*[[8000 (numero)|8000]] = [[20 (numero)|20]] elevato al cubo.

La differenza fra i cubi di due interi consecutivi può essere espressa come:

:<math>n^3 - (n - 1)^3 = 3(n - 1)n + 1</math>

oppure

:<math>(n + 1)^3 - n^3 = 3(n + 1)n + 1.</math>

== Applicazioni ==
Il cubo di un numero appare nella formula per il calcolo del volume di una sfera, ottaedro, [[dodecaedro]], [[icosaedro]] regolari, nella [[Numero piramidale quadrato|somma dei quadrati dei primi ''n'' numeri naturali]], nella [[Leggi di Keplero|terza legge di Keplero]].

Se al prodotto di tre termini consecutivi di una [[progressione aritmetica]] con primo termine ''a'' e ragione ''d'' (''a'', e ''d'' interi positivi), si somma ''kd^2'', si ottiene un numero cubo perfetto K.<br/>
Il prodotto di tre termini consecutivi di una [[progressione geometrica]] è un cubo perfetto.

== Problema di Waring per i cubi ==
{{Vedi anche|Problema di Waring}}

Ogni cubo perfetto può essere scritto come la somma di nove o meno cubi positivi. Ad esempio 23 non può essere scritto come la somma di un numero non inferiore a nove di cubi positivi:

:23 = 2<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup>.

== Ultimo teorema di Fermat per i cubi ==
{{Vedi anche|Ultimo teorema di Fermat}}
L'equazione <math>x^3 + y^3 = z^3</math> non ha soluzioni intere non banali, ossia ha solamente soluzioni che soddisfano <math>xyz = 0</math>. Infatti, non ha [[intero di Eisenstein|interi di Eisenstein]] tra le soluzioni.<ref>Hardy & Wright, Thm. 227</ref>

Entrambe queste affermazioni sono vere anche per l'equazione<ref>Hardy & Wright, Thm. 232</ref> <math>x^3 + y^3 = 3z^3</math>.

Ciò non è vero se consideriamo la somma di cubi, con più di due addendi:

:<math>3^3+4^3+5^3=6^3.</math>

{{Vedi anche|Quaterne di Ramanujan}}

== Somma dei primi ''n'' cubi ==
* I cubi dei numeri naturali sono la sommatoria di blocchi di numeri naturali dispari in ordine crescente, esempio:

::<math>\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots</math>

* A partire dalla successione dei [[numero esagonale centrato|numeri esagonali centrati]] 

::<math>\begin{align}
1 &= 1\\
8 &= 1 + 7\\
27 &= 1 + 7 + 19\\
64 &= 1 + 7 + 19 + 37\\
125 &= 1 + 7 + 19 + 37 + 61\\
&\;\;\vdots 
\end{align}</math>

la somma dei primi <math>n</math> cubi è l'<math>n</math>-esimo [[numero triangolare]] quadrato

:<math>1^3+2^3+\dots+n^3 = (1+2+\dots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.</math>

[[File:Nicomachus_theorem_3D.svg|thumb|Visual proof that {{Tutto attaccato|1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³}} = {{Tutto attaccato|(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²}}.]]

Ad esempio la somma dei primi 5 cubi perfetti è il quadrato del quinto numero triangolare

:<math>1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 15^2,</math>

ma <math>x</math> e <math>y</math> devono soddisfare l'[[equazione di Pell]] negativa <math>x^2 - 2y^2 = -1</math>. Ad esempio per ''y'' = 5 e 29, allora,

:<math>1^3+3^3+\dots+9^3 = (7\cdot 5)^2,</math>
:<math>1^3+3^3+\dots+57^3 = (41\cdot 29)^2,</math>

e così via. Ogni [[numero perfetto]], eccetto il minore, è la somma dei primi <math>2^((p-1)/2)</math> cubi dispari:

:<math>28 = 2^2(2^3-1) = 1^3+3^3;</math>
:<math>496 = 2^4(2^5-1) = 1^3+3^3+5^3+7^3;</math>
:<math>8128 = 2^6(2^7-1) = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3.</math>

=== Somma di cubi di numeri in progressione aritmetica ===
Esistono esempi di cubi di numeri in [[progressione aritmetica]] la cui somma è un cubo:

:<math>3^3+4^3+5^3 = 6^3;</math>
:<math>11^3+12^3+13^3+14^3 = 20^3;</math>
:<math>31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3 = 66^3.</math>

La formula ''F'' per trovare la somma di ''n'' cubi di numeri in progressione aritmetica, aventi comune differenza ''d'' a partire da un cubo iniziale <math>a^3</math>, è:

:<math>F(d,a,n) = a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3+\cdots+(a+dn-d)^3</math>

è data da

:<math>F(d,a,n) = (n/4)(2a-d+dn)(2a^2-2ad+2adn-d^2n+d^2n^2).</math>

Una soluzione parametrica

:<math>F(d,a,n) = y^3</math>

è nota per <math>d = 1</math>, o cubi consecutivi, ma soluzioni non sporadiche sono note anche per interi <math>d > 1</math>, quali <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, \ldots</math><ref>{{Cita web|url=https://sites.google.com/site/tpiezas/update06|titolo=A Collection of Algebraic Identities|urlmorto=sì}}</ref>

== Somma dei reciproci ==
La somma dei reciproci di tutti i cubi, usata in una grande varietà di situazioni, è nota come [[costante di Apéry]]. Il suo valore è dato dalla [[funzione zeta di Riemann]] in corrispondenza del punto 3.

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} = 1{,}2020569\ldots</math>

== Nei numeri razionali ==
Ogni [[numero razionale]] positivo è la somma di tre cubi razionali positivi<ref>Hardy & Wright, Thm. 234</ref>, mentre esistono razionali che non sono la somma di due cubi razionali.<ref>Hardy & Wright, Thm. 233</ref>

== Funzione generatrice ==
La [[funzione generatrice]] <math>\sum_{i \ge 0} a_i x^i</math> di una [[serie formale di potenze]] <math>(a_i)_{i\ge 0}</math>, è data da:

:<math>\sum_{i \ge 0} i^3 x^i = x + 8x^2 + 27 x^3 + 64 x^4 + \ldots = \frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1)^4}.</math>

== Storia ==
Il calcolo del cubo di numeri grandi è comune nella [[storia della matematica]].<br/>
Nel 2010, Alberto Zanoni ha scoperto un algoritmo<ref>http://bodrato.it/papers/zanoni/AnotherSugarCube.pdf</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=Marco|cognome=Bodrato|nome2=Alberto|cognome2=Zanoni|data=2012|titolo=A New Algorithm for Long Integer Cube Computation with Some Insight into Higher Powers|rivista=Computer Algebra in Scientific Computing|editore=Springer|curatore=Vladimir P. Gerdt, Wolfram Koepf, Ernst W. Mayr, Evgenii V. Vorozhtsov|pp=34-46|lingua=en|accesso=2023-03-14|doi=10.1007/978-3-642-32973-9_4|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-32973-9_4}}</ref> per il calcolo del cubo di un intero lungo, entro un certo intervallo, più veloce dell'esponenziazione binaria (elevamento a potenze intere positive grandi di un numero).

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*Hardy G. H., Wright E. M., ''An Introduction to the Theory of Numbers'', 5ª edizione, [[Oxford University Press]], Oxford, 1980, ISBN 978-0-19-853171-5

==Voci correlate==
* [[Numero cabtaxi]]
* [[Equazione di terzo grado|Equazione cubica]]
* [[Duplicazione del cubo]]
* [[Congettura di Eulero]]
* [[Quadrato perfetto]]

{{Numeri figurati}}
{{Serie (matematica)}}

{{Portale|matematica}}

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[[Categoria:Numeri figurati]]
[[Categoria:Teoria dei numeri]]