Visualizza wikitesto di Compattificazione di Stone-Čech

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La '''compattificazione di Stone-Čech''' di uno [[spazio topologico]] <math>X</math> è uno [[spazio compatto|spazio topologico compatto]] (indicato con <math>\beta X</math>) tale che ogni funzione continua da <math>X</math> verso uno spazio topologico compatto può essere estesa ad una funzione definita su tutto <math>\beta X</math>. Generalmente, si assume che <math>X</math> sia uno [[spazio di Tychonoff]], perché solo in questo caso <math>\beta X</math> estende lo spazio di partenza <math> X </math>. 
Fra le varie [[compattificazione|compattificazioni]] di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla [[compattificazione di Alexandrov]], ottenuta aggiungendo un punto solo.

== Definizione ==
La '''compattificazione di Stone-Čech''' di uno spazio topologico <math> X </math> è uno spazio <math>\beta X</math> contenente <math> X </math> con queste proprietà:

* <math>\beta X</math> è [[spazio compatto|compatto]];
* <math>X</math> è [[insieme denso|denso]] in <math>\beta X</math>;
* per ogni [[funzione continua]]
:<math>f:X\to K</math>
a valori in uno spazio compatto di Hausdorff <math> K </math> esiste una funzione continua 
:<math>f':\beta X\to K</math>
che estende <math>f</math>

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che <math>X</math> è ''C<sup>*</sup>''-immerso in <math>\beta X</math>.

==Principali proprietà==
La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio (mentre la [[compattificazione di Alexandrov]] è la più piccola), come indicano le seguenti proprietà:

* è unica a meno di [[omeomorfismo|omeomorfismi]];
* è l'unico spazio compatto in cui <math>X</math> è <math>C^{\star}</math>-immerso;
* è il più grande spazio in cui <math>X</math> è <math>C^{\star}</math>-immerso.

== Formulazioni della compattificazione di Stone-Čech==

È possibile formulare la compattificazione di Stone-Čech in diversi modi tra di loro equivalenti: ad esempio, le funzioni continue da <math>X</math> all'intervallo chiuso <math>[0,1]</math> costituiscono la compattificazione desiderata.

Un'altra possibile formulazione equivalente è la seguente: dato uno [[spazio topologico]] <math>X</math> discreto, la compattificazione di Stone-Cech <math>\beta X</math> è formata da tutti gli [[ultrafiltro|ultrafiltri]] di X. 
La  [[base (topologia)|base]] della topologia di <math>\beta X</math> possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto <math>A</math>:

<math>\mathcal{B} = \{ p \in \beta X | A \in p \} _{A \in \mathcal{A}}</math>,
dove <math>\mathcal{A}</math> sono gli aperti della topologia di <math>X</math>.

Nel caso di un generico spazio <math>X</math> che sia Tychonoff, la compattificazione di Stone-Cech di <math>X</math> si può ottenere usando gli insiemi massimali costituiti di [[zero-insieme|zero-insiemi]].

==Voci correlate==
* [[Topologia]]
* [[spazio compatto]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Topologia]]