Visualizza wikitesto di Coda M/M/c

In [[teoria delle code]], una '''coda M/M/c''' rappresenta la lunghezza di una coda in un sistema composto da ''c'' server, in cui gli arrivi sono determinati da un [[processo di Poisson]] e i tempi servizio hanno [[distribuzione esponenziale]] di parametro μ. Il nome è dovuto alla [[Teoria delle code#Notazione di Kendall|Notazione di Kendall]]. La [[coda M/M/1]] è un suo caso particolare.

==Definizione==
Un coda M/M/c è un [[processo stocastico]] definito sui [[numeri naturali]], dove il valore ad un tempo fissato corrisponde al numero di utenti nel sistema, inclusi quelli che stanno ricevendo il servizio.
* Gli arrivi sono determinati da un [[processo di Poisson]] di intensità λ, e spostano il processo da uno stato ''i'' a quello successivo ''i+1''
* I tempi di servizio hanno tutti [[distribuzione esponenziale]] di parametro μ
* I server non possono essere occupati da più utenti nello stesso momento. Quando il servizio finisce, l'utente lascia la coda e il processo si sposta dallo stato ''i'' al precedente ''i-1''
* Non ci possono essere server fermi se sono presenti utenti in coda
* Non c'è nessun limite al numero di utenti che può contenere il sistema.

Il processo può essere descritto come una [[catena di Markov]] a tempo continuo, in particolare da un [[processo di nascita e morte]] di parametri:
: <math>\lambda_k = \lambda,\  \forall k</math>

: <math>\mu_k = \begin{cases} 
  k\mu,  & \mbox{se }0 \le k \le c \\
  c\mu, & \mbox{se } c \le k 
\end{cases}</math>

==Proprietà==
Il processo è stabile solo se λ<cμ. Se in media vi sono più arrivi di quanti il sistema può servirne, la coda crescerà indefinitivamente e non ci sarà equilibrio. Se chiamiamo ρ=λ/cμ, la condizione diventa ρ<1. Imponendo questa condizione, si ha che
* La [[distribuzione stazionaria]] del processo è data da
: <math>\pi_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1}\frac{(c\rho)^k}{k!} + \frac{(c\rho)^c}{c!}\frac{1}{1-\rho}\right]^{-1}</math>

: <math>\pi_k = \begin{cases} 
  \pi_0\dfrac{(c\rho)^k}{k!},  & \mbox{se }0 \le k \le c \\[10pt]
  \pi_0\dfrac{\rho^k c^c}{c!}, & \mbox{se } c \le k 
\end{cases}</math>
* La probabilità di non trovare nessun server libero è data da 
: <math>\mathbb P(K \ge c) = \pi_{c_+} = \sum^\infty_{k=c} \pi_{k} = \frac{(c\rho)^c}{c!(1-\rho)}\pi_0</math>
* Il numero medio di utenti nel sistema è 
: <math>L_s = c\rho + \frac{\rho}{1-\rho}\pi_{c_+}</math>
* Il numero medio di utenti in coda è
: <math>L_q = \frac{\rho}{1 - \rho}\pi_{c_+}</math>
* Il tempo medio passato da un utente in coda è
: <math>W_q = \frac{\rho}{\lambda(1 - \rho)}\pi_{c_+}</math>
* Il tempo medio passato da un utente nel sistema è
: <math>W_s = \frac{\rho}{\lambda(1 - \rho)}\pi_{c_+}+\frac{1}{\mu}</math>

==Infiniti server==
È possibile anche studiare il caso a infiniti server, ovvero la coda '''M/M/∞'''. In questo modello ogni utente viene servito appena entra nel sistema, e non vi è quindi alcuna coda. In questo caso il processo di nascita e morte adatto è quello con parametri
: <math>\lambda_k = \lambda,\  \forall k</math>

: <math>\mu_k = k\mu,\  \forall k</math>

*La distribuzione stazionaria è una [[distribuzione di Poisson]] di parametro λ/μ:

: <math> \pi_k = \frac{(\lambda/\mu)^k e^{-\lambda/\mu}}{k!} </math>

*Il tempo medio passato nella coda è solamente il tempo medio di servizio:

:<math>W_s=\frac{1}{\mu}</math>

*Il numero medio di utenti nel sistema è

:<math>L_s=\frac{\lambda}{\mu}</math>

==Bibliografia==
*{{cita libro 
| cognome= Leonard
| nome= Kleinrock
| titolo= Queueing Systems Volume 1: Theory
| editore= John Wiley & Sons
| anno= 1975
}}

==Voci correlate==
* [[Processo di nascita e morte]]
* [[Processo markoviano]]
* [[Legge di Little]]

{{portale|ingegneria|matematica|telematica}}

[[Categoria:Teorie di rete]]
[[Categoria:Processi stocastici]]